利用习题结论设计一种离心现象演示仪

习题　如图 1所示 ,在光滑的水平面上有一装满水的密闭水厢 ,A、B、C三个小球的密度分别为ρA>ρ水 、ρB=ρ水 、ρC<ρ水 ,均用细线系在水厢中 .开始时 ,水厢静止 ,细线竖直 .现用力向右突然拉动水厢 ,则A.细线均竖直B.细线均左偏C.A线左倾 ,B线竖直 ,C线右倾D.A线右倾 ,B线竖直 ,C线左倾图 1　　　　　　　　　图 2分析与解　细线是否倾斜 ,向哪边倾斜取决于用力向右突然拉动水箱时 ,A、B、C三个小球相对封闭水箱中的水的运动情况 .我们可以分别选取一个与 A、B、C处在同一位置、大小相同的水球作参照物 (我们暂且将它称做参照…     

错解剖析一例

错解剖析一例唐兴盛，张昆明题目：长度为Ｌ的细线，一端固定于Ｏ点，另一端系质量为ｍ的小球，将小球拉至水平位置Ａ释放，小球从水平位置Ａ向竖直位置Ｂ运动过程中，其竖直分速度先变大、后变小，试计算细线和竖直方向成多大角度时，小球的竖直分速度最大，最大值为多少...     

混合溶液竞赛题例析

例 1　如图 1所示 ,Ａ、Ｂ是两个完全相同的圆柱形容器 ,另有两种不同的液体 ,密度分别为 ρ1 和 ρ2 ,且ρ1 >ρ2 ,现在向两容器内分别倒入这两种液体 ,且都倒满 ,倒入液体的方法是 :(1)取等质量的两种液体倒入Ａ容器中 ;(2 )取等体积的两种液体倒入Ｂ容器中 .设Ａ容器中液体的总质量为ｍＡ,Ｂ容器中液体的总质量为ｍＢ,则比较ｍＡ、ｍＢ(　　 ) .(Ａ)ｍＡ=ｍＢ　　 (Ｂ)ｍＡ<ｍＢ(Ｃ)ｍＡ>ｍＢ (Ｄ)无法比较分析与解　 (1)设Ａ容器中两种液体的质量均为ｍ ,容器的容积为Ｖ .根据 ρ =ｍＶ ,可求出混合液体的密度为ρＡ=ｍＡＶ =2ｍｍρ1 +…     

初二几何期末测试题参考答案

一、1 　 2 　 3 　 4 　 5 二、1 9　 2 4ｃｍ2 ,16ｃｍ2 ,3.125ｃｍ　 4 12　 5 1　 6 1∶9　 7 32 　 8 6ｃｍ ,33ｃｍ ,183ｃｍ2三、1 Ｂ　 2 Ｂ　 3 Ｃ　 4 Ａ　 5 Ａ　 6 Ｂ四、1 4 0ｃｍ2 △ＤＡＣ∽△ＡＢＣ ＡＣＢＣ=ＣＤＡＣ ＡＣ2 =ＢＣ·ＣＤ ＡＣ2 =ＣＤ(ＣＤ ＢＤ) =ＣＤ2 ＣＤ·ＢＤＢＤ =ＡＤ ＡＣ2 =ＣＤ2 ＣＤ·ＡＤ ＡＣ2 -ＣＤ2 =ＣＤ·ＡＤ3 略　 4 过Ｂ作ＤＯ的平行线与ＡＯ的延长线交于Ｍ 5 ＥＦ =3　 6 ＭＫ∥ＡＣＭＬ∥ＢＣ ＲＰＰＭ=ＢＰＰＬ=ＢＭＭＡ=ＲＱＱＡ ＰＱ∥ＡＢ。初二几何期…     

三角形等圆线的性质及其应用

如图 1 ,自△ＡＢＣ的顶点Ａ作一直线ＡＤ ,交ＢＣ边于Ｄ ,使得△ＡＢＤ与△ＡＣＤ有相等的内切圆 ,那么称做满足上述条件的线段ＡＤ为△ＡＢＣ的等圆线 (因ＡＤ把△ＡＢＣ分成的两个△ＡＢＤ、△ＡＣＤ的内切圆的半径相等 ,故取此名称 ) .关于从三角形的某个顶点引它的“等圆线”是否存在且惟一 ,文 [1 ]作出了肯定回答 .由此可见 ,任何三角形都有三条等圆线 .本文将介绍三角形等圆线的一个性质 ,并从其应用中可以看出 ,用它解决一些问题是很简捷的 .定理 1　自△ＡＢＣ的顶点Ａ引等圆线ＡＤ ,交对边ＢＣ于Ｄ ,设△ＡＢＣ的边ＢＣ =ａ ,Ｃ…     

正弦比例定理在解竞赛题中的应用

如图 1所示的图形在平面几何中比比皆是 ,十分常见 ,在△ＡＢＰ和△ＡＣＰ中 ,利用三角形面积公式 ,可得下述十分简单而有用的结论 .图 1正弦比例定理　点Ｐ为△ＡＢＣ的边ＢＣ所在直线上异于Ｂ、Ｃ的任意点 ,记∠ＢＡＰ =α ,∠ＣＡＰ= β ,则ｓｉｎαｓｉｎβ =ＢＰＰＣ ·ＣＡＡＢ(※ )证明　由三角形的面积公式 ,有Ｓ△ＡＢＰＳ△ＡＰＣ=ＢＰＰＣ =12 ＡＢ·ＡＰｓｉｎα12 ＡＣ·ＡＰｓｉｎβ于是 ,有ｓｉｎαｓｉｎβ=ＢＰＰＣ· ＣＡＡＢ显然 ,当点Ｐ在线段ＢＣ的延长线 (或反向延长线 )上 ,定理结论 (※ )同样成立 ,当ＡＰ为△ＡＢ…     

一个应用广泛的正弦比例定理

如图 1所示的图形在平面几何中比比皆是 ,十分常见 .在△ＡＢＰ和△ＡＣＰ中 ,利用三角形面积公式 ,可得下述十分简单而有用的结论 .正弦比例定理Ｐ为△ＡＢＣ的边ＢＣ所在直线上异于Ｂ、Ｃ的任意一点 ,记∠ＢＡＰ =α ,∠ＣＡＰ =β ,则ｓｉｎαｓｉｎβ=ＢＰＰＣ· ＣＡＡＢ. ( )　　证明　由三角形的面积公式 ,有ＢＰＰＣ =12 ＡＢ·ＡＰｓｉｎα12 ＡＣ·ＡＰｓｉｎβ,于是 ,有ｓｉｎαｓｉｎβ=ＢＰＰＣ· ＣＡＡＢ.　　显然 ,当点Ｐ在线段ＢＣ的延长线 (或反向延长线 )上 ,定理仍然成立 .当ＡＰ为△ＡＢＣ的内或外角平分线时 ,有α =…     

2002年河北省初中升学统一考试数学试题参考答案

一、1.23　 2 .(ａ -ｂ + 1) (ａ -ｂ - 1)　 3.6　 4 .ｙ2 -ｙ - 2 =0　 5 .1<ｄ <9　 6 .12 5 %　 7.4 5ｍｍ　8.392ｘ - 392ｘ + 4 0 =1　 9.ｙ =90ｘ　 10 .2 6二、11.Ｄ　 12 .Ｃ　 13.Ｂ　 14 .Ａ　 15 .Ｃ　 16 .Ａ　17.Ｂ　 18.Ｄ　 19.Ｃ　 2 0 .Ｂ三、2 1.6 .2 2 .在梯形ＡＢＣＤ中 ,∵ＡＢ∥ＣＤ ,ＡＤ =ＢＣ ,∴ＡＣ =ＢＤ .∵ＤＣ =ＣＤ ,∴△ＡＤＣ≌△ＢＣＤ .∴∠ＡＣＤ =∠ＢＤＣ .故ＯＤ =ＯＣ .图 1四、2 3.如图 1,连结ＰＯ并延长 ,交⊙Ｏ于点Ｃ、Ｄ .根据切割线定理的推论 ,有ＰＡ·ＰＢ =ＰＣ·ＰＤ .∵ＰＢ =ＰＡ +…     

三角形有关概念中考题选登

一、填空题1 在△ＡＢＣ中 ,∠Ｃ =90°,∠Ａ =32°,那么∠Ｂ =.(2 0 0 1年广西壮族自治区中考题 )2 在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,若锐角Ａ的平分线与锐角Ｂ的邻补角的平分线相交于点Ｄ ,则∠ＡＤＢ =. (2 0 0 1年河北省中考题 )3 如图 1,在△ＡＢＣ中 ,∠Ｂ =∠Ｃ ,ＦＤ⊥ＢＣ ,ＤＥ⊥ＡＢ ,∠ＡＦＤ =15 8° ,则∠ＥＤＦ =度 . (2 0 0 1年天津市中考题 )4 长度为 5ｃｍ ,7ｃｍ ,10ｃｍ的三条线段能否组成三角形 ?答 :.(2 0 0 1年山东省滨州市中考题 )图 1图 2　　 5 如图 2 ,ＡＤ∥ＢＣ ,Ｅ在ＡＢ的延长线上 .若∠ 1=6 0° ,∠ 2 =5 0°,则∠Ａ…     

应用全等三角形解题

全等三角形是能够完全重合的两个三角形 ,它们的对应边相等 ,对应角相等 .巧用这两个相等 ,可顺利地解答一些几何求值和证明问题 .例 1　如图 1 ,在△ＡＢＣ中 ,∠ＡＣＢ =90° ,ＡＣ=ＢＣ ,ＡＥ是ＢＣ边上的中线 ,过Ｃ作ＣＦ⊥ＡＥ ,垂足是Ｆ ,过Ｂ作ＢＤ⊥ＢＣ交ＣＦ的延长线于Ｄ ,ＡＣ =1 2 .求ＢＤ的长 . ( 1 997年浙江省中考题 )　解　∵　∠ＡＣＢ =90°,ＣＦ⊥ＡＥ于Ｆ ,∴　∠ 1 =90° -∠ 3=∠ 2 .在△ＤＢＣ和△ＥＣＡ中 ,∵　∠ＤＢＣ =∠ＥＣＡ =90° ,ＢＣ =ＡＣ ,∠ 1 =∠ 2 ,∴　△ＤＢＣ≌△ＥＣＡ .∴　ＢＤ =ＣＥ .∵　Ｃ…     

圆幂定理在几何证题中的应用

下面举例说明圆幂定理在几何证题中的常见应用 .一、证明两条线段相等例 1　如图 1 ,已知ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ分别是△ＡＢＣ三边上的高 ,Ｈ是垂心 ,ＡＤ的延长线交△ＡＢＣ的外接圆于点Ｇ .求证 :ＤＨ =ＤＧ .( 1 997年甘肃省中考题 )分析　由相交弦定理有ＤＧ·ＤＡ =ＢＤ·ＤＣ ,即ＤＧ =ＢＤ·ＤＣＤＡ .从而 ,欲证ＤＨ =ＤＧ ,只须证ＤＨ =ＢＤ·ＤＣＤＡ .为此 ,只须证△ＡＢＤ∽△ＣＨＤ .证明　如图 1 ,由已知有∠ 1 ∠ 3=90°,∠ 2 ∠ 4 =90°.∵　∠ 3=∠ 4 ,∴　∠ 1 =∠ 2 .∵　∠ＡＤＢ =∠ＣＤＨ =90°,∴　△ＡＢＤ∽△ＣＨＤ…     

一个实验探究题的多种设计方案

F浮=ρ水V排g=ρ水（m/ρ铁）g=ρ水mg/ρ铁。方法4器材：弹簧测力计、细线、烧杯，水、小铁块实验步骤：(1)在烧杯中装满水，用弹簧测力计测出烧杯和水的总重力G1。     

解梯形问题的转化思路

解梯形及有关问题时 ,往往需要作一些辅助线 ,把梯形问题转化为平行四边形 (或矩形、正方形 )和三角形问题来解决 .常用的转化思路有以下几种 .一、平移对角线转化平移一对角线 ,把两对角线与两底边的和转移到一个三角形中 .图 1例 1　已知 :如图1,在等腰△ＡＢＣ中 ,ＡＢ =ＡＣ ,点Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＣ的中点 ,ＣＥ⊥ＢＦ于点Ｏ .求证 :(1)四边形ＥＦＣＢ是等腰梯形 ;(2 )ＥＦ2 +ＢＣ2 =2ＢＥ2 .(2 0 0 1年广东省深圳市中考题 )证明　 (1)略 .(2 )过Ｅ作ＥＧ∥ＦＢ交ＣＢ的延长线于点Ｇ ,作ＥＤ⊥ＢＣ于点Ｄ ,则ＥＧＢＦ是平行四边形 .…     

几何综合题

每一份中考卷中都有几何综合题 .这些几何综合题 ,往往融有关三角形、四边形、相似形与圆的许多性质、定理于一题 ,有计算 ,又有证明 ,以考查同学们分析、推理的能力 .图 1例 1　如图 1 ,⊙Ｏ1与⊙Ｏ2 相交于Ａ、Ｂ两点 ,ＢＯ2切⊙Ｏ1于点Ｂ ,ＢＯ2 的延长线交⊙Ｏ2 于点Ｃ ,ＣＡ的延长线交⊙Ｏ1于点Ｄ .(1 )证明 :ＤＢ⊥ＢＣ ;(2 )如果ＡＣ =3ＡＤ ,求∠Ｃ的度数 ;(3 )在 (2 )的情况下 ,若⊙Ｏ2 的半径为 6,求四边形Ｏ1Ｏ2 ＣＤ的面积 .(2 0 0 0年广西区中考题 )分析　 (1 )∵　ＢＯ2 切⊙Ｏ1于点Ｂ ,∴　要证明ＤＢ⊥ＢＣ ,关键是证ＤＢ是…     

圆锥曲线焦点弦的性质及应用

定理 1　过圆锥曲线焦点的直线ｌ对于过焦点的对称轴的倾斜角为α ,且与圆锥曲线交于Ａ、Ｂ两点 ,若焦点Ｆ分弦ＡＢ所成的比为λ ,则λ=1+ｅｃｏｓα1-ｅｃｏｓα.(ｅ为离心率 )　　　　　图 1证明　过焦点Ｆ作准线的垂线 ,垂足为Ｋ ,以焦点Ｆ为极点 ,ＦＫ的反向延长线为极轴 ,如图 1,建立极坐标系 ,则圆锥曲线的极坐标方程为ρ=ｅｐ1 ｅｃｏｓθ(允许 ρ <0 ) ,∴ρＡ =ｅｐ1-ｅｃｏｓα,ρＢ =ｅｐ1-ｅｃｏｓ(π+α) =ｅｐ1+ｅｃｏｓα.∵ ＡＦＦＢ =λ ,ＡＦＦＢ =ρＡρＢ =1+ｅｃｏｓα1-ｅｃｏｓα,∴λ=1+ｅｃｏｓα1-ｅｃｏｓα.说…     

2002年IMO中国国家集训队选拔考试

一、设凸四边形ＡＢＣＤ的两组对边所在的直线分别交于Ｅ、Ｆ两点 ,两对角线的交点为Ｐ ,过Ｐ作ＰＯ⊥ＥＦ于Ｏ .求证 :∠ＢＯＣ =∠ＡＯＤ .图 1解 :如图 1,只需证明ＯＰ既是∠ＡＯＣ的平分线 ,也是∠ＤＯＢ的平分线即可 .不妨设ＡＣ交ＥＦ于Ｑ ,考虑△ＡＥＣ和点Ｆ ,由塞瓦定理可得ＥＢＢＡ·ＡＱＱＣ·ＣＤＤＥ=1.①　　再考虑△ＡＥＣ与截线ＢＰＤ ,由梅涅劳斯定理有ＥＤＤＣ·ＣＰＰＡ·ＡＢＢＥ=1.②　　比较①、②两式可得ＡＰＡＱ=ＰＣＱＣ.③过Ｐ作ＥＦ的平行线分别交ＯＡ、ＯＣ于Ｉ、Ｊ ,则有ＰＩＱＯ=ＡＰＡＱ,ＪＰＱＯ=ＰＣＱＣ…     

一个三角形面积公式的推导及其应用

定理　如果△ＡＢＣ的面积为Ｓ ,点Ｄ、Ｅ、Ｆ依次分△ＡＢＣ三边所成的比分别为λ1、λ2 、λ3 ,那么Ｓ△ＤＥＦ =1 λ1λ2 λ3 (1 λ1) (1 λ2 ) (1 λ3 ) Ｓ .　　证明　先看点Ｄ、Ｅ、Ｆ均在三边上 ,由已知得　　ＡＤ∶ＤＢ =λ1,ＢＥ∶ＥＣ =λ2 ,ＣＦ∶ＦＡ =λ3 ,于是有ＡＤ =λ11 λ1ＡＢ ,ＢＤ =11 λ1ＡＢ ,ＢＥ =λ21 λ2ＢＣ ,　ＥＣ =11 λ2ＢＣ ,ＣＦ =λ3 1 λ3 ＣＡ ,　ＦＡ =11 λ3 ＣＡ .∴Ｓ△ＡＤＦ =12 ＡＤ·ＡＦｓｉｎＡ=12 · λ11 λ1ＡＢ· 11 λ3ＣＡ·ｓｉｎＡ= λ1(1 λ1) (1 λ3 ) · 12 ＡＢ·ＡＣ·ｓｉｎ…     

2003年中国数学奥林匹克

第一天 ( 2 0 0 3 0 1 1 5)一、设点Ｉ、Ｈ分别为锐角△ＡＢＣ的内心和垂心 ,点Ｂ1、Ｃ1分别为边ＡＣ、ＡＢ的中点 .已知射线Ｂ1Ｉ交边ＡＢ于点Ｂ2 (Ｂ2 ≠Ｂ) ,射线Ｃ1Ｉ交ＡＣ的延长线于点Ｃ2 ,Ｂ2 Ｃ2 与ＢＣ相交于Ｋ ,Ａ1为△ＢＨＣ的外心 .试证 :Ａ、Ｉ、Ａ1三点共线的充分必要条件是△ＢＫＢ2 和△ＣＫＣ2 的面积相等 .二、求出同时满足如下条件的集合Ｓ的元素个数的最大值 :(1)Ｓ中的每个元素都是不超过 10 0的正整数 ;(2 )对于Ｓ中任意两个不同的元素ａ、ｂ ,都存在Ｓ中的元素ｃ ,使得ａ与ｃ的最大公约数等于 1,并且ｂ与ｃ的最大…     

巧用等效重力法速解带电粒子在复合场中的运动问题

例1在水平向右的匀强电场中,有一质量为m带正电的小球,用长为l的绝缘细线悬挂于O点,当小球静止时细线与竖直方向的夹角为θ。现给小球一个垂直于悬线的初速度,使小球恰能在竖直平面内做圆周运动。问：     

由一道竞赛题引出的两个新结论

1996年全国高中数学联赛第二试平面几图 1何题是 :如图 1,圆Ｏ1和圆Ｏ2与△ＡＢＣ的三边所在直线均相切 ,Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ为切点 ,并且ＥＧ、ＦＨ的延长线交于Ｐ .求证 :直线ＰＡ与ＢＣ垂直 .这道题有许多证明方法 ,已被大家广泛发掘 ,此处不再重复 .利用这个竞赛题的结论并借助一些熟知的定理 ,我们得到与三角形的旁切圆有关的两个新结论如下 :命题　设△ＡＢＣ为不等边三角形 ,∠Ａ内的旁切圆分别与边ＡＢ和ＡＣ切于Ａ3 和Ａ4,直线Ａ3 Ａ4与直线ＢＣ交于点Ａ1,相仿地可定义Ｂ3 、Ｂ4、Ｂ1和Ｃ3 、Ｃ4、Ｃ1.又设直线Ａ3 Ａ4与Ｂ3 Ｂ4交于点…