构造数列证明不等式的几种思路

证明与自然数n有关的不等式的常规思路是数学归纳法或放缩法,但数学归纳法的证明过程比较繁琐,而放缩法的技巧性很强,难度较大.如果抛开定势思维,根据命题的具体结构与特点,构造数列来证明,可使证明过程思路清晰、可操作性强、简捷明快,收到事半功倍的效果.本文谈谈运用构造法证明数列型不等式的几种思路.     

数学归纳法证明不等式的解题策略刍议

数学归纳法重在考查归纳、探索的能力.近几年利用数学归纳法证明不等式已成为高考命题的一道亮丽的风景线.但是,各种参考书或杂志在研究此类问题时,都只谈到与n有关的不等式可用数学归纳法证明,并罗列了一些题解的过程,而没有深入探讨:数学归纳法证明不等式的本质是什么?什么时候能用或不能用数学归纳法证明不等式?又如何把一些不能用数学归纳法证明不等式的题,转化为能用数学归纳法证明?本文拟针对上述三个问题,进行分析研究.     

关于自然数的命题可以不用归纳法(高一、高二、高三)

在证明与自然数有关的命题时,数学归纳法经常是首选的方法,但有时它却显得很复杂,并非最佳的选择,这时应换个角度重新调整思路.下面的几个问题都不是用数学归纳法解决的.     

证明数列不等式中的常用方法

证明与自然数有关的不等式的常规方法是数学归纳法和放缩法,但数学归纳法的证明过程比较烦琐,而放缩法的技巧性很强,难度较大,可用构造数列的方法证明此类不等式,可使证明过程思路清晰,简洁明快.     

f(n)=g(n)的非数学归纳法证明

同学们学过数学归纳法后,遇到与自然数n有关的恒等式f(n)=g(n)的证明问题,总是自觉或不自觉地想用数学归纳法去证明.不过笔者提醒同学们注意,数学归纳法不是唯一的方法,也不一定是最佳选择.本文结合实例介绍几种证明f(n)=g(n)的非数学归纳法途径.     

回避数学归纳法的常用策略

与正整数n有关的命题的常规证法是数学归纳法,但是证明过程常常较繁,特别是由n=k到n=k 1时证明过程灵活多变,不易操作.其实很多与正整数有关的问题,若能避开数学归纳法的定势思维,利用其命题特点,另辟新径,采用非数学归纳法证明,往往能避开繁杂的计算.本文介绍几种回避使用数学归纳法的常用策略.     

一类与自然数有关的命题的一种证法思路

贵刊文 [1]、[2 ]实际上探讨了一类可用数学归纳法证明的与自然数有关的命题的非数学归纳法的证明方法 ,文 [1]给出了二个定理 ,方法虽好 ,但却增加了记忆负担 ;文 [2 ]给出了不借助于辅助定理 ,直接证明的方法 ,虽然操作起来更容易 ,但其关键步骤(即构造相关的不等式或等式 )不易想到 .受文 [1]、[2 ]的启发 ,笔者以这类问题的数学归纳法证明中探寻出一种非数学归纳法的证明方法思路更清晰 ,操作更容易 .例 1　求证1 11 2 … 11 2 … ｎ =2 - 2ｎ 1.　　分析　用数学归纳法证明该式时 ,在第二步 ,假设对ｎ- 1时等式成立 ,即等式 1 11 2…     

数学归纳法题例析

Ⅰ.命题趋势数学归纳法在高考试题中,常以解答题形式出现,主要有证明不等式、证明恒等式、求数列通项公式、数列求和等几方面的应用.数学归纳法单独考查的情况较少,而经常出现在与自然数有关的命题中,多以伴随着数列的通项或前n项和而出现数学归纳法的证明,这也是高考所考查的热点之一.此外,凡是与自然数有关的知识都可能成为与数学归纳法结合综合考查的内容.数学归纳法的考查隐蔽,主要突出数学意识的考查,即解题方法的寻找将是“问题解决”的突破口.值得注意的是,将数学归纳法与一些探索性的问题综合起来出现了一些非常新颖的题型.Ⅱ.解题…     

数学归纳法的逻辑原理及其在模型论中的应用

本文系统地介绍了数学归纳法的逻辑原理以及表现形式.模型论是一门理论性很强的学科,模型论中的很多命题和定理的证明很繁琐、复杂,而数学归纳法为这些证明提供了一个合理、思路清晰并且利于理解的证明过程.     

数学归纳法的逻辑原理及其在图论中的应用

本文系统地介绍了数学归纳法的逻辑原理、图论证明中运用数学归纳法的类型问题,使读者对数学归纳法及数学归纳法在图论中的应用问题有一个全面的认识.     

浅谈数学归纳法的文化之美

从艺术院校数学层面的角度,以数学归纳法为例,通过数学归纳法的历史发展、杰出数学家对数学归纳法发展所起的作用,数学归纳法证明格式特征与证明过程的对比,数学归纳法的思想方法三个方面,揭示出数学归纳法在客观发展规律,对人类思想心灵的影响方面与艺术的相似性,以及数学归纳法本身所具有的唯物辩证统一内涵,探究数学归纳法与艺术、哲学的联系.从而揭示数学归纳法的文化内涵,展示数学归纳法的文化之美.     

数学归纳法的拓广

数学归纳法是证明与正整数集有关命题的一种重要的论证方法.许多数学命题利用其它数学方法很难证明或者根本无法证明,但利用数学归纳法很容易解决.数学归纳法的理论根据是正整数集的序数理论,为了证明命题的需要而演变成了多种形式,同时将数学归纳法从正整数集推广至所有良序集.     

不用数学归纳法的若干策略

学习了数学归纳法以后,常易导致思维定势:认为与正整数有关的数学命题可以用数学归纳法来证明.实际上,与正整数有关的命题,有时用数学归纳法来证明比较麻烦,甚至无能为力.本文给出不用数学归纳法的若干策略     

数学归纳法的拓展及应用

数学归纳法是证明与自然数有关的数学命题的一种完全归纳法,由于数学命题有种种形式和多种不同的实际需要,应用数学归纳法时,也要做出相应的变化,由此得到数学归纳法的一些其他形式.常见的形式一般有四种：第一数学归纳法,第二数学归纳法,倒推数学归纳法,螺旋数学归纳法.再介绍两种形式：跳跃数学归纳法和二元数学归纳法.并由皮亚诺公理和最小数原理给以证明,每种形式分别给出例题,介绍他们的应用.     

构造数列证明不等式的几种思路

证明与自然数n有关的不等式的常规思路是数学归纳法或放缩法,但数学归纳法的证明过程比较繁琐,而放缩法的技巧性很强,难度较大．如果抛开定势思维,根据命题的具体结构与特点,构造数列来证明,可使证明过程思路清晰、可操作性强,简捷明快,收到事半功倍的效果．本文谈谈运用构造法证明数列型不等式的几种思路．     

数学归纳法在数列求通项问题中的价值与局限——以2020年高考数学全国Ⅲ卷理科17题、2022年高考全国新高考Ⅰ卷17题为例

数学归纳法在证明与自然数有关的问题时简洁有力,是培养学生逻辑推理素养的重要工具.数列求通项问题是近年高考的常见考点,其考查形式灵活多变,涉及的方法多样.采用数学归纳法求数列通项问题能够降低学生的思维难度,是一个适用性极广的解题方法.同时,数学归纳法在处理求通项问题也具有一定的局限性.针对数学归纳法在数列求通项问题中的价值与局限,本文分析数学归纳法的优势所在,并提出数学归纳法的适用范围.     

实现归纳过渡的策略

数学归纳法是数学思维方法中最重要、最常用的方法之一,是证明与正整数有关问题的主要方法.数学归纳法有两个步骤,证明模式看似简单呆板、乏味,其实不然,实施归纳过渡的     

经验归纳法与数学归纳法的应用浅析

经验归纳法和数学归纳法是数学发现与证明的2个重要方法,正确应用这2种归纳法,在数学教学和与自然数有关的证明中有着重要的意义.     

变更命题法在数学归纳法中应用

数学归纳法在高考试题中,常以解答题形式出现,最常见的是用数学归纳法证明数列不等式,这虽然是一个行之有效的基本证题方法,但运用这种方法证明数列不等式时,有时在证k到(k+1)的过程中,卡了壳,断了思路.而此时可证明与原不等式等价的命题.下面介绍几例.     

数学归纳法中的错解剖析

在利用数学归纳法证明一些数学问题时,经常在证明过程中会出现一些这样那样的错误.主要表现在以下四个方面,下面结合实例加以剖析,以引起在实际利用数学归纳法证明问题时的注意。