三角函数的性质和图象

一、知识归纳 1.任意角的三角函数 ①定义:设P(x,y)是角α终边上的任意一点,且|OP|=r(r>0),则 sinα=y/r,cosα=x/r,tanα=y/x,cotα=x/y,secα=r/x,cscα=r/y. ②符号法则 ③同角三角函数关系: sin2α+cos2α=1, cosα·secα=1, tanα=sinα/cosα, ④诱导公式: 1+tan2α=sec2α. sinα·cscα=1, cotα=cosα/sinα. 1+cot2α=csc2α, tanα·cotα=1,     

乘法公式的灵活运用

乘法公式是初中代数中的重要公式,灵活地运用这组公式,往往能使问题简捷迅速地获得解决。一、用于计算例1.计算19992-2000×1998。分析:若按有理数的运算顺序计算,则十分繁杂,通过观察发现2000×1998=(1999 1)(1999-1)=19992-1,于是可得简捷解法。解:原式=19992-(1999 1)(1999-1)=19992-(19992-1)=1。例2.计算(x y)2(x2-xy y2)2-(x3 y3)(x3-y3)。解:原式=〔(x y)(x2-xy y2)〕2-(x3 y3)(x3-y3)=(x3 y3)〔(x3 y3)-(x3-y3)〕=(x3 y3)·2y3=2x3y3 2y6。二、用于化简例3.化简(2 1)(22 1)(24 1)(28 1) 1。分析:注意到2-1=1,用1乘原式值不变,这样添…     

半角公式的应用

1.用公式求值例1.求tg67°30′的值解一:tg135°/2=(1-135°/1+135°)~(1/2)=(1+cos45°/1-45°)~(1/2) =((1+cos45°)~2/sin~245°)~(1/2)=(1+cos45°)/sin45°解二:tg67°30′=sin135°/1+cos135° =(2~(1/2)/2)/1-2~(1/2)/2=2~(1/2)+1 解三:tg67°30′=1-135°/sin135°=(1+45°)/sin45° =(1+2~(1/2)/2)/2~(1/2)/2=2~(1/2)+1 上面三种解法,以解三为最简便。一般说来,如果α的正弦和余弦都知道,或者α为特殊角,那么,用公式Tα/2=(1-cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)求值比较方便,特别用tgα/2=(1-cosα)/sinα最为方便,因为它的分母为单项式。但如果只知道cosα的值,α又不是特殊角,一般说用Tα/2=±(1-cosα/1+cosα)~(1/2)求值好些。     

解三角形的期末复习

基础知识内容提要一、三角函数1.三角函数.角α的三角函数是:α的正弦 sinα=y/γ;α的余弦 cosα=x/γ;α的正切 tgα=y/x;α的余切ctgα=x/y.(x、y、r 分别是角α终边上任一点 P 的坐     

2005年高考试题(山东理)22(Ⅱ)题别解

题目:已知动圆过定点(p2,0)且与直线x=-p2相切,其中p>0.(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方程;(Ⅱ)设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点,直线OA和OB的倾斜角分别为α和β,当α、β变化且α+β为定值θ(0<θ<π)时,证明直线AB恒过定点,并求出该点的坐标.(Ⅱ)解法1设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1=y212p,x2=y222p.由题意知x1≠x2(否则α+β=π),x1,x2≠0,y1≠y2,y1,y2≠0,tanα=2py1,tanβ=2py2.因为AB=(x2-x1,y2-y1)=(y22-y212p,y2-y1),设点p(x,y)为AB上任一点,则AP=(x-y212p,y-y1),AP∥AB.于是y22-y212p(y-y1)=(y2-y1)(x-y212p),即y1+y22py=…     

奇妙的三角平方差公式

<正>三角中有两个结论:(1)sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β;(2)cos(α+β)cos(α-β)=cos2α-sin2β.这两个结论的结构与平方差公式(x+y)(x-y)=x²-y2-y²的结构相似,体现了数学的形式美,所以不妨称之为"三角平方差公式".公式的证明是很容易的,通过角的和差公式直接展开来推导即可.此公式不仅形式     

例谈解几中珠联璧合的“三剑客”

本文试图通过解几中常见的几类问题分门别类地阐述“三剑客”(斜率公式、中点坐标、根与系数关系)出没于江湖的着陆点,以及三者联袂表演的结合点,希望读者能够体会到他们的“英雄本色”.一、与中点弦及弦的中点有关的问题【例1】过点A(2,1)的直线与双曲线x2-y22=1交于P1,P2两点,求弦P1P2中点P的轨迹方程.分析1:设P1(x1,y1),P2(x2,y2),P1P2弦的中点P(x0,y0),则x21-y212=1x22-y222=1,作差得y1-y2x1-x2=2×x1+x2y1+y2=2×x0y0(中点坐标公式),而AP的斜率kAP=y0-1x0-2=kP1P2=y1-y2x1-x2,∴y0-1x0-2=2×x0y0,化简得:2x20-4x0=y20-y0,所以P…     

一个命题的向量证明及推广发散

命题 :设点 P(x0 ,y0 ) ,⊙ O:x2 + y2 =r2 ,直线 l:x0 x + y0 y =r2则 1当点 P在圆上时 ,直线 l与⊙ O相切 ;2当点 P在圆外时 ,直线 l与⊙ O相交 ;3当点 P在圆内时 ,直线 l与⊙ O相离 .1　证明在直线 l上任取一点 Q(x,y) ,因为向量 OP =(x0 ,y0 ) ,OQ =(x,y)所以 OP .OQ =x0 x + y0 y =r2即 | OP| .| OQ| .cos∠ POQ =r2因为 l的一个方向向量 v=(-y0 ,x0 )所以 v.OP =0 OP⊥ l故圆心 O到 l的距离d =| OQ| .cos∠ POQ =r2| OP|| OP| >r时 ,d r;故命题为真 .2　画法已知点 P和⊙ …     

用三角代换法求函数的值域

一、对于含有代数式a2-x2√的函数或方程,可设x=acosα(0≤α≤π)或x=asinα(-π2≤α≤π2).例1已知x1-y2√+y1-x2√=1,求u=x+y的取值范围.解由题意可知0≤x≤1,0≤y≤1,不妨设x=cosα,y=cosβ(0≤α≤π2,0≤β≤π2),代入已知条件中得cosα1-cos2β√+cosβ1-cos2α√=1,即sin(α+β)=1.∵0≤α≤π2,0≤β≤π2,0≤α+β≤π,∴α+β=π2,β=π2-α,∴u=x+y=cosα+cosβ=cosα+cos(π2-α)=cosα+sinα=2√sin(α+π4).∵π4≤α+π4≤34π,2√2≤sin(α+π4)≤1,即1≤2√sin(α+π4)≤2√,∴u=x+y的取值范围是犤1,2√犦.二、对于含有…     

谈谈公式asinα+bcosα=(a~2+b~2)/(1/2)sin(α+φ)

1　问题的提出2000年全国高考理科考试数学卷的第17小题是这样的:已知函数y=12cos2x 32sinxcosx 1,x∈R.()当函数y取得最大值时,求自变量x的集合;()该函数的图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?这道题主要考查了三角函数的图象及变换、二倍角公式、两角和与差的正弦公式及化简变形能力.从答卷情况看,主要的问题在于y=asinα bcosα的化简,下面我们就来谈谈这个公式.1.1　源于课本asinα bcosα=a2 b2sin(α φ)是一道课本例题的结果,反映了添置辅助角的思想,它把asinα bcosα化为一个正弦函数.一般地,对于y=asinα b…     

关于轴对称的一个公式及应用

我们知道,点P(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x);关于y=-x的对称点为(-y,-x);关于x=a的对称点为(2a-x,y);关于y=b的对称点为(x,2b-y).这些都是关于轴对称的特殊情形.若轴是一般情况则通过设两对称点为P(x,y)和P′(x′,y′),利用PP′的中点在轴直线上和这两点连线的斜率与轴直线斜率互为负倒数这两个关系来解决的.下面给出轴是一般情况下求对称点的一个公式,供大家参考. 设关于直线l∶y=kx b对称的两对称点为P(x,y)和P′(x′,y′),其中k=tgα     

运用定比分点公式巧解(证)双连不等式

双连不等式是不等式组的一种表达形式 ,在解双连不等式时一般是利用解不等式组的方法来求解 .若能灵活运用定比分点公式求解则十分简洁 ,事半功倍 .设P1 (x1 ,y1 ) ,P2 (x2 ,y2 ) ,P(x ,y) ,P1 P =λ PP2 ,则x =x1 λx21 λy=y1 λy21 λ且λ =x-x1 x2 -x =y-y1 y2 -y,其中P内分P1 P2 时λ >0 ;P外分P1 P2 ,λ<0 ;P与P1 重合时 ,λ=0 ;P与P2 重合时 ,λ不存在 .例 1　解不等式 12 相似文献   

函数式sin~2α cos~2α的几何意义

将公式sin~2α cos~2α=1与圆的方程x~2 y~2=1进行比较,易见若点 A(x,y)是角α终边与单位圆x~2 y~2=1的交点,则有x=cosα,y=sinα.考虑点     

辅助角公式在高考三角题中的应用

对于形如y=asinx+bcosx的三角式,可变形如下:y=asinx+bcosx=a2+b2(sinx·a22+cosx·b a2+b2).由于上式中的aa2+b2与ba2+b2的平方和为1,故可记aa2+b2=cosθ,ba2+b2=sinθ,则y=a2+b2(sinxcosθ+cosxsinθ)=a2+b2sin(x+θ).由此我们得到结论:asinx+bcosx=a2+b2sin(x+θ),()其中θ由aa2+b2=cosθ,ba2+b2=sinθ来确定.通常称式子()为辅助角公式.它可以将多个三角式的函数问题,最终化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式.下面结合近年高考三角题,就辅助角公式的应用,举例分类简析.一、求周期例1(2006年上海卷选)求函数y=2cos(x+π4)cos(x-π4)+3sin2x的最小…     

2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文、理科)

参考公式 :三角函数的积化和差公式sinαcosβ =12 [sin(α+ β) +sin(α -β) ]cosαsinβ=12 [sin(α+ β) -sin(α-β) ]cosαcosβ =12 [cos(α + β) +cos(α-β) ]sinαsinβ =-12 [cos(α + β) -cos(α -β) ]正棱台、圆台的侧面积公式S台侧 =12 (c′+c)l,其中c′、c分别表示上、下底面周长 ,l表示斜高或母线长 .球的体积公式V球 =43 πR3,其中R表示球的半径一、选择题 (本大题共 12小题 ,每题 5分 ,共 60分 ,在每小题给出的 4个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 )1.(文 )直线 y=2x关于x轴对称的直线方程为 (　　 )　　 (A) y=-1…     

三角函数自测题

一、填空题(每题3分)1.已知cosθ>0,sinθ<0,则θ为第象限角.2.若点P(2,y)为角α终边上的一点,且tanα=2,则y=.3.已知α是第二象限角,且sinα=31,则cotα=.4.函数y=cos(2x 3π)的最小正周期是.5.已知sinx=54,cosx=53,则tan2x=.6.若y=sinx acosx为奇函数,则实数a=.7.已知函数f(x     

高三数学综合训练(四)

一、选择题1.已知全集U=R,且A={x|x-1|>2},B={x|x2-6x 8<0},则(UA)∩B等于()A.[-1,4]B.(2,3)C.(2,3]D.(-1,4)2.已知正方体外接球的体积是332π,那么正方体的棱长等于()A.22B.233C.432D.4333.函数y=log2x-2的定义域是()A.(3, ∞)B.[3, ∞]C.(4, ∞)D.[4, ∞]4.下列函数中,图像的一部分如下图所示的是()A.y=sinx 6πB.y=sin2x-6πC.y=cos4x-3πD.y=cos2x-6π5.已知f(x)=(3a-1)x 4a,x<1,logax,x≥1,是(-∞, ∞)上的减函数,那么a的取值范围是()A.(0,1)B.0,31C.71,13D.71,16.已知双曲线3x2-y2=9,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与…     

点到直线距离公式证法综述

在学习了点到直线距离公式后 ,总觉得课本上对这一公式的证明比较繁琐 .其实 ,这一公式还有多种证法 .设P(x0 ,y0) ,L :方程Ax +By+C =0(A ,B不同时为零 )当A =0或B =0时公式显然成立 ,因此 ,这里只证明A ≠ 0 ,B≠ 0时的情况 .已知 :P(x0 ,y0 ) ,L :Ax+By +C =0(A ≠ 0 ,B ≠ 0 ) ,求证 :P到L的距离d =｜Ax0 +By0 +C｜A2 +B2 .证法一 :过P点作L的垂线交L于Q(x1 ,y1 ) ,则kPQ =BA∴ x1 -x0y1 -y0=AB ①∵Ax1 +By1 +C =0 ,∴将其变形为A(x1 -x0 ) +B(y1 -y0 )=-(Ax0 +By0 +C) ②联立①②得 :x1 -x0 =-A(Ax0 +By0 +C)A2 +…     

二倍角公式

1．二倍角公式 sin2α=2sinαcosα, cos2α=cos^2α-sin^2α=2cos^2α-1 =1-2sin^2α.     

乘法公式创新题

一、结论开放题例1　(2002 年济南市中考题)请你观察图 1 中的图形,依据图形面积的关系,不需要添加辅助线,便可得到一个你非常熟悉的公式,这个公式是　　　　.分析　利用面积关系即可列出x2 -y2 = (x-y)2 +2(x-y)y,变形后得(x+y)(x-y) = x2 -y2,或x2 -y2(x+y)(x-y),或(x-y)2 = x2-2xy+y2在上述公式中任意选一个即可.例2　(2003年陕西省中考题)如图2(1),在长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a>b),把余下的部分剪拼成一个矩形,如图 2(2),通过计算两个图形的面积,验证了一个等式,则这个等式是　　　　　　　.点点滴滴分析　利用面积关…