关于二次曲面的切平面的定理

《曲阜师院学报》1981年第3期登载了张维谐、王恩大二位同志的文章“直线和圆锥曲线相切的充要条件”。他们指出了对这个问题讨论的重要性并且证明了以下的三个定理:定理1 一直线是椭圆的切线的充要条件是它与椭圆仅有一个公共点。定理2 一直线是双曲线的切线的充要条件是它不平行于双曲线的渐近线,且与双曲线仅有一个公共点。定理3 一直线是抛物线的切线的充要条件是它不平行于抛物线的对称轴,且与抛物线仅有一个公共点。     

对双曲线的一个特殊区域的探究

在解析几何中,研究双曲线时,我们经常遇到这样两个问题:(1)利用“判别式法”求双曲线的切线有时不可靠,那么,在什么情况下利用判别式法求出的“切线”不可靠,我们能否把不可靠的“切线”一下子鉴别出来呢?(2)以已知点为中点的双曲线的弦所在的直线有时不存在,又在什么情况下以已知点为中点的弦不存在?以下就这两个问题作深入一步的探究.     

关于圆锥曲线切线性质的探究

为了研究与圆锥曲线有关的切线问题和定点定直线问题,分别对椭圆,双曲线和抛物线的切线进行了讨论,应用引理的结论,采取解析法,通过对命题和逆命题的证明,得到了圆锥曲线与切线有关的一些性质.     

用切线方程巧求一类最值

椭圆,双曲线的斜率为k的切线方程分别为．（用判别式法推导切线的方程简单易得,本文从略）．下面主要谈谈应用以上切线方程,求解形如：的无理函数的最值,举例如下．例1求函数的最小值．解今x＝2,则对于给定的常数t,方程表示斜率为t,且切半椭圆的一条直线．因此所求函数的最小值,实际上就是斜率t变化时,这些切线与直线X一2交点的最小纵坐标．作图易知,当切点在直线x=2上时,这条切线与直线x=2交点的纵坐标最小．所以例2求函数的最小值．解今x=5,则方程表示斜率为t,且切双曲线于x轴上方部分的一条直线．类似例1可知,当切点在直…     

关于重根和相切的问题

现行中学数学教材中,选编了大量的二次曲线的切线问题。解决此类问题一般是用二次方程的判别式法。因为直线和圆相切的充要条件是它们有唯一的公共点,这一几何事实反映在代数方程上就是有重根,所以用判别式法解决圆的切线问题理由是充足的。但仅有一个公共点的切线定义对抛物线和双曲线不再适用了,那么用判别式法讨论这两类曲线的切线问     

双曲线切线的几个典型性质及其证明

在对直线与双曲线位置关系的研究中,笔者发现,双曲线的切线作为和双曲线位置关系最特殊的直线,有着它自身所独有的一些典型性质.下面给出其中的几条,并加以证明.性质1双曲线上任意一点(异于顶点)处的切线,平分该点处两条焦半径的夹角.证明如图1,设双曲线方程为图1x2a2-y2b2=1,F     

斜率为定值的圆锥曲线切线方程的统一性

文[1]中论述了过圆、椭圆、双曲线上一点的切线方程的统一性.我们发现,斜率为定值的圆、椭圆、双曲线的切线方程也具有统一性.定理1斜率为k,与圆x2+y2=r2相切的直线的     

元锥曲线切线的几何作图

<正> 元锥曲线是一类常用的曲线,已被《中学数学教学大纲》(试行草案)列为高一年级学习内容。 《中学理科教学》78年第1期经家麒同志《元锥曲线的切线》一文,用纯代数的方法研究了椭元、双曲线、抛物线的切线方程。其主要依据是“元锥曲线和它的切线,除切点外,不再有第二个交点”。而且除了直线平行于抛物线的对称轴及直线平行于双曲线的一条渐近线两种“很容易判断”的情形外,一般地说,和元锥曲线只有一个交点的     

圆锥曲线与同系数直线之缘

笔者在用GeoGebra仿真直线与圆锥曲线相交问题时发现一个有趣的现象,当直线与圆锥曲线同系数时,相交弦中点始终在同一条直线上,然后用两种方法证明了该现象的正确性.受证明方法的启发,借助极限思想发现圆锥曲线在其任一点切线方程的斜率与同系数直线的斜率存在着关系,并推导出两个相关结论.最后用本文的结论推导验证了椭圆和双曲线关于切线的两个性质.     

双曲线渐近三角形性质再探

定理1 已知直线l是过双曲线X2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)上的点P(x0,Y0)的切线,直线l与双曲线的两条渐近线分别相交于A、B两点,则称△OAB是双曲线的渐近三角形,渐近三角形有如下性质……     

双曲线渐近三角形四心轨迹及其方程

已知直线l是过双曲线x2/a2-y2/b2=1(a＞0,b＞0)上的点P(x0,y0)的切线,直线l与双曲线的两条渐近线分别相交于A、B两点,则称△OAB是双曲线的渐近三角形.本刊2009年第一期邹生书老师给出了它的一组有趣性质,笔者经过探究发现还有如下性质:     

谨防切线概念的负迁移

中学阶段我们对切线的认识是逐步深入的，平面几何中，我们说当直线与圆只有一个交点时，直线与圆相切，直线叫做圆的切线．在解析几何中，平面几何里有关圆的切线问题放在了坐标平面内，除了将直线与圆相切的位置关系转化为圆心到直线的距离等于半径(这是比较合理的解法)，很多时候我们也会求出圆和直线的方程，然后联立方程得到一个二元二次方程组，当这个方程组有且只有一组解时，直线与圆相切．虽然后一种解法的运算量较大，但是由于对学习直线与椭圆相切问题的解法有正迁移的作用，因而教学中很多教师会说明这样也可以解有关直线与圆相切的问题．在紧接着的直线与椭圆的位置关系的学习中，无论是教师还是学生都感觉得心应手，可是在双曲线的学习中出现了新问题．而在微分学中所研究的曲线不都是二次曲线，切线与曲线的交点可以不止一个，因此就不再用交点个数来定义，而是用割线的极限位置来定义曲线的切线．直线与圆相切的情形在同学们的大脑中已根深蒂固，受此负迁移的影响，不少学生对切线问题产生错误的想法，导致错解时常发生，下面举例予以说明．     

关于直线与二次曲线相切问题的简捷解法

大家都知道:椭圆杀 姜一:在其上任一点俩u0)处的切线方程为鲁 粤一,。容易证明,类似的有.对于直线Ax 彻 C二n(C诱价改写成:对于直线A二 场 C~0(C摊0)改写成: b叨一C~,=l后, b.若点尸一(一孚,咎)满足双曲线沪一b, 一妙一砂 一b叨方程,,1.则直线与双曲线相切于尸.十了。一垢.若点     

椭圆切线与焦半径之间的有趣性质

<正>本文给出两个新发现的椭圆、双曲线涉及切线及端点为切点的两焦半径的有趣性质．定理1给定椭圆■是Γ的两个焦点,l是和Γ相切于点P(P不在Γ的长轴(或实轴)端点)的任意一条切线,M,N分别是F1,F2在l上的射影,直线OM与直线F1P交于点Q,直线ON与直线F2P交于点R,     

双曲线及其一个同心圆的性质

已知双曲线C:x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0),圆O:x^2+y^2=r^2(r>0).(1)当b>a>0,r^2=a^2b^2/b^2-a^2时,直线l是圆O的切线,若直线l与双曲线C相交于点A、B,则OA⊥OB;(2)当a>b>0,r^2=a^2-b^2时,若从圆O上点P引双曲线C的两条切线PA、PB,则PA⊥PB.     

圆锥曲线中的一对定圆和定直线

<正>一、探寻圆锥曲线中的一对定圆和定直线性质1如图1,已知双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1(a>0,b>0),存在一个与双曲线相切的定圆C,对双曲线上左支上的任一点P,过点P作圆C的两切线PD、PE,切点分别为D、E,圆C右侧与x轴垂直的切线交直线PD、PE于点A、B,则线段AB的长为定值.     

圆锥曲线切线的尺规作图

已知Q(x0 ,y0 )是椭圆x2a2 y2b2 =1 (a>b>0 )上一点 ,求作过Q点的切线 ,文 [1 ]给出了一种尺规作法 ,若Q在非顶点处 ,文[1 ]作法的实质是 :取点P(x0 ,ay0b) ,作PN⊥OP(O为坐标系原点 ) ,交x轴于N ,则直线NQ为所求的切线 .我们指出 ,当b>a>0时 ,这种作法同样正确 ,过双曲线上一点作双曲线的切线也有类似的作法 .已知双曲线 x2a2 - y2b2 =± 1上一点Q(x0 ,y0 ) ,过Q点的切线方程是x0 xa2 - y0 yb2=± 1 ,当Q不是顶点时 ,该切线的斜率为b2 x0a2 y0.下面给也切线作法 :作法 :( 1 )若Q为双曲线顶点 ,则切线垂直于Q点所在的轴 .( 2 )或Q…     

椭圆(双曲线)的“e^2-1”

在有关椭圆(双曲线)的相关问题中,常常涉及中点弦的斜率,中心弦的斜率,切线的斜率,双曲线的渐近线上的线段与中心连线的斜率,有关椭圆上的两点与中心连线的斜率之积等问题,通过笔者研究发现,这些直线的斜率之间的关系往往与相应的"e^2-1"有密切联系.     

过定点的直线与双曲线的公共点问题浅析

直线与双曲线的公共点问题是直线与圆锥曲线公共点问题中相对比较复杂的,问题设置非常灵活,学生比较难理解和掌握这类问题。本文通过对一道典型例题分析,归纳出过定点的直线与双曲线的公共点问题的本质,整理出这类问题的解决方法,一是代数方法,通过联立直线和双曲线方程,消元后,研究判别式的符号来研究公共点个数,该方法运算量大,学生不易掌握;另一种方法是几何法,通过数形结合,利用直线与双曲线相切和直线与双曲线渐近线平行为临界,通过旋转直线可得结果。     

过双曲线外一点的切线二议

问题1过双曲线外一点作双曲线的切线,至多能作几条?