有一角为120°的整数边三角形

近来很多省市的高中、中专招生考试数学试题都涉及边长为3、5、7的三角形,因为这样的三角形有一个内角恰好等于120°,由此想到一个问题: 除去边长为3、5、7的情形而外,是否存在其他形状的三角形,它们的边长也都是整数,并且有一内角恰好等于120°呢? 本文目的就是解答这个问题,我们将证明下面的一般结论: 定理 设     

整数三角形

一个三角形,除了三个内角A、B、C及其外角外,它的元素还有三条边a、b、c,三条高h_a、h_b、h_c,三条中线m_a、m_b、m_c,三条内角平分线t_a、t_b,t_c,三条外角平分线t_a'、t_b'、t_c',以及周长2p,面积S,外接圆半径R,内切圆半径r,旁切圆半径r_a、r_b、r_c等(其中a为A所对的边,h_a为a边上的高,其它类推)。我们在编制三角形的计算题时,为了避免具体计算的繁冗,往往希望把线段的长或者面积的值凑成整数。这样,不但便于计算与说明,而且还可以给人一种数学美的享受。试想,利用勾股定理,当     

整数三角形

(此讲座适合高中一、二、三年级)“三角形三边均为整数,且最大边长为11的三角形共有多少个?”“三角形三边为三个连续整数,且有一个角是另一个角的两倍,求这个三角形的三边之长。”这些有趣的数学竞赛题所涉及的三角形三边均为整数.我们定义:一个三角形的三边均为整数,这样的三角形称为整数三角形.比如边长为2,3,4的三角形,边长为5,12,13的三角形都是整数三角形.整数三角形这个课题十分广阔,本文只择其中的要点作些简要介绍.     

也谈三角形的分类

上述三种分类方法,哪种对呢?众说纷纭。第一种分法的人认为:不等边三角形就是三边两两不相等的三角形;等腰三角形就是只有两边相等,底与腰不相等的三角形。第二种分法的人认为:等腰三角形是至少有两边相等的三角形,即等腰三角形包含了等边三角形。第三种分法的人认为:不等边三角形就是除等边三角形以外的三角形,也可以说是三边不全相等的三角形。     

也谈三角形外角平分线三角形的性质

定义 以三角形相邻两外角平分线的交点为顶点的三角形称之为原三角形的外角平分线三角形．     

例谈三角形的三边关系

我们知道,三角形的两边之和大于第三边,三角形的两边之差小于第三边,利用三角形的三边关系可以判断三条线段能否构成三角形,如果已知三角形的两边,我们也可以求出第三边的取值范围.     

也谈三角形重心的性质

读了《数学教师》1995年第12期《三角形重心的性质再探》一文,得益匪浅,颇受启发.作为对该文的一点补充,本文拟揭示三角形重心的另外一些鲜为人知的有趣性质,供读者参考. 定理1 设O为△A_1A_2A_3的重心,P为这三角形所在平面内的任意一点,则 sum form i=1 to3 PA_i~2=3/·OP~2 sum form i=1 to 3 OA_i~2.     

再谈相似三角形共线边定理

《数学教学通讯》2000年第1期《相似三角形共线边定理及其应用》一文中的相似三角形共线边定理,没有考虑三角形全等是相似的特殊情况,不具有一般性。本文给出使此定理具有一般性的两种表达形式和跟射影定理等价的定理——直角三角形共线边定理。同一平面内,一个多边形的一条边在另一个多边形的一条边所在的直线上,这两条     

例谈三角形三边关系的应用

本文试对三角形三边关系——三角形的任何两边的和大于第三边的应用作一些归纳，希望能对同学们有所帮助。     

共边三角形

有一条公共边的三角形叫做共边三角形．     

也例谈一元二次方程整数解的解法

解含参数的一元二次方程整数解的问题,关键是要熟练掌握一元二次方程解的概念、解法、根的判别式、根与系数的关系,以及整数、完全平方数性质,缩小未知数的取值范围,利用不等式组的解集得出整数解,并能运用分类讨论或逐个检验等思想方法,得出正确的结果：也可把解的形式转化为整式与分式的和,分式的值要为整数分母必须为整数且能整除分子,求出相应的整数解;     

三角形边的关系

正【教学背景分析】1.教材分析。《三角形边的关系》是人教版实验教科书·数学四年级下册的一个章节,是在学生已经初步了解三角形基本概念基础上,进一步研究三角形的组成特征。教材重视体现知识的形成过程,而且留给学生充分进行自主探究的空间,让学生在动手操作、合作交流中发现并形成结论。2.学情分析。学生已经知道三角形有三个边、角、顶点等知识,为研究边的关系做好了知识准备。学生生活中已积累了一些三角形三边关系的感性经验,但学生     

例谈三角形第三边的取值范围

题目锐角三角形的边长分别为2,3,x,则x的取值范围是( ).错解许多学生将题设条件中的锐角三角形认作任意三角     

边长为连续整数的三角形

设△ABC的三边长为a、b、‘,那么: (1)如果△ABC是直角三角形,c是斜边,则有 cZ一“2+bZ;(2)如果△ABC是钝角三角形,c是钝角的对边,则有 cZ>aZ+bZ; (3)如果△ABC是锐角三角形,则有 尸<护+夕. 在此基础上可以研究边长为连续整数的三角形. 问一三边长为连续整数的直角三角形存在吗?如果存在,有多少? 分析设三边长为x一1、x、x+1,则有 (x+1)2一xZ十(x一l)2,解得x一4,其三边长为3、4、5,这就是你熟知的“勾三、股四、弦五”,它说明三边为连续整数的直角三角形是存在的,并且只有一个. 问二三边长为连续整数的钝角三角形存在吗?如果存在,有…     

再谈“三角形边的关系”的教学

带着很大的兴趣阅读了贵刊2006年第10期上刊登的潘小明老师的文章《智慧和人格在数学活动中生成——从教学“三角形边的关系”谈起》。因为相关内容的教学,特别是如何能在这一过程中很好地引导学生主动地去进行探究(包括动手实验),也正是笔者新近发表的一篇文章《小学数学教学热点问题透视》(载《人民教育》2006年第18期)的一个直接论题。     

也谈关于三角形面积的一个不等式

贵刊1987年第二期刊《有关三角形面积的一个不等式》,读后深受启发,但感到文中对定理——若P为△ABC内的一个任意点,分别连结AP、BP、CP并延长交对边BC、CA、AB于D、E、F,则S_△DEF≤1/4S_△ABC——的证明过于繁复。这里提供一个简单的证法。证明如图设BD:DC=;λ_1,CE:EA=λ_2AF:FB=λ_3,则     

也谈涉及三角形高线的一个不等式

本刊２０００年第４期介绍了涉及三角形高线的不等式［１］ 受其启发，笔者也得到了如下一个优美不等式． 定理设ｈａ、ｈｂ、ｈｃ分别是△ＡＢＣ的ａ、ｂ、ｃ边上的高，则有当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时取“＝”号． 证明记△ＡＢＣ的半周长、面积、外接国半径、内切圆半径分别为ｐ、Ｓ、Ｒ、ｒ．于是有 由恒等式 ａｂｃ＝ ４ＲＳ＝４Ｒｒｐ，得 由欧拉不等式Ｒ≥２ｒ．得 ≥４，即≥４也谈涉及三角形高线的一个不等式@张贇$甘肃省金昌市第一中学!7371001庞耀辉.涉及三角形高线的一个不等式[J].数学 教学研究,2000(4):38.…     

也谈“三角形相似的识别”

“探索三角形相似的条件”是《图形的相似》一章的重点,也是后续学习的基础.那么,如何才能学好这部分知识呢?本文给出了几点建议.一、正确理解三角形相似的条件相似三角形与全等三角形,其识别方法一脉相承、相互对应,所不同的是全等需对应边相等,而相似则要对应边成比例.例1判断△ABC与△DEF满足下列条件时是否相似?(1)∠A=∠D=50°,∠B=70°,∠E=60°;(2)∠A=∠E=40°,AB=2,BC=3,DE=4,DF=6;(3)AB=2,BC=4,AC=5,DE=2,EF=2·5,DF=1.析解(1)因为∠A=∠D=50°,∠B=∠F=70°,所以△ABC∽△DFE;(2)因为DAEB=DBFC=21,虽有∠A=…