高中数学课本中的两处错误

错误1:　《数学》第二册(上)106页例3: 一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s. (1)爆炸点应在什么样的曲线上?　　(2)略. 课本解答如下: 解:(1)由声速及A、B两处听到爆炸声的时间差,可知A、B两处与 爆炸点的距离的差,因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上. 因为爆炸点离A处比离B处更远,所以爆炸点应在靠近B处的一支 上. 评析:本题根据爆炸点满足的一些关系,试图依照圆锥曲线的第一定 义直接确定曲线的类型,但定义中有一个重要的条件被忽略了,即动点到 两定…     

对一道课本例题的探讨

全日制普通高级中学教科书(必修)《数学》(人教版)第二册(上)P106 的例3是一道好题,请同学们在学习时注意总结．题目一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2 s． (1)爆炸点应在什么曲线上? (2)已知A、B两处相距800 m,并且此时声速为340 m/s,求曲线的方程.     

对教科书上一道例题的质疑

质疑是学好数学的开端,在课堂教学中我经常鼓励学生质疑,并针对疑点组织学生研讨、交流,优化学生的思维品质,培养学生的自主精神和创新意识。 在讲了双曲线的定义后,教科书安排了这样一道例题:“一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2_s.(1)爆炸点应在什么样的曲线上?(2)……”〔人教版试验修订本第二册(上)第106页例3〕     

数学是最容易辨别是非的

高中数学教材第二册（上）中P106的例3，题目如下：一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s．（1）爆炸点应在什么样的曲线上？（2）已知A、B两地相距800m，并且此时声速为340m／s，求曲线的方程．     

不严谨的定义

不严谨的定义江西吴跃生高等教育出版社出版的中等专业学校教材工科专业通用《数学》（第三版）第二册Ｐ１５１给出了双曲线的定义：＂平面上与两定点Ｆ１、Ｆ２的距离之差（小于｜Ｆ１Ｆ２｜）为常量的点的轨迹叫做双曲线，两定点Ｆ１和Ｆ２叫做双曲线的焦点。＂笔者认为...     

《圆锥曲线》同步训练

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是()A.1716B.1165C.87D.02.点P(1,0)到曲线x=2cosθy=姨3sinθ(其中参数θ∈R)上的点的最短距离为()A.0B.1C.姨2D.23.已知定点A、B且｜AB｜=4,动点P满足｜PA｜-｜PB｜=3,则｜PA｜的最小值是()A.12B.23C.72D.54.过双曲线x2a2-yb22=1(a>0,b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点,以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于()A.2B.姨2C.姨3D.2…     

例析双曲线定义在解题中的应用

双曲线有两种定义：双曲线的第一定义是指双曲线上任一点到两焦点F1、F2的距离之差的绝对值为常数2α（2α〈｜F1F2｜）;双曲线的第二定义是指双曲线上任一点到焦点F的距离和到与F相对应的准线的距离之比为常数e（e〉1）．     

圆锥曲线测试题

gxueshengshidai一.选择题1.过定点P(0,2)作直线l,使l与曲线y2=4(x-1)有且仅有1个公共点,这样的直线l共有()A.1条B.2条C.3条D.4条2.设θ是三角形的一个内角,且sinθ cosθ=15,则曲线x2sinθ y2cosθ=1表示()A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在y轴上的椭圆C.焦点在x轴上的双曲线D.焦点在y轴上的双曲线3.已知F1、F2是椭圆1x62 y92=1的两焦点,经点F2的的直线交椭圆于点A、B,若｜AB｜=5,则｜AF1｜ ｜BF1｜等于()A.11B.10C.9D.164.AB为过椭圆x2a2 by22=1中心的弦,F(c,0)为椭圆的右焦点,则△AFB的面积最大值是()A.b2B.ab C.ac D.bc5.椭圆x…     

切勿忽视隐含条件

在求解一些数学题目时，若不注意隐含条件的挖掘，往往容易造成错解。下面试举几例说明之。 例１．双曲线上的一点Ｐ到右焦点的距离为５，则下面结论正确的是（）。 Ａ．Ｐ到左焦点的距离为８； Ｂ．Ｐ到左焦点的距离为抡 Ｃ．Ｐ到左焦点的距离不确定３ Ｄ 这样的点Ｐ不存在 错解：设双曲线左、右焦点分别为Ｆ１、Ｆ２，则由双曲线的定义，＝－５（舍去）故选Ｂ 分析：错解忽视了双曲线定义中“点Ｐ到两焦点Ｆ１、Ｆ２距离的差的绝对值是常数”的限制条件：这个常数不仅必须满足小于｜Ｆ１Ｆ２｜，还要同时满足 ｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜≥｜…     

2008年全国卷Ⅰ解析几何解答题的探究

题目双曲线的中心为原点0,焦点在x轴上,两条渐近线分别为l1、l2,经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1、l2于A、B两点,已知｜OA｜^→、｜AB｜^→、｜OB｜^→成等差数列,且BF^→与FA^→同向．     

2001年高考第14题的六种解法

题目　双曲线 ｘ29-ｙ21 6 =1的两个焦点为Ｆ1 、Ｆ2 ,点Ｐ在双曲线上 .若ＰＦ1 ⊥ＰＦ2 ,则点Ｐ到ｘ轴的距离是 .这是一道典型的与焦点三角形有关问题 .焦点三角形是指以椭圆 (或双曲线 )的焦距Ｆ1 Ｆ2 为底边 ,顶点Ｐ在椭圆 (或双曲线 )上的三角形 .分析　本题与 2 0 0 0年高考第1 4题类似 ,有多种思路 .设点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,则 ｜ｙ0 ｜就是点Ｐ到ｘ轴的距离 ,故只需求出点Ｐ的纵坐标即可 (如图 1 ) .解法 1　焦半径法在双曲线中 ,ａ=3,ｂ =4,ｃ=5.依焦半径公式知｜ＰＦ1 ｜=53ｘ0 3,｜ＰＦ2 ｜=53ｘ0 -3,由勾股定理 ,得｜ＰＦ1 ｜2 …     

判断直线与双曲线位置关系的两种新方法

文 [1]给出了判断直线与椭圆位置关系的两种方法 ,笔者读后深受启发 ,经过类比研究 ,笔者得到了判断直线与双曲线位置关系的两种方法 ,作为直线与圆锥曲线位置关系问题的一个补充 .判断方法 1　设双曲线E :x2a2 -y2b2 =1,E的两个焦点为F1 、F2 ,直线L :Ax By C =0 (A2 B2 ≠ 0 ) ,则有( 1)若A =0 ,则L与E相交 ;( 2 )若A≠ 0 ,当 ｜｜MF1 ｜-｜MF2 ｜｜ <2a时 ,L与E相离 ;当｜｜MF1 ｜-｜MF2 ｜｜=2a时 ,L与E相切 ;当｜｜MF1 ｜-｜MF2 ｜｜>2a时 ,L与E相交 .(其中点M是直线L上使得｜｜MF1 ｜-｜MF2 ｜｜最大的点 )为证明判…     

换个角度，精益求精——以2008年高考数学全国卷Ⅰ第21题第（Ⅰ）问为例

原题：如图,双曲线的中心为原点O,焦点在x轴上,两条渐近线分别为l1、l2经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1、l2于A、B两点．已知｜OA^→｜、｜AB^→｜、｜OB^→｜成等差数列,BF^→与FA^→同向．     

圆锥曲线定义的重要应用

圆锥曲线定义是学习圆锥曲线的基础 ,对于掌握圆锥曲线的性质与方程都有举足轻重的作用 .常常是考试的热点 ,因此 ,下面对其重要应用作一些分析 .1　求三角形面积与周长例 1　已知双曲线的实轴长 2a ,AB是过左焦点F1且只与左支双曲线相交的弦 .｜AB｜ =m ,F2 为双曲线的右焦点 ,则△ABF2 的周长是 (　　 ) .(A) 4a +m　　 (B) 4a+2m(C) 4a-m　　 (D) 4a - 2m解析　由双曲线第一定义得 ,｜AF2 ｜-｜AF1｜ =2a ,｜BF2 ｜-｜BF1｜ =2a .两式相加得 ,｜AF2 ｜+｜BF2 ｜ - ｜AB｜=4a ,｜AF2 ｜+｜BF2 ｜ =4a+2m .所以△ABF2 周长为…     

例析双曲线的定义在解题中的应用

<正>双曲线有两种定义:双曲线的第一定义是指双曲线上任一点到两焦点F1,F2的距离之差的绝对值为常数2a(2a<|F1F2|);双曲线的第二定义是指双曲线上任一点到焦点F的距离和到与F相对应的准线的距离之比为常数e(e>1)。灵活应用双曲线的两种定义,对于解决双曲线上的点与焦点的距离有关的问题,往往会收到事半功倍的效果。现举例说明,供同学们参考。     

高二数学单元测试(圆锥曲线)

一、选择题 (本题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 60分 ,每小题给出的 4个选项中 ,只有一个是正确的 )1.若椭圆x216+y2b2 =1过点 ( -2 ,3 ) ,则其焦距为 (　　 )　　 (A) 2 5　　　　 (B) 2 3　　 (C) 45 (D) 432 .过点 ( 2 ,-2 )与双曲线x2 -2 y2 =2有公共渐近线的双曲线方程是 (　　 )　　 (A) x22 -y24=1　　 (B) x24-y22 =1　　 (C) y24-x22 =1(D) y22 -x24=13 .椭圆 x22 5 +y29=1上的一点M到左焦点F1的距离为 2 ,N是MF1 的中点 ,则｜ON｜等于 (　　 )　　 (A) 2　　 (B) 4　　 (C) 8　　 (D) 324.若抛物线 y2 =2px( p >2 )上一点到…     

高二数学双曲线专项检测题

一、选择题1.已知两定点F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足｜PF1｜-｜PF2｜=2a,则当a=3和5时,P点轨迹为()A.双曲线和一直线B.双曲线和一射线C.双曲线的一支和一射线D.双曲线的一支和一直线2.双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点为(0,3),则k的值为()A.1B.-1C.!365D.-!3653.双曲线1x62-2y52=1的两渐近线夹角是()A.2arctan45B.2arctan54C.!4-2arctan54D.!-2arctan454.下列双曲线中以y=±12x为渐近线的是()A.x42-1y62=1B.1x62-y42=1C.x22-y2=1D.x2-y22=15.若双曲线的一条渐近线倾斜角为锐角",则双曲线的离心率e为()A.sin"B.cos"C.sec"D.tan"6.双曲…     

一道解析几何习题的引申

【题】 :过双曲线x2 - y22 =1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点 ,若|AB|=4 ,则这样的直线共有 (　　 ) .A .1条　　　　B .2条C .3条　　D .4条正确答案是C .对该题进一步的探讨分析发现 ,此双曲线的实半轴a =1,虚半轴b =2 ,过焦点与x轴垂直的弦长为2b2a =4 ,|AB|=2b2a =4 >2a =2 .试问 :|AB|无论多长答案是否都是C呢 ?请看 :设双曲线 x2a2 - y2b2 =1(c =a2 b2 )的右焦点为F ,过F作直线l交双曲线于A、B两点 ,|AB|=d ,试根据d的不同取值讨论l的存在性 .预备知识 :(1)两顶点间的距离是双曲线两支上的两点间距离的最小值 ;(2 )过双…     

领悟教材编写意图，探究解决问题的本质方法——从教材一道例题谈起

1教材为什么始终不提简化运算的问题呢？ 例题 过双曲线x^2/3-y^2/6=1的右焦点F2,倾斜角为30°的直线交双曲线于A,B两点,求｜AB｜．（人教A版教材《选修2—1》第60页例6）     

解析几何中简化运算的策略

一、活用定义,优化过程例1已知动圆圆心P经过定点O(0,0),且动圆与⊙A:(x-2)2+y2=1外切,求动圆圆心P的轨迹方程.解依题意有｜PA｜-｜PO｜=1<｜OA｜=2.由双曲线的定义知,动点P的轨迹是以点O、A为焦点的双曲线的左支.由2a=1,2c=2得a=12,c=1,∴b2=c2-a2=34,双曲线中心为(1,0).∴点P轨迹方程为(x-1)214-y234=1(x≤12).例2已知椭圆方程(x-6)216+(y-2)212=1,点P(5,-1)是椭圆内一点,试在椭圆上求一点M,使｜MF｜+0.5｜PM｜的值最小(其中F为椭圆的左焦点).解已知椭圆的离心率e=0.5,左准线方程x=-2,∴｜MF｜∶｜MN｜=0.5,即｜MF｜=0.5｜MN…