一道全国初中数学联赛试题解答的研究

2004年全国初中数学联赛第14题及解答如下:已知a<0,b≤0,c>0且b2-4ac=b-2ac,求b2-4ac的最小值.解　令y=ax2 bx c,由a<0,b≤0,c>0,判别式Δ=b2-4ac>0,所以这个二次函数的图象是一条开口向下的抛物线,且与x轴有两个不同的交点A(x1,0)、B(x2,0).因为x1x2=ca<0,不妨设x1相似文献   

对一道“TRULY~信利杯"竞赛题的探讨

2004年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题第14题是:已知a<0,b≤0,c>0,且b2-4ac~(1/2)=b-2ac,求b2-4ac的最小值.1试题的背景此题是以下面的命题为背景改造而来的.已知二次函数y=ax2 bx     

一道初中竞赛题的再改进

20 0 4年“TRULY信利杯”初中数学竞赛有这样一道试题 :已知a <0 ,b≤ 0 ,c>0 ,且 b2 - 4ac =b- 2ac . ①求b2 - 4ac的最小值 .对文 [1 ]提供的标准答案 ,本刊文 [2 ]作了改进 ,但求解的后半部分走了一点弯路 :由b≤ 0推出ac≤- 1 ,再由ac≤- 1去求b2 - 4ac的最小值 ,不如把ac=b- 1代入①消去ac ,便可直接由b≤ 0去确定b2 - 4ac的最小值 .解法 1　对①两边平方 ,有b2 - 4ac=b2 - 4ac 4a2 c2 .两边减去b2 后 ,再除以 4ac≠ 0 ,可整理得ac=b - 1 . ②代入①后缩小 ,注意到b≤ 0 ,有b2 - 4ac =[b- 2 (b- 1 ) ]2=( 2 -b) 2 ≥ 2 2 =4 .③由③…     

运用判别式△证明不等式

二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若a>0,△=b2-4ac≤0,则f(x)≥0;若a<0,△=b2-4ac≤0,则f(x)≤0. 二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根,则△=b2-4ac≥0. 以上性质,我们可以用来证明不等式. 例1 已知a,b∈R,且b>0.求证:a2+b2>3a-2ab-3. 证明:被证不等式可变形为     

一道全国初中数学联赛试题解答的研究

2004年全国初中数学联赛第14题及解答如下: 已知a＜0,b≤0,c＞0且√b2-4ac=b-2ac,求b2-4ac的最小值. 解令y=ax2 bx c,由a＜0,b≤0,c＞0,判别式△=b2-4ac＞0,所以这个二次函数的图象是一条开口向下的抛物线,且与x轴有两个不同的交点A(x1,0)、B(x2,0).     

构造二次函数证明不等式

对于不等式的证明 ,课本着重介绍了比较法、综合法、分析法 .其实 ,构造二次函数f(x) =ax2 +bx +c(a>0 ) ,利用f(x) ≥ 0恒成立的充要条件Δ≤ 0和 f(x) >0恒成立的充要条件Δ<0来证明 ,也是一种行之有效的方法 .下面以新教材第二册 (上 )课本中的几个习题为例加以说明 .一、若 f(x) =ax2 +bx+c≥ 0 (a>0 ) ,则Δ =b2 -4ac≤ 0例 1　求证 :(ac +bd) 2 ≤ (a2 +b2 ) (c2 +d2 ) .证明　构造二次函数 f(x) =(a2 +b2 )x2 +2 (ac+bd)x +(c2 +d2 ) .当a ,b全为零时 ,不等式显然成立 .设a ,b不全为零 .∵a2 +b2 >0且 f(x) =(ax+c) 2 +(bx+d) 2 ≥ 0…     

解题分析——看透题目的本质结构

20 0 4年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛有这样一道解答题 :已知a <0 ,b≤ 0 ,c >,且b2 -4ac=b -2ac .①求b2 -4ac的最小值 .本文将对这道题目的标准答案进行专业分析 ,揭示其更反映条件本质特征的数量关系 ,在此基础上提供一批新解法 (并非全部 ) .希望能通过解题案例的分析 ,获得怎样学会解题的体验 .1　解题案例的分析1 .1　案例的呈现标准答案是这样的 :令 y =ax2 bx c.由于a <0 ,b≤ 0 ,c >,则Δ=b2 -4ac >.所以 ,此二次函数的图象是如图 1所示的一条开口向下的抛物线 ,且与x轴有两个不同的交点A(x1,0 ) ,B(x2 ,0 ) .因为x1x2 =…     

判别式在解题中的应用

一无二次方程ax~2 bx c=0(a≠0)根的判别式Δ=b~2-4ac常用于解方程、判别根的性质以及求解有关直线与二次曲线的位置关系等问题。除此之外,如能创造必要的条件,还可用判别式解其他某些题目,下面举例加以说明。 (一) 根据二次函数f(x)=ax~2 bx c(a≠0)的图象,容易得到:当a>0,Δ=b~2-4ac≤0时,则f(x)≥0;若a<0,Δ=b~2-4ac≤0时,则f(x)≤0。     

二次函数图象与系数的关系

二次函数y=ax2 bx c的图象与其系数a、b、c之间的关系可归纳总结如下.1.a决定抛物线的开口方向:当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,抛物线开口向下.2.a决定抛物线的开口大小:a越大,抛物线开口越小;a越小,抛物线开口越大.3.a、b的符号决定抛物线的对称轴:a、b同号,抛物线的对称轴在y轴的左侧;a、b异号,抛物线的对称轴在y轴的右侧.4.c的符号决定抛物线与y轴的交点:当x=0时,y=c,即抛物线与y轴的交点是(0,c),当c>0时,抛物线与y轴的正半轴相交;当c=0时,抛物线经过坐标原点;当c<0时,抛物线与y轴的负半轴相交.5.Δ=b2-4ac决定抛物线y=ax2 bx c与x轴交…     

采用顶点式确定二次函数解析式

二次函数y =ax2 bx c(a≠0 )的顶点式y =a(x b2a) 2 -Δ4a(Δ=b2 -4ac)较为优越,因为顶点式能够体现出二次函数y =ax2 bx c(a≠0 )图象的特征:( 1 )开口方向(由a确定:a >0 ,开口向上;a<0 ,开口向下) ;( 2 )对称轴方程(x b2a=0 ) ;( 3 )顶点位置,即最高点或最低点的位置(点的横坐标x =-b2a,点的纵坐标y =-Δ4a) .由顶点式也能确定出二次函数y =ax2 bx c(a≠0 )的最值(当a >0时有最小值y =-Δ4a;当a <0时有最大值y =-Δ4a) .如果已知二次函数的对称轴,或顶点位置,或最值,采用顶点式y =a(x h) 2 k确定二次函数的解析式较简捷.( 1 )…     

二次函数

要点概括1.二次函数的定义:如果y=ax2 bx c且a、b、c为常数,a≠0,那么y就叫做x的二次函数.2.二次函数的性质:①抛物线y=ax2 bx c的顶点坐标是(-2ba,4a4ca-b2);对称轴是x=-2ba.②二次函数的图象是一条抛物线.当a>0时,抛物线开口向上,并且当x<-2ba时,y随x的增大而增大;若x>-2ba,y随x的增大而减小.③当a>0,x=-2ba时,y有最小值4a4ca-b2;当a<0,x=-2ba时,y有最大值4a4ca-b2.④特殊抛物线的性质.典例导析【例1】已知二次函数y=ax2 bx c(a≠0)的图象如图1所示,给出以下结论①a b c<0②a-b c<0③b 2a<0④abc>0,其中所有正确结论的序号是.A.③④B.②…     

有关二次函数值域的一个结论及应用

定理二次函数y=ax2+bx+c的值域是[0,+∞)的充要条件是a＞0且b2-4ac=0. 证明因为y=ax2+bx+c=a(x+b/2a)2+4ac-b2/4a,x∈R,所以二次函数y=ax2+bx+c的值域是[0,+∞)←→y的最小值是0,无最大值←→a＞0且b2-4ac=0.     

数形结合 把握特征——谈谈二次函数图象问题

<正>二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质,一直是中考热点,也是学生学习理解的难点.解答此类问题的关键,是紧扣函数图象,实现数形转化,让函数解析式中的字母参数的意义说话.一般情况下,二次函数图象分析类问题,需要从以下几个方面入手.一、二次函数系数的意义如图1,可以读出如下信息:(1)图象开口向下,所以a<0;(2)图象交y轴于正半轴,所以c>0;(3)图象与x轴有两个交点,所以Δ=b2-4ac>0;(4)对称轴     

利用“广义判别式”解题的一些技巧

在解或判别实系数一元二次方程(或可化为此类方程)时,根的判别式Δ=b2-4ac起着极大的作用.实系数二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)有很多性质,其中当且仅当Δ=b2-4ac≤0时,y=ax2+bx+c保号.如果在实系数二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,将系数a,b,c都改为对某些变量的实质函数,就可得到“广义判别式”的概念.即:设a=f(x,y),b=g(x,y),c=φ(x,y)都是以x,y为未知数的一个二元方程,则称Δ=b2-4ac为二元方程ax2+bx+c=0的“广义判别式”.1利用“广义判别式”可判断二元实函数系数方程根的情况实系数一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的保号性可以推广到关于x,y的二…     

第七届祖冲之杯初中数学邀请赛

一、选择题(共36分) 1.如果实数a,b,c满足abc>0,a b c=0,a<-b0,b>0,c>0 (B)a>0,b<0,c>0 (C)a<0,b<0,c>0 (D)a<0,b>0,c<0     

第七届初中《祖冲之杯》数学邀请赛试题及参考答案

一、选择题 1.如果实数a,b,c满足:abc>0,a b c=0,a<-b0,b>0,c>0; (B)a>0,b<0,c>0; (c)a<0,b<0,c>0; (D)a<0,b>0,c<0。     

2007年高考数学模拟卷

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的.1.等比数列前3项依次为a、b、c,且b=-4,则实数a、c的值满足()A.a>0,c<0B.a<0,c>0C.a<0,c<0D.a.c>02.已知f(4x)=lgx,则f(2)=()A.lg2B.4lg2C.-4lg2D.-lg23.已知点M(a,-2)、N(-1,b)在直线2x-y-4=0的两侧,则实数a、b满足的条件是()A.ab>-6B.ab<-6C.(a-1)(b 6)>0D.(a-1)(b 6)<04.已知点P是双曲线x92-y52=1右支上的一动点,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,在直线F2P上有一点Q,使|PQ|=|PF1|,则点Q的轨迹为()A.圆B.椭圆C.双曲线的一部分…     

确定抛物线系数符号有技巧

抛物线y=ax~2 bx c(a≠0)的图象是由系数a、b、c决定的,系数的符号与抛物线形状有如下关系:1.二次项系数a决定抛物线的开口方向.a>0,开口向上;a<0,开口向下。2.抛物线的对称轴是x=-b/(2a)·b=0,抛物线的对称轴是y轴.ab>0(a、b同号),抛物线的对称轴在y轴的左侧;ab<0(a、b异号)抛物线的对称轴在y轴的右侧。3.c是抛物线与y轴交点的纵坐标.c=0,抛物线经过原点;c>0,抛物线与y轴交于正半轴;c<0,抛物线与y轴交于负半轴。4.b~2-4ac确定图象与x轴是否相交,b~2-4ac>0,     

构造法在解数学竞赛题中的运用(二)

文[1]已从5个方面介绍了构造法在解数学赛题中的运用,本文再介绍4个方面.1构造解析几何模型例1已知a、b、c>0,且a2 ab b32=25,b23 c2=9,a2 aba2 ac c2=16.试求ab 2bc 3ac的值.分析:此题直接求解不易.观察方程组右边的数是一组勾股数,故可表示成一个直角三角形的三边,有两边互相垂直,于是,可建立平面直角坐标系,由直线的垂直关系和点到直线的距离来求解.图1解:建立如图1所示的直角坐标系.则A-33b,c,B23a,a 22c.有OA=3,OB=34a2 a2 4a4c 4c2=a2 ac c2=4,AB=5,OA2 OB2=AB2.故△ABC是直角三角形.又直线OA的方程为33by cx=0,且OA⊥OB,所…     

巧用二次函数性质证明不等式

根据二次函数y=ax~2+bx+c的图象,可得如下两个性质: 性质1 若a>0,且△=b~2-4bc≤0,则ax~2+bx+c≥0. 性质2 若a>0,且ax~2+bx+c≥0,则△=b~2-4 ac≤0. 利用二次函数的这两个性质,可以简捷巧妙地证明一些不等式,今举数例: