向量与三角的全方位沟通

当今高考数学命题注重知识的整体性和综合性,重视知识的交汇性,向量是新课程新增内容,具有代数与几何形的双重身份·它是新旧知识的一个重要的交汇点,向量与三角的交汇是当今高考命题的一个热点·一、向量与三角函数性质的沟通向量的坐标形式中,我们可以用三角函数来表示,这是向量和三角沟通的一个渠道,此时通过向量的数量积和模我们可以构造三角函数,从而解决三角函数的性质·例1已知向量→a=(cos32x,sin32x),→b=(cos2x,-sin2x),且x∈[0,π2],求:①→a·→b及|→a →b|;②若f(x)=→a·→b-2λ|→a →b|的最小值是-23,求λ的值·分析:①→a…     

构造向量巧解有关不等式问题

新教材中新增了向量的内容,其中两个向量的数量积有一个性质:a·b=|a|·|b|cosθ(其中θ为向量a与b的夹角),则|a·b|=||a|·|b|cosθ|,又-1≤cosθ≤1,则易得到以下推论:(1)a·b≤|a|·|b|;(2)|a·b|≤|a|·|b|;(3)当a与b同向时,a·b=|a|·|b|;当a与b反向时,a·b=-|a|·|b|;⑷当a与b共线时,|a·b|=|a|·|b|.下面例析以上推论在解不等式问题中的应用.一、证明不等式例1已知a、b∈R ,a b=1,求证:2a 1 2b 1≤22.证明:设m=(1,1),n=(2a 1,2b 1),则m·n=2a 1 2b 1,|m|=2,|n|=2a 1 2b 1=2.由性质m·n≤|m|·|n|,得2a 1 2b 1≤22.例2已知x y z=1,求…     

向量的夹角问题

已知|a|=2~(1/2),|b|=3,a、b的夹角为45°,若向量a+λb与λa+b的夹角为锐角,求λ的取值范围.     

构造何量 探索解题新思路

向量中有重要不等式|a|·|b|≥|a·b|,如果我们把a和b都看成n维向量,它们的坐标表示是a=(a_1,a_2,…,a_n),b=(b_1,b_2,…,b_n),定义向量a、b的数量积a·b=a_1b_1 a_2b_2 … a_nb_n,|a|=(a_1~2 a_2~2 … a_n~2)~(1/2),|b|=(b_1~2 b_2~2 … b_n~2)~(1/2).下面谈谈利用|a|·|b|≥|a·b|来解决等式条件下的最值问题.     

一个向量题的错误解答引出的思考

题目 已知→a,→b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量→c满足(→a-→c)·(→b-→c)=0,则|→c|的最大值是() A.1 B.2 C.√2 D.√2/2 错解:因→a ⊥→b,所以→a·→b=0,由(→a-→c)·(→b-→c)=0得→a·→b-→c·(→a+→b)+|→c| 2 =0,即得|→c|2=→c·(→a+→b),两端平方得|→c| 4=[→c·(→a+→b)]2,|→c|4=(→c)2·(→a+→b)2,即|→c|4=(→c)2[(→a)2+(→b)2+2→a· →b],即|→c| 4=|→c|2[1+1+0],即|→c| 4=2|→c|2,|→c|2 =2,即|→c|=√2,所以,|→c|为定值,最大值和最小值都是√2,故正确选项为C.     

向量导数巧求最值

恰当地应用好向量和导数,许多最值问题便迎刃而解,并且利用向量和导数来求最值,容易被学生接受.为了便于比较.一、用|a||b|≥a.b求最值例1已知x,y,z∈R ,且x y z=1,求x1 4y z9的最小值.解:令a=(1x,2y,3z),b=(x,y,z),则|a|2=1x 4y 9z,|b|2=1,(a.b)2=(1 2 3)2=36.由|a|2|b|2≥(a.b)2得,1x 4y 9z≥36,当且仅当1x=2y=3z时等号成立,即x=16,y=31,z=21.∴1x 4y 9z的最小值为36.例2已知ai,bi∈R ,且∑ni=1ai=∑ni=1bi=1,求a1a 12b1 a2a 22b2 … ana 2nbn的最小值.解析:令p=(a1a1 b1,aa2 2b2,…,anan bn,q=(a1 b1,a2 b2,…,an bn),则|p|2=a1a 21b1 a…     

2014年高考数学必做创新题

第1点运算定义型()必做1定义平面向量的一种运算:ab=|a|·|b| sin〈a,b〉,则下列命题:1ab=ba;2λ(ab)=(λa)b;3(a+b)c=(ac)+(bc);4若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=|x1y2-x2y1|.     

用|a|~2≥(a·b)~2/|b|~2简解代数最值题

性质 |a|~2≥(a·b)~2/|b|~2(当且仅当a与b共线时取等号)。证明 设两向量的夹角为θ，则 |a|~2=(|a|~2)·(|b|~2)/|b|~2其中当且仅当a与b共线时取等号.用性质(*)求代数最值问题,不仅可以解决常规方法不易解决的问题,而且求解思路清晰,解答过程简捷明快,解题方法新颖易懂,是新教     

对一道解析几何试题的探究

1 试题及其解答 (2016年高考四川理第20题)已知椭圆E:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点,直线l:y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T. (Ⅰ)求椭圆E的方程及点T的坐标; (Ⅱ)设O是坐标原点,直线l'平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A,B,且与直线l交于点P.证明:存在常数λ,使得| PT|2=λ|PA|·|PB|,并求λ的值.     

平面向量

☆基础篇诊断检测一、选择题1.下列说法正确的是()(A)平行向量就是与向量所在直线平行的向量.(B)长度相等的向量叫相等向量.(C)零向量的长为0.(D)共线向量是在一条直线上的向量.2.已知向量a与b反向,下列等式成立的是()(A)|a|-|b|=|a-b|.(B)|a+b|=|a-b|.(C)|a|+|b|=|a-b|.(D)|a|+|b|=|a+b|.3.给出下列命题:(1)如果λa=λb(λ≠0),那么a=b.(2)若a0为单位向量,a与a0平行,则a=|a|a0.(3)设a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R),则当e1与e2共线时,a与e1也共线.其中真命题的个数是()(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.4.将函数y=x2+4x+5的图象按向量a经过一次平移后,…     

解决《平面向量的数量积》的方法例析

<正>一、知识梳理1.平面向量的数量积。(1)定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ,规定零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0。(2)几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。2.平面向量数量积的运算律。(1)a·b=b·a(交换律)。     

求“最值”的特殊方法

在初中数学中,常常出现求“最值”的问题.这里介绍几种求“最值”的特殊方法.一、构造方程例1已知:a、b、c均为实数,且满足a b c=2,abc=4.(1)求a、b、c中最大者的最小值;(2)求|a| |b| |c|的最小值.解∵a b c=2>0,abc=4>0.∴a、b、c中应为两负一正.设a>0,b<0,c<0.(1)由a b c=2,a     

向量的数量积

向量a与b之间的夹角定义为分别等于a和b并且具有公共始点的两个向量之间的夹角(Fig.1).向量a乘以向量b的数量积定义为ab,它等于这两个向量的绝对值与它们夹角的余弦的乘积,即ab=|a||b|cosθ.数量积具有如下可由定义直接推出的性质:(1)ab=ba;(2)a~2=aa=|a|~2;(3)(λa)b=λ(ab);     

利用向量数量积的几何意义解题

平面向量作为高中数学的三大工具之一,用它来解几何题有着其独特的先进性和优越性.本文将通过实例来说明如何利用向量数量积的几何意义来解答有关问题. 1 1.数量积的几何意义 人教A版必修四第105页指出: 两个向量数量积→a·→b的几何意义是→a在→b方向上的投影|→a|cosθ与|→b|的积,其中θ为向量→a与→b的夹角.     

含绝对值的函数最值问题探究

<正>最近,在高三的一轮复习课堂上接连出现含绝对值的函数最值问题,经过探究,发现很有规律可循.例1(2016年全国高考仿真模拟预测卷四(儒风教育集团命制)第24题):对于任意实数a(a≠0)和b,求|a+b|+|a-2b||a|的最小值.解|a+b|+|a-2b||a|=ba+1+2·ba-1,设ba=x,则|a+b|+|a-2b|     

平面向量的数量积热点题型展示

题型1:求数量积、求模、求夹角 例1 (2011年高考江西理11)已知|a|=|b| =2,(a+2b)·(a-b)=-2,则a与b的夹角为______. 解析:根据已知条件(a+2b)·(a-b)=-2,去括号得|a|2+a·b-2|b|2=4+2×2×cosθ-2×4=-2(→)cosθ=1/2,故θ=60°.     

用|a|~2≥((a·b)~2)/(|b|~2)简解最值竞赛题

性质 |a|~2≥((a·b)~2)/(|b|~2)(当且仅当 a 与 b 共线时取等号).(*)证明设两向量的夹角为θ,则|a|~2=(|a|~2|b|~2)/(|b|~2)≥(|a|~2|b|~2cos~2θ)/(|b|~2)=((a·b)~2)/(|b|~2).用性质(*)求最值问题,不仅可解决按常规方法不易解决的问题,而且求解思路清晰,解答过程简捷明快,解题方法新颖易懂,是新教材衍生的一种富     

柯西不等式的向量形式(高二、高三)

柯西不等式 设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn均是实数,则有 (a1b1 a2b2 … anbn)2 ≤(a12 a22 … an2)(b12 b22 … bn2)等号当且仅当ai=λbi(λ为常数,i=1,2,…,n)时成立. 向量形式 设n维向量α(a1,a2,…,an),β(b1,b2,…,bn),则有 α·β≤|α|·|β|,当且仅当α∥β时取等号. 推论1 设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn均是实数,则有(a12 a22 … an2)~(1/2) (b12 b22 … bn2)~(1/2)     

活用向量工具 巧证不等式

在新教材向量部分的知识中,有一些向量不等式,例如:设 a,b 为两个非零向量,则有三角不等式:|a|-|b|≤|a±b|≤|a| |b|;数量积不等式:a·b≤|a·b|≤|a|·|b|和 |a|~2≥(a·b)~2/(|b|~2),当且仅当 a 与 b 共线(同向或反向)时,等号成立。我们可以借助这些向量不等式来解决一些具有相似结构特征的代数不等式问题,其中数量积的定义及其坐     

巧用向量运算 妙解数学题

平面向量是新编高中数学教材新增加的内容之一.由于它融数、形于一体,是中学数学知识的一个交汇点和联系多项内容的媒介,故而成为解决数学问题的重要工具.下面就向量在数学解题中的应用予以举例说明.一、求函数最值函数最值问题是高中数学中一类重要题型,依据具体题型及结构关系,解法灵活多样,是学生学习的一个难点.1.探求一元函数的最值例1求函数f(x)=x2+3x+3+x2-3x+3的最小值.解:由于f(x)=(x+32)2+34+(32-x)2+34,现设向量a→=(x+32,32),b→=(32-x,32),则f(x)=|a→|+|b→|.而|a→|+|b→|≥|a→+b→|=32+(3)2=23,当且仅当a→与b→同向时取等…