数学奥林匹克问题

本期问题 初279如图1,过圆外一点P作圆的切线PA和割线PB1B2,切点为A,交点为B1、B2,再过点P作圆的另一条割线PCD交圆于C、D两点,     

一道高中联赛平面几何题的新证法

题目 如图1，过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A，B．所作割线交圆于C，D两点，C在P，D之间，在弦CD上取一点Q，使∠DAQ=∠PBC，求证：∠DBQ=∠PAC．     

数学奥林匹克问题

本期问题 初187 如图1，过⊙O外一点P引该圆的两条割线PAB和PCD分别交⊙D于点A、B、C、D，弦AD和BC交于点G，过点G作割线PEF交⊙O于点E、F，交弦BD于点Q．求证：     

数学问题与解答—2009年第2期问题解答

756．如图1，线段PA、PB与圆O相切，A、B为切点，PCD是不经过点O的圆O的割线，C在P、D之间，经过点C的圆O的切线交PA、PB于M、N，G是线段CD上一点，且∠CGM=∠CGN，求证：GC=GD．     

错在哪里

题 由圆外一点Ｑ（ａ，ｂ）向圆ｘ２＋ｙ２＝ｒ２作割线交圆于Ａ、Ｂ两点，求ＡＢ中点的轨迹方程。 解 如图，设过Ｑ的割线的方程为ｙ－ｂ＝ｋ（ｘ－ａ），ｋ为参数。过Ｏ点作ＯＭ⊥ＡＢ，由Ｍ为ＡＢ的中点，且ＯＭ所在直线的方程为ｙ＝－ｘ／ｋ。又Ｍ为ＱＢ所在直线与ＯＭ所在     

直线与圆的位置关系

一 直线与圆的三种位置关系（利用直线与圆的公共点的个数定义圆与直线的位置关系） 1．相交 如果一条直线与圆有两个公共点,那么就说这条直线与这个圆相交,直线叫圆的割线,这两个公共点叫交点．     

读者来信

贵刊1991年第3期《三角综合问题琐议》一文中例8:“已知圆○及圆外一点P,从P点引圆的割线PAB,证明不管PAB的位置如何,tg1/2∠AOP·tg1/2∠BOP是定值”。该题的解是臆断点P、A、O、B四点不在同一条线段上,忽视了题中的“不管PAB的位置如何”的条件,即忽视了点P、A、O、B四点共线时该结论不成立的情况。事实上,根据“不管割线PAB的位置     

一道数学竞赛题的简证及加强

过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线,切点为A、B,所作割线交圆于C、D两点,C在P、D之间,在弦CD上取一点Q,使∠DAQ=∠PBC.求证:∠DBQ=∠PAC.(此题为2003年全国高中数学联赛加试试题)     

两圆的根轴方程及应用

1．预备知识 过一点P引已知圆的任一割线,从P和圆相交为止的两条有向线段的数量之积,称为点P对于这个圆的幂．显然,当点P在圆内、圆上、圆外时,关于这个圆对应的幂分别小于0、等于0、大于0．[第一段]     

从圆幂定理谈教育数学和信息技术与数学课程的整合

正1、我国教材中的圆幂定理圆幂定理是初中几何圆部分很重要的定理,在我国教材上是以相交弦定理、割线定理和切割线定理三个定理的形式呈现的,它们合称为圆幂定理.从相交弦定理(图1)出发,将点P移到圆外就可以得到割线定理(图2),最后移动C点或D点,使他们重合便得到切割线定理(图3).三个定理的证明方法类似,都是寻找相似三角形.如图1中,可以连AC和BD得到△APC和△DPB相似,从而得到(AP)/PC=(DP)/(PB)和PA·PB     

几何重观 第二章 圆的一些性质

2.1 一点对于一圆的幂我们先回忆一下欧几里德的两个定理:①圆的两条弦 AA′和 BB′相交于 P 点,则 PA×PA′=PB×PB′(图2.1A).②从圆外一点 P 向圆作切线 PT 和割线 PA(PA 和圆交于 A,A′两点)则有 PA×PA′==PT~2(图2.1 B).如果我们把切线看成割线的极限情况,则可以把这两个结果结合起来:定理2.11 如果过 P 点的两条直线分别和一圆交于 A,A′(可能重合)和 B,B′(可能重合),则 PA×PA′=PB×PB′.     

直线与圆的位置关系

一直线与圆的三种位置关系（利用直线与圆的公共点的个数定义圆与直线的位置关系）1．相交如果一条直线与圆有两个公共点,那么就说这条直线与这个圆相交,直线叫圆的割线,这两个公共点叫交点．2．相切如果一条直线与圆有且只有一个公共点,那么就说这条直线与这个圆相切,这条直线叫圆的切线,这个公共点叫切点．3．相离如果一条直线与圆没有公共点,那么就说这条直线与这个圆相离．     

天津市’98中考数学第29题的多种证法

题目:已知⊙O的半径为R,过⊙O外一点P作割线PAB不过点O。求证:PA·PB=OP~2-R~2。 本题选自课本练习题,主要考查圆幂定理的部分证明。证法较多,下面给出常见的几种。 证法一:用割线定理证明。 如图1,作割线PCD,且过圆心O。     

例谈切割线定理的妙用

平面几何中有切割线定理:如图1,圆O的切线PA(A为切点)与割线PBC满足关系PA2= PB·PC;割线满足PA·PB=PC·PD;割线交于圆内     

圆幂定理在几何计算中的应用

初三学生都知道：相交弦定理、割线定理和切割线定理统称为圆幂定理．由于该定理的结论均为比例式，所以直接用于解比例式的习题是它们的共同特点．为帮助初三同学掌握好这一重要内容，了解其在解中考计算题中的应用，本文现以1994年部分省、市启治区的中考题为例分类说明如下：一、应用切割级定理解计算题例1如图1，过国外一点P作圆的一条切线PA和一条割线PBC，A为切点，割线与圆的交点为B、C．若PB＝2cm，弦BC＝6cm，则PA＝（1994年青海省中考题）分析∵PB＝2cm，BC＝6cm，∴PC＝8cm．故由切割线定理得：PA2＝PB·PC＝2×8＝16…     

高三数学“导数”章教学问答

22 为什么要用割线的极限位置来定义切线 ,而不说“与曲线只有一个公共点的直线叫做切线” ?　　答 :过去我们定义圆的切线就是“与圆只有一个公共点的直线” ,这个定义显然符合圆、椭圆等一类曲线 .那么 ,能否对任何曲线Ｃ都用“与Ｃ只有一个公共点”来定义Ｃ的切线呢 ?不能     

向量在几何解题中的应用

向量在几何解题中的应用民勤县三中詹生椿，蒋永录一、证明等量关系利用向量证明等量关系较为简明，其基本思路是证明向量的模或模的平方相等。例１．如图（１），从圆外一点Ｐ作割线ＰＢＡ，设⊙Ｏ的半径为Ｒ，证明圆幂定理：证明：过点Ａ作⊙Ｏ的直径ＡＡ＇，连接Ａ＇Ｂ...     

圆外角的度数有规律(初三)

如图1,P是圆外一点,由P作圆的两条割线PAB、PCD,称∠BPD为圆外角.圆外角度数定理圆外角的度数等于它所夹的两段     

圆锥曲线的又一性质

圆锥曲线具有许多性质，通过研究圆锥曲线的割线可以得到过曲线上任意四点的两条割线的斜率间关系的一个性质，并进而得到两重要推论。     

三割线定理的纯平面几何简证

贵刊2005年第9期刊登的三割线定理为：如图，PAB，PCD为⊙O的任意割线，AD与BC交于点Q，PQ交⊙O于点E、F。则1/PE＋1/PF=2/PQ。