双曲线y=k/x中的“置量守恒”

规律小结 自双曲线上的任意两点分别向x轴和y轴作垂线段,则： 量守恒 双曲线上的点及其对应的横纵垂足和坐标原点构成的矩形面积相等．     

反比例函数图象中矩形的问题

例1 如图，点A在双曲线y=1/x的图象上，点B在双曲线y=3/x的图象上，且AB∥x轴，点C、点D在x轴上，四边形ABCD是矩形，求矩形的面积．     

错在哪里

1.设双曲线的中心在原点,准线平行于x轴,离心率e=√5/2,且点Q(0,5)到此双曲线上的点的最近距离为2,求双曲线的方程.     

谈双曲线的渐近线

双曲线的渐近线反映了双曲线的大致走向。我们知道，焦点在X轴上的双曲线一般方程是：，它的渐近线是在双曲线的标准方程中，变形得：我们要问：和双曲线具有共同渐近线的双曲线都有哪些呢？因为具有共同渐近线的双曲线走向相同，所以我们有必要探讨这个问题、我们有如下结论：定理：与双曲线具有共同渐近线的双曲线具有λ（λ≠0）的形式。反之亦然。（证明从略）可见，是一族双曲线，当λ＞0时，它们的焦点在x轴上；当λ＜0时，它们的焦点在y轴上，若λ＝0，则就是渐近线。λ＝0这点可以看作突变点，也就是现代数学中所谓的分支点，在分…     

巧用双曲线图象中的“置量守恒”解题

置量守恒：自双曲线上的任意两点分别向X轴和Y轴作垂线段,则：     

再谈等轴双曲线的典型性质

文[1]给出并证明了具有高度对称美的等轴双曲线所独有的五个典型性质.经过本人的进一步研究,发现等轴双曲线还有另外几个典型性质.下面一一列出,并加以证明.性质一等轴双凸线上关于实轴对称的两点分别与此双曲线两个顶点的连线互相垂直.证明:如图1,设等轴双曲线 x~2-y~2=a~2     

一个等比性质的推广及其逆命题的探究

题目 如图1，双曲线b^2x62-a^2y^2=a^2b^2（a〉0,b〉0）的实轴为BC，x轴上一个定点D（m，0）（｜m｜〉a），双曲线上一点A（不重合于顶点），过点D作x轴的垂线l，l与AB，AC及双曲线的交点依次为F，E，G，且G是朋的内分点．求证：｜DG｜^2=｜DE｜·｜DF｜．     

等轴双曲线一个性质的推广及其它

文[1]得到如下定理： 定理等轴双曲线上的三点构成正三角形的充要条件是三角形的外心与三角形的外接圆和双曲线的另一个交点关于坐标原点对称．     

在一题多解中培养发散思维能力

题目如图1,已知双曲线Y=k/x生经过点D（6,1）,点C是双曲线第三象限的动点,过点C作CA⊥X轴于点A,过点D作DB⊥Y轴于点B,连结AB、BC．     

顶点三角形性质面面观

定义 椭圆（或双曲线）上的一点和长轴（或实轴）两珉点组成的三角形叫做顶点三角形．     

例析反比例函数与三角形面积的关系

反比例函数y=k/x（k≠0）的图象是双曲线,过该双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线,两垂线与坐标轴围成的矩形面积等于｜k｜;或以该点与垂足、原点为顶点的直角三角形的面积等于｜k/2｜,这就是k的几何意义．     

圆锥曲线一个性质的完善

文[1]给出类似于“焦点与准线的对应关系”的抛物线的性质,文[2]把其扩张到圆锥曲线上,以三个命题的形式出现,其中命题2针对双曲线的情形还欠完善,本文将作点补充,并说明补充后是完备的。文[2]的命题2是:设有双曲线(x~2/a~2)-(y~2/b~2)=1(a>0,b>0),M(m,0)为x轴上除原点和顶点外的任一点,过M点引一条直线与双曲线相交于A,B两点,则这两点与x轴上的另一点N((a~2/m),0)的连线与x轴成等角。     

利用“λ”法求双曲线标准方程

上海市高中二年级数学第一学期(试验本)课本第115页有这样一道例题:已知双曲线过点P(4,3),它的一条渐近线的方程为y=1/2x,求双曲线的标准方程．传统的解法:∵双曲线的一条渐近线方程为y=1/2x,∴当x=4时,渐近线上对应点的纵坐标为1/2×4=2,小于点P的纵坐标3(如图1),所以双曲线的焦点在y轴上．于是,设双曲线的方     

圆锥曲线中的一类定点、定线探秘

文[1]与文[2]给出了圆锥曲线的一个如下性质:性质1已知椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>b>0),C,D是椭圆上x轴同侧的两点,A,B分别是椭圆的左右顶点,直线AC,BD交于点P,直线AD,BC交于点E,直线PE交x轴于点M,则PE⊥x轴,且PE平分∠CMD.性质2已知双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1(a>0,b>0),C,D是双曲线上x轴同侧的两点,A,B分别是双曲     

揭开神秘面纱 本质自然显现——探究圆锥曲线定点弦的一个性质

本文从一道与椭圆有关的考题入手，探究椭圆定点弦的一个性质，即已知椭圆的过x轴上一定点的弦，作出弦的一个端点关于∞轴的对称点．则过此对称点和弦的另一个端点的直线也过x轴上一定点．进一步探究．此性质可以类比至双曲线和抛物线．     

反比例函数的一个性质及其应用

<正>反比例函数y=k/x的本质特征是:两个变量y与x的乘积是一个常数k.由此不难得出反比例函数的一个重要性质:性质如图1,点P(x,y)是反比例函数y=-k/x上任意一点,过点P作PA⊥x轴于点A,作PB⊥y轴于点B,则S_(长方形AOBP)=|k|,S_(△PAO)=1/2|k|.下面举例说明上述结论的应用.一、正向应用例1如图2,点A在双曲线y=1/x上,点B在双曲线y=3/x上,且AB∥x轴,C、D在x轴上,若四边形ABCD的形状为矩形,则它的面积为____.     

由两道中考试题得出的两个优美互逆性质

在初三复习教学中,下面两道中考题引起了笔者的注意:试题1(2008南通)如图1,已知双曲线y=k/x与直线y=1/4x相交于A,B两点.第一象限上的点M(m,n)(在A点左侧)是双曲线y=k/x上的动点.过点B作BD//y轴交x轴于点D.过N(0,-n)作NC//x轴交双曲y=k/x于点E,交BD于点C.(1)若点D坐标是(-8,0),求A,B两点坐标及k的值.(2)若B是CD的中点,四边形OBCE的面积为4,求直线CM的解析式.     

双曲线的一个不等式及应用

文 [1]～ [4 ]给出了与圆锥曲线有关的一些不等式 ,本文再给出与双曲线有关的一个不等式 ,然后介绍它的应用 .定理　设F是双曲线的一个焦点 ,l是过焦点F且垂直实轴的直线 ,A1、A2 是双曲线与实轴的两个交点 ,P∈l,∠A1PA2 =α ,e是双曲线的离心率 ,则α为锐角 ,且sinα≤ 1e.当且仅当点P到双曲线实轴的距离是双曲线虚半轴长时取等号 .证明　不妨设双曲线方程为 x2a2 - y2b2 =1,F(c,0 )为右焦点 ,P位于x轴上方 ,如图 1所示 .易知过点F垂直于x轴的直线l的方程为x =c,从而可设点P的坐标为 (c ,y) (y>0 ) .又知A1(-a ,0 ) ,A2 (a ,0 ) ,由…     

开拓思维 高效解题——一道解析几何问题的多种解法

<正>焦点三角形是指以椭圆(或双曲线)的焦距F1F2为底边,顶点P在椭圆(或双曲线)上的三角形.熟练掌握焦点三角形的性质,对培养创新能力和解题能力具有重要意义.例题双曲线x29-y216=1的焦点为F1、F2,点P在双曲线上,若PF1⊥PF2,则点P到x轴的距离为.分析设P(x0,y0),则|y0|就是点P到x轴的距离,故只需求出点P的纵坐标即可.解法1(辅助圆法)构造以焦点F1、F2为直径的辅助圆.由圆的知识可知,若点P在圆上,则F1PF2是直角三角形;若点P在圆内,则F1PF2是钝角三角形;若点P在圆外,则F1PF2是锐角三角形.     

探索一类与圆锥曲线焦点弦有关的定值问题

<正>１案例呈现题目已知双曲线■的离心率是■过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点．设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d₁和d₂,且■(1)求双曲线C的方程;(2)过双曲线C的右焦点作直线l(与x轴不垂直)与曲线C交于M,N两点,线段MN的垂直平分线交x轴于点P,是否存在实常数λ,使得MN=λPB？若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由．