抽象函数解读

Ⅰ.正比例函数f(x)=kx(k≠0,x∈R)的抽象函数的特征式为:(1)f(x+y)=f(x)+f(y);(2)f(x-y)=f(x)-f(y);(3)f(xy)=k1f(x)f(y),特别地当k=1时,有f(xy)=f(x)f(y).例1:定义在R上的函数f(x),恒有f(x+y)=f(x)+f(y),若f(16)=4,那么f(2003)=.解法1(基本解法):令x=y=0,得f(0)=2f(0),∴f(0)=0.令y=-x,得f(x-x)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数.令y=x,得f(2x)=2f(x),f(22x)=f(2·2x)=2f(2x)=22f(x),…,f(2nx)=2nf(x).又∵f(16)=4,∴f(1)=41.∵f(2003)=f(211-25-23-22-1),∴f(2003)=f(211)-f(25)-f(23)-f(22)-f(1)=(211-25-23-22-1)·f(1)=20403.…     

也谈一道高考抽象函数题解法“类比”出的历程

1 问题提出 题1 (2008陕西卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),f(1)=2,则f(-2)等于( )     

对一道数学题的探究性学习与反思

原题已知函数f(x)的定义域为(0, ∞),且对于任意的正实数x、y都有f(xy)=f(x) f(y).当x>1时,f(x)>0,f(4)=1.(1)求证:f(1)=0.(2)求f(116).(3)解不等式:f(x) f(x-3)≤1.一、教学过程老师:如何证明f(1)=0?学生1:令x=1,y=1,得f(1)=f(1×1)=f(1) f(1)=2f(1),∴f(1)=0.学生2:令x=4,y=1     

几类特殊函数的反函数

一、分段函数的反函数分段函数的反函数一定也是分段函数,具体求时,一般是把每一段当作单个函数来求,最后写成分段函数的形式.在这个过程中要注意函数的定义域、值域与其反函数的值域、定义域的对应关系.例1设函数f(x)=-log3(x 1),x∈(6, ∞),3x-6,x∈(-∞,6]的反函数为f-1(x),若f-119=a,则f(a 4)=.解当x>6时f(x)<0,x≤6时f(x)>0.又f-119=a,∴f(a)=91,∴3a-6=91,解得a=4,∴f(a 4)=f(8)=-log3(8 1)=-2.例2求函数f(x)=x2-1,x∈[0,1),239-x2,x∈[-3,0)的反函数.解由y=x2-1(0≤x<1),解得x=1 y(-1≤y<0).又由y=239-x2(-3≤x<0)得x=-9-49y2(0≤y<2…     

例谈高考导数解题类型

导数是高中数学新教材的内容,它作为解题有力的工具使某些问题的求解变得简便.本文选取2004年全国的高考试题,举例介绍应用导数解答高考题的常见类型,供大家参考.　　一、求曲线的切线例1 　曲线 y=x3 -3x2 +1 在点(1,-1)处的切线方程为(　　).A.y=3x-4　　　　B.y=-3x+2C.y=-4x+3 D.y=4x-5解析 　由函数 f(x)=x3 -3x2 +1 导数为f′(x)=3x2-6x,f′(1)=-3,因此得(1,-1)处的切线方程为:y-(-1)=-3(x-1),即y=-3x+2.二、研究函数的单调性例2 　已知a∈R,求函数 f(x)=x2eax 的单调区间.解析 　函数 f(x)的导数 f′(x)= 2xeax +ax2e…     

关于一个三元对称不等式的几点思考

文献[1]提供了一道奥赛题,这是一个三元对称不等式:题目设正实数 a,b,c 满足 a b c=1.证明:10(a~3 b~3 c~3)-9(a~5 b~5 c~5)≥1.(1)1 不等式的另证引理已知函数 f(x)=x 3x~2-x~3-3x~4,则当1≥x y≥x≥y≥0时,f(x)≥f(y)≥0.(2)证明当1≥x y≥x≥y≥0时,首先f(y)=y 3y~2-y~3-3y~4=y(1 3y)(1-y~2)≥0;其次f(x)-f(y)=(x-y) 3(x~2-y~2)-(x~3-y~3)-3(x~4-y~4)=(x-y){1-(x~2 xy y~2) 3(x y)[1-(x~2 y~2)]}.因为 x-y≥0,又1-(x~2 xy y~2)≥(x y)~2-(x~2 xy y~2)=xy≥0,1-(x~2 y~2)≥(x y)~2-(x~2-y~2)=2xy≥0,所以 f(x)-f(y)≥0,即 f(x)≥f(y)≥0.不等式《1)的证明为方便起见,记f(x)=x 3x~2-x~3-3x~4     

求解三角问题的常用数学思想

数学思想是研究和解决数学问题和有关实际问题的基本指导思想.求解数学问题时,若能正确地运用数学思想,则可提高解题效率.本文举例介绍在求解三角问题时的常用数学思想.一、函数思想例1已知x3+sinx-2a=0,x∈[-π2,π2],4y3+sinycosy+a=0,y∈[-π4,π4],求sin(x+2y)的值.分析:从已知条件所具有的特征出发,可构造一个新的函数f(x)=x3+sinx,利用该函数的单调性,找出x与2y的关系,从而获得解答.解:令函数f(x)=x3+sinx,由x3+sinx-2a=0,得2a=x3+sinx=f(x).又由4y3+sinycosy+a=0,得2a=-8y3-2sinycosy=(-2y)3+sin(-2y)=f(-2y),∴f(x)=f(-2y),∵x,-2y…     

破解抽象函数问题六法

所谓抽象函数,简单地说是指没有给出具体的函数(对应法则),仅含有抽象的函数符号、抽象的函数结构式或抽象的函数关系式的一种函数类型.对抽象函数问题的考查在近几年的高考中有逐年提高的趋势,这体现高考加大对理性思维能力考查的命题思想.理解和掌握以下几种方法,有助于同学们解决抽象函数问题.一、赋值法例1设函数f(x)的定义域为(0, ∞),且对于任意正实数x、y都有f(xy)=f(x) f(y)恒成立.若已知f(2)=1,试求:(1)f(21)的值;(2)f(2-n)的值,其中n为正整数.分析合理赋值,化抽象为具体,发现递推规律.解(1)令x=y=1,则f(1)=f(1) f(1),∴f(1)=0.再令x=2,y=12,则f(1)=f(2) f(12),∴f(12)=-f(2)=-1.(2)由于f(2-2)=f(12) f(21)=-2,f(2-3)=f(21) f(12) f(12)=-3,依此类推,可得f(2-n)=-n,其中n为正整数.点评利用抽象条件,通过对相关条件的赋值(赋具体值或代数式)是解决抽象函数问题的基本方法.二、逆用单调性法例2若f(x)是定义在(0, ∞)上的增函数,且对一切a,b∈(0, ∞)...     

函数周期性与图象的对称性应用例谈

课本中给出了奇偶函数的定义:f(x)是奇函数f(-x)=-f(x),f(x)是偶函数f(-x)=f(x).它们的图象特征是:奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.关于原点(y轴)对称的函数是奇(偶)函数.把以上结论加以推广:就有:命题1:设函数y=f(x)的定义域为R,且满足条件f(a x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a2 b对称.命题2:定义在R上的函数y=f(x)满足条件f(x a)=-f(b-x),则y=f(x)的图象关于点a2 b,0对称.这两个命题是关于同一个函数图象本身的对称性,对于两个函数图象之间的对称性,有下列结论:命题3:定义在R上的函数y=f(x),函数y=f(a x)与y…     

用多元函数求值域方法解线性规划问题

文[1]指出:在中学阶段,求多元函数值域有两个方法,一是转化为一元函数求值域,如z(x,y)=x^2+2y^2/xy=x/y+2·y/x,令x/y=t(令y/y=t也一样),则z(x,y)=φ(t)=t+2/t,求φ(t)=t+2/t值域即可;二是将其中一个元作为自变量,其余元作常量,逐步求一元含参函数的值域,最后求一元函数值域,如z(x,y)=x^2-2xy+2y^2-2y+3,令z(x,y)=φ(x)=x^2-2xy+2y^2-2y+3=(x-y)2+y^2-2y+3,则φ(x)min=φ(y)=y^2-2y+3,又令φ(y)=y^2-2y+3,则φ(y)min=φ(1)=2,即z(x,y)min=z(1,1)=2.     

多元函数最值问题的求法

多元函数最值问题不仅蕴含了丰富的数学思想和方法,而且有利于培养学生联想、化归的解题能力,下面通过例题介绍几种求这类最值问题的方法。一、配方法例1:求函数 f(x,y)=x~2-2xy 6y~2-14x-6y 72的最小值。解:f(x,y)=x~2-2xy 6y~2-14x-6y 72=(x-y-7)~2 5(y-2)~2 3≥3因此当 x-y-7-y-2=0即x=9,y=2时,f(x,y)的最小值为3     

函数奇偶性的十大解题功能

奇偶性是函数的重要性质之一,应用广泛,是高考和数学竞赛命题的热点,灵活运用它可使许多难题迎刃而解.现将函数奇偶性的应用归纳如下,以供同学们复习时参考.一、求函数的值例1若函数f(x)与g(x)定义在R上,且f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y),f(-2)=f(1)≠0,求g(1)+g(-1)的值.解f(y-x)=f(y)g(x)-g(y)f(x)=-f(x-y),所以f(x)是奇函数.令x=-1,y=1,则f(-2)=f(-1-1)=f(-1)g(1)-g(-1)f(1)=-f(1)g(1)-g(-1)f(1)=-f(1)[g(1)+g(-1)].∵f(-2)=f(1)≠0,∴g(1)+g(-1)=-1.二、求参量的值例2若关于x的方程arctan(1-x)+arctan(1+x)=a有唯一解,求a的值.解令f(x)=arct…     

一个函数图像对称问题的探索

文[1]至文[4]都对如下两类常见的对称问题进行了辨析:例1设函数y=f(x)定义在实数集上,且满足f(1 x)=f(1-x),则f(x)的图像关于对称.例2若函数y=f(x)的定义域为R,则函数y=f(1 x)与y=f(1-x)的图像关于对称.作为其补充,本文再给出一组容易混淆的对称问题:例3若函数f(x)(x∈R)满足:f(x-3) f(1-x)=0,且方程f(x)=0恰有三个相异实根,求这三根之和.例4已知函数f(x)(x∈R),若方程f(x-3) f(1-x)=0恰有三个相异实根,求这三根之和.分析对于例3,由条件知:f(x)的图像关于点(-1,0)成中心对称,又已知方程f(x)=0恰有三个相异实根,所以这三个根中必有一根为-1…     

分段函数问题简述

※求值问题※例1:已知函数f(x)=x2(x>0),1(x=0)0(x<0)".,求f｛f[f(-3)]｝的值.分析:明确自变量在函数的哪一个段上,是解此类题的关键.解:∵-3<0,∴f(-3)=0,∴f[f(-3)]=1,∴f｛f[f(-3)]｝=f(1)=12=1.※求解析式问题※例2:已知f(x)=x,g(x)=-x+1,!(x)=-12x+2.设f(x),g(x),!(x)的最大值为F(x),求F(x)的解析式.分析:本题的关键是画出图象,求出交点,从而正确地分段,再在各段上写出符合要求的解析式,最后写出分段函数的解析式.解:如图,画出f(x),g(x),!(x)的图象,下面再求交点坐标.!由y=-x+1,y=-21x+2".得yx==3-2,".由y=x,y=-12x+2".得y=34%%%%$%%%…     

妙用函数奇偶性解题

函数的奇偶性不只给函数的作图和研究函数的其他性质带来方便,而且在解题中还有奇妙的作用。 [例1] 已知:实数x,y满足(3x+y)~5+x~5+4x+y=0。求证:4x+y=0。证明:已知的等式即是(3x+y)~5+3x+y=-(x~5+x), ①设f(x)=x~5+x,则①式化为f(3x+y)=-f(x)。显然,f(x)是奇函数,从而由上式得f(3x+y)=f(-x)。②又f(x)在R上单调上升,且对应法则f是R到R的一一对应,故②式等价于3x+y=-x。∴ 4x+y=0。 [例2] 解方程     

基本初等函数与双曲函数的特征方程

在[※]中讨论了双曲正弦与双曲余弦的特征方程本文将用更简捷的方法给出基本初等函数与双曲函数的特征方程及其证明。 1.若实函数f(x)在x=0点可导且对任意x,y∈R满足 f(x y)=f (x) f(y)则f(x)为线性函数。 证明:在(※)式中令y=0得 f(x)=f(x) f(0)(?)f(0)=0     

对称换元法求分式值

当题目中的未知数x、y具有对称关系时(即当x、y互换位置时,原式保持不变),如果令x y=a,xy=b,用换元法进行解答,就可以使解题过程更简单.下面通过几道例题,帮助同学们掌握这种解题技巧在分式求值中的妙用.例1若x-1x=1,则x3-1x3的值为().A.3B.4C.5D.6解:设1x=y,则x-y=1,xy=1,所以x3-1x3=x3-y3=(x-y)3 3xy(x-y)=13 3×1×1=4.故选B.例2若x2-5x 1=0,则x3 1x3=.解:由x2-5x 1=0,可知x≠0,故等式两边同除以x,得x 1x=5.设1x=y,则x y=5,xy=1,所以x3 1x3=x3 y3=(x y)3-3xy(x y)=53-3×1×5=110.例3已知ax a-x=2,那么a2x a-2x的值是().A.4B.3C.2D.6…     

导数在解数学题中的应用

一、利用导数求单调区间例1已知函数f(x)=x3 bx2 cx d,它的图像过点P(0,2),且在点M(-1,f(-1))处的切线方程为6x-y 7=0.(1)求函数y=f(x)的解析式;(2)求函数y=f(x)的单调区间.解析(1)由函数f(x)的图像过点P(0,2),可知d=2,所以f(x)=x3 bx2 cx 2,则有f′(x)=3x2 2bx c.由函数f(x)在     

高一数学测试

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的4个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若lga+lgb=0(其中a≠1,b≠1),则函数f(x)=ax与g(x)=bx的图象()(A)关于直线y=x对称(B)关于原点对称(C)关于x轴对称(D)关于y轴对称2.设函数f(x)是定义在R上的减函数,F(x)=f(x)-f(-x),那么F-1(x)必为()(A)增函数且为奇函数(B)增函数且为偶函数(C)减函数且为奇函数(D)减函数且为偶函数3.若函数f(x)是定义在区间[-6,6]上的偶函数,且f(3)>f(1),则下列各式一定成立的是()(A)f(0)f(2)(C)f(-1)f(6)4.设函数y=f(x)定…     

例析满足“f(x)=f(2a-x)”的函数的图象的对称性的应用

定理定义在R上的函数y=f(x)的图象关于直线x=a的对称的充要条件是f(x)=f(2a-x)(a∈R)证明:(1)充分性由f(x)=f(2a-x)可知若点A(x,y)是y=f(x)的图象上的任意一点,则点A′(2a-x,y)也在其图象上∵点A与A′关于直线x=a对称∴函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称(2)必要性设A(x,y)是y=f(