关于完美海伦三角形的存在性

海伦三角形是边长和面积均为整数的三角形．若海伦三角形的三边长互素，称为本原海伦三角形．我国著名数学史学家沈康身先生在其出版的新著《数学的魅力（1）》一书的第十章，分析了海伦三角形及其性质，其中提出了完美海伦三角形的定义：外接圆半径、内切圆半径均是整数的本原海伦三角形称为完美海伦三角形．沈先生证明了直角三角形不可能是完美海伦三角形，并提出问题：完美海伦三角形是否存在呢？     

外接圆一定的整边三角形

在直径为整数的圆的内接三角形中,有多少三边都是整数的三角形(整边三角形),如何求出它们,是一个较困难的问题.本文通过两个引理,给出整边三角形的一种求法.引理1 若整边三角形△(a,b,c)的外接     

一类海伦三角形

三边为整数的三角形叫整边三角形，整边三角形的周长为整数但面积不一定为整数，面积为整数的整边三角形叫海伦三角形．一个自然的问题是：是否存在海伦三角形，其周长与面积在数值上相等？我们先来解决下面的问题．     

特殊三角形的探究

小明在一本数学课外书中看到了这样一个问题：是否存在一个三角形,使它的三边长是连续整数,且其中一角是另一个角的2倍？小明试了几个具有特殊角的三角形：①30°、60°、90°;②45°、45°、90°;③36°、72°、72°,发现这些三角形均满足“其中一角是另一个角的2倍”,但三个三角形的三边长都不可能全部是整数,更谈不上是连续整数了．于是小明翻看了答案,答案上说“存在,     

边长为连续整数的三角形

设△ABC的三边长为a、b、‘,那么: (1)如果△ABC是直角三角形,c是斜边,则有 cZ一“2+bZ;(2)如果△ABC是钝角三角形,c是钝角的对边,则有 cZ>aZ+bZ; (3)如果△ABC是锐角三角形,则有 尸<护+夕. 在此基础上可以研究边长为连续整数的三角形. 问一三边长为连续整数的直角三角形存在吗?如果存在,有多少? 分析设三边长为x一1、x、x+1,则有 (x+1)2一xZ十(x一l)2,解得x一4,其三边长为3、4、5,这就是你熟知的“勾三、股四、弦五”,它说明三边为连续整数的直角三角形是存在的,并且只有一个. 问二三边长为连续整数的钝角三角形存在吗?如果存在,有…     

整数三角形

(此讲座适合高中一、二、三年级)“三角形三边均为整数,且最大边长为11的三角形共有多少个?”“三角形三边为三个连续整数,且有一个角是另一个角的两倍,求这个三角形的三边之长。”这些有趣的数学竞赛题所涉及的三角形三边均为整数.我们定义:一个三角形的三边均为整数,这样的三角形称为整数三角形.比如边长为2,3,4的三角形,边长为5,12,13的三角形都是整数三角形.整数三角形这个课题十分广阔,本文只择其中的要点作些简要介绍.     

成果集锦

关于三角形中角格点问题的研究如果三角形内角都是 10°的整数倍 ,其内某点同三顶点连线得到的所有角 ,也都是 10°的整数倍 ,则该点称为三角形内的角格点 .本文研究三角形角格点的计数及应用 .首先 ,三个角都是 10°整数倍的三角形共有 2 7种(即Ａ Ｂ Ｃ =18,Ａ≤Ｂ≤Ｃ的正     

人教版七年级(下) 第七章三角形

一、选择题(每题3分,共24分)1.下列命题正确的是( ).A.三角形的角平分线、中线及高都在三角形内B.直角三角形的高只有一条C.三角形至少有一条高在形内D.钝角三角形的三条高都在形外2.已知三角形三边的长 a,b,c 均为整数,其中某两条边长之差为5,若此三角形的周长为奇数,则第三边长的最小值为( ).A.4 B.6 C.7 D.8     

例说“新定义”类几何问题的求解策略

<正>数学试题中,经常出现"新定义"问题.这类问题往往制定了一种新的情境或新的运算,主要考察学生的数学学习能力,以及运用新知识分析问题和解决问题的能力.同时,通过对问题的解决,促进学生数学核心素养的发展.下面举例说明这类问题的解决方法和策略.一、"玲珑三角形"问题例1 (2015年北京市竞赛题)若三角形的三条边a,b,c为整数,其一边上的高恰为另两条边的高之和,则称这样的三角形为"玲珑三角形".证明:(1)存在玲珑三角形;(2     

整边正三角形剖分

△ABC的三边为a,b,c,若a,b,c均为整数,则△ABC称为整边三角形,并记为(a,b,c)。 我们容易发现并证明,(7,3,8)和(7,5,8)都是含60°的整边三角形,而且正巧可以拼成一个边长为8的正三角形,如图1所示。 这个例子启示我们发现了下述定理。 定理1 以长k~2 k 1,k~2 2k(k=2,3,…)为边的含60°的整边三角形可有两     

一道古典概型题的启示

一道古典概型题：把一长度为6的铁丝截成3段,若三段的长度均为整数,求能构成三角形的概率．     

两边和为定值的整边三角形个数

设整数a,b,c为三角形三边,a b=n∈N,则1≤c≤n-1,不妨设b≥a,有1≤a≤[n/2]。若b≤c,有a b=N>c,a,b,c均可构成三角形;如b≥c,则仅当a c>b时可构成三角形,设a=i,有b=n-i,当     

这样的直角三角形有几个？

马明老师在本刊2001年1、2合刊上发表了题为《边长为连续整数的三角形》一文．文中提出了一个古老的问题，“三边长为连续整数且面积也为整数的直角三角形存在吗?如果存在，有多少个?”文章指出只有一个，这就是边长为3，4，5的直角三角形，它的面积为6，也是整数，问题饶有趣味。     

例解一次函数综合题

例1已知直线x-2y=-k+6和x+3y=4k+1,若它们的交点在第四象限内:(1)求k的取值范围;(2)若k为非负整数,点A的坐标为(2,0),点P在直线x-2y=-k+6上,求使三角形PAO为等腰三角形的点P的坐标.     

第48届IMO预选题（一）

数论部分 1.求所有的正整数对(k,n),使得(7k-3n)|(k4 n2). 2.设b、n是大于1的整数.若对每一个大于1的正整数k,都存在一个整数ak,使得k|(b-ank),证明:存在整数A,使得b＝An.     

海伦三角形

已知△ABC的三边长a=13,b=14,c=15,由海伦公式可以求得△ABC的面积S=84.这种三边长为连续整数,面积也是整数的三角形叫做"海伦三角形". 除上述三角形外,三边长a=3,b=4,C=5的三角形也是海伦三角形(面积为整数6). 要想再找出几个海伦三角形,这可能很困难.要找     

斐波那契三角形的存在性问题

罗增儒教授<数学解题学引论>附录问题4:称数列{an}:a1=a2=1且an 2=an 1 an中的项为斐波那契数;又称以斐波那契数为边长且面积也为整数的三角形为斐波那契三角形.问是否存在斐波那契三角形?     

整边三角形

我们通常称三边长都是整数的三角形为整边三角形,它是数学竞赛中经常涉及到的一类问题由于其既要用到三角形的性质,又要用到整数的性质,因此,有一定的难度．     

有相同面积和相同周长的三角形是否全等?

若两个三角形有相同的面积和周长,这两个三角形全等吗?我们从直角三角形开始研究.引理设 ABC 和 RST 是直角三角形,若三角形 ABC 的面积等于三角形 RST 的面积且三角形 ABC 的斜边长等于三角形 RST 的斜边长,则三角形 ABC 全等于三角形 RST.证明由假设三角形 ABC 和 RST 是直角三角形,则在三角形 ABC 中,a~2 b~2=c~2.在     

充分利用课堂教学激发学生兴趣

数学教学中的操作实践活动,是激发学生学习兴趣行之有效的活动,全等三角形概念的复习,按照传统的复习方法,通常组织学生读背。而笔者在复习全等三角形概念时,则通过作图方法来复习概念的。1．学生作一个任意三角形（边长要求整数,角度为整数度数）;2．用三种不同的方法,作出与原三角形全等的三角形。（作图时边作图边口述,坚持理论与实践相结合,加深对概念的理解）。