“1：3：5：……：（2n-1）”的应用

对于初速度为零的匀变速运动，从开始运动算起，在连续相等的时间间隔内的位移之比，是从1开始的连续奇数之比，即“1：3：5：7：……：(2n-1)：……”，这是匀变速运动的重要特点之一，它的几何意义明显，如图1．     

一道集合题的推广

已知非空集合A满足：①A（1，2，3，4｝，②若aA，则5－aA．符合上述要求的集合A的个数是（A）32个（B）8个（C）5个（D）3个分析容易求出：A＝｛1，4｝，｛2，3｝，｛1，2，3，4｝．故选（D）．本文绘出这道题的两个推广：命题1已知非空集合A满足：①A｛l，2，3，…，n｝，②若aA则n＋1－aA．求证证明当n为偶数时，集合｛1，2，3，…，n｝，有1与n，2与n－1，3与n—3，…，共计会个数组符合条件②，集合A是以这些数组2’————’”—””””——””’——一———’—————’一为元素（看成整体）所作成的集会的非空子集，故…     

一个三角不等式的推广

一、引言文[1]建立了如下结论：在任意当且仅当△A_1A_2A_3为正三角形时，（1）式取等号．本文将不等式（1）推广为定理在任意凸n边形A_1A_2…_A_n中当且仅当A_1A_2…A_n是等角n边形时（2）式取等号．二、几个引理引理1凸n边形至多有两个内角不超证明用反证法及n边形外角和定理．引理2当n≥3时，关于x的函数族：分别都是增函数．证明引理3证明：不妨设0＜α≤β≤/4，和差化积．引理4当n≥3时，成立不等式递增知（4）（5）成立；当n=3，4，5，6，7时．经验算知（4），（5）也成立．三、定理的证明据引理1及0＜A_1＜π（i＝1，2，…，n）…     

一道全国数学竞赛题引出的两个公式

2005年全国初二数学竞赛中有一个问题,从这个问题的解法中不难推出两个公式,下面给出推出的过程:问题已知(2x-3)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0.求代数式a1+a2+…+a7的值.解显然x=0时,有(-3)7=a0.(1)当x=1时,(-1)7=a7+a6+…+a1+a0.(2)(2)-(1)得:a1+a2+…+a7=(-1)7-(-3)7=2186.推广一下,我们不难求得:当x=-1时,(-5)7=-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0.(3)(3)-(1)得:-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=(-5)7-(-3)7=-75938.把指数推广到n,当(2x-3)n=a0+a1x+…+anxn时,则不难得出(-3)n=a0,(4)(-1)n=a0+a1+…+an,(5)(5)-(4)得:a1+a2+…+an=(-1)n-(-3)n,(-5)n=a0-a1+a2-…+(-…     

一个问题的显式解

下面是一个Josephus问题：将1,2,…,n按顺时针方向安排在一个圆上.先将2划掉，以后按顺时针方向每隔一个数划掉一个，直到仅剩下一个数为止，记这个数为f(n).求f(n).在n为具体数值时，这是一道小学或初中的数学竞赛题．要从一般的n来直接求f(n)的确是比较困难的.下面用递推和归纳法来求出这一问题的显式解．我们先从n-1,2,3,…开始计算f(1),f(2),f(3)，…,列表如下：从上表中我们已经可以看出f(n)的取值规律如下：2，在n取2~k，2~k＋1,2k 2,…,时，f（n)依次取值为了证明上述两个猜想，我们需建立以下两个递归关系：引理证(1)将1,2,3,…,2n…     

巧用“A=A·1”解题例析

应用简单算式“A~A·1”在数学中有着广泛的,下面略举几例以展示其风彩.~,.~_7r、夕厂.3盯例1水但六““os下一印“下十“。s下·分析注意和式中的角成等差数列,为裂汀一7 n S O乙 一厅一乃了11一n 一O六l项相消,可作“1~解:A,八·7r、乙s‘n万cosZsin下Cos 。.汀十乙s,n下cosl 27r,.3扩.汀Ls‘n下一气s,n下一“‘n下汀一7 S 夕︸ 4汀.2汀、,十“s,n下一”,n万少J 3兀.4汀Slfl下厂十5111-万 II 1.万1~丁下下‘sm下~百· 艺5 111二丁 l 例2设A=(2 l)(23 1)(2‘ 1)(28十1)(216十1)(23“十1)十1.那么A的个位数是几? 分析:为使用“(x一1)…     

错在哪里

同学们在平时解题过程中,喜欢拿到题就做,不注意审题,缺乏周密思考,往往出错还不知道错在哪里.下面就数列问题举例说明,以期引例起1大家的注意.已知有穷数列1,4,7,10,…,3n+7,其中后一项比前一项大3.(1)指出这个数列的通项公式.(2)指出1+4+7+…+(3n-5)是该数列的前几项之和.错解:(1)这个数列的通项公式为an=3n+7.(2)1+4+7+…+(3n-5)是该数列的前n项之和.错因:(1)若n=1,则a1=10≠1.显然3n+7不是它的通项.(2)该数列的通项不是3n-5,所以1+4+7+…+(3n-5)不是它的前n项之和.正解:(1)数列的第m项am=1+3(m-1)=3m-2,所以该数列的通项公式是am=3m-2(m…     

用特殊值法解选择题

为避免繁琐的计算和推证,选择题常可用“特殊值法”来解.例1 1+3+5+7+…+(2n-1)的值等于().(A)n~2 (B) (2n-3)~2 (C) (2n-1)~2 (D) 4n~2分析用特殊值法,不妨取 n=2,此时1+3+5+7+…+(2n-1)应是1+3=4,又n=2时,n~2=4,(2n-3)~2-1,(2n-1)~2=9,4n~2=16,故选 A.     

分数四则计算错解例析

有些学生在计算分数四则计算的时候，往往发生错误。在加减法中就有如下错例：例1.9/7+9/8=9/15=1(9/5)例2．7/5+7/6=7/11=7/4例3．5-2(8/1)=3(8/1)例4.1(5/3)+2(5/1)=5/8+5/11=5/19=3(5/4)产生上述错误的原因，分析起来可能有这样几点：（1）假分数化带分数的方法没掌握或尚不熟练。有的是受了“十进位制”的影响，如例1：在     

关于“3x＋1猜想”的证明

为了证明数学难题“3x 1猜想”首先给出了大于1的奇数x进行一次“迭代对”的定义和两个不同的大于1的奇数具有相同“迭代对”序列定义,接下来给出的结论如下：1大于1的奇数x与4^t 4^t-1 …… 4^2 4 1具有相同的“迭代对”序列，记作x1→-(4^tx 4^t-1 4^t-2 …… 4^2 4 1)t∈N ；2.所有大于21的奇数可表成23 8，2，25 8n，27 8n和29 8n(n=0，1，2，…)；3.23 8n1→-29 8(4n 8),25 8n1→-29 8(4n 9)和27 8n→-129 8(4n 10)；4.每一个29 8m(m=0,1,2……)型的奇数x，总存在s∈N ,使x进行s次“迭代对”的结果一定是1，记作x1→1。     

谈“配偶”技巧的应用

偶即成对,两者之间关系紧密.在数学上两个量关系密切,我们可把其称之为“对偶”,在考察问题时将两者联系起来考虑,更能凸现式子的本质特征,使问题得到更好的解决. 先看下面例题的解答. 对于一切大于1的自然数,求证:(1+1/3)(1+1/5)…(1+1/2n-1)>证明:设M=(1+1/3)(1十1/5)…(1十1/2n-1)=4/3·6/5·…·2n/2n-1引入N=5/4·7/9·9/8·…·2n+1/2n显然 M>N>0,     

求sum from k=1 to n(K~3)的又一方法

关于1~3 2~3 … n~3的求和,已有多种方法,现介绍另一种有趣的方法.先考察如下数列的和.S_n=1 (3 5) (7 9 11)十(13十15十17十19) ……①把①中的括号去掉就得到;S_n=1十3 5十7十9 11十13十15十17十19 ……②①与②只是项数不同,①中有n项,②中有1 2 3 … n=n(n十1)/2项.     

06年“希望杯”高一1试第24题的另解

题数列1,2,3,1,2,3,…的通项公式an =_______,前n项和Sn=________．(分别用一个式子表示) 如果该题用分段函数表示,马上可以写出其通项,难就难在用一个式子表示．参考答案: (?) (?) 下面给出本题的另一解法． [x]表示x的整数部分(即高斯函数),我们来研究这个数列的序号n与项an之间的关系． n:1→2→3→4→5→6→7→8→ 9→…→ an:1→2→3→1→2→3→1→2→ 3→…→把数列｛an｝与n联系起来可变形为     

p^k元域上的方程∑α^ix^n-1-i=0与∑（-α）^ix^n-1-i=0

F是一个p^k元域．n是一个正整数．x^n-1 αxn^-2 … α^n-2 αn-1=0(α≠0)与x^n-1-αx^n-2 … (-α)^n-2x (-α)^n-1=0(α≠0)是F上的方程．本文完整地给出这些方程在F中的根的状况：(n，p^k-1)-1个单根．(n，p^k-1)组互不相同的重根，没有根．同时，给出根的求法及例子．     

例析高考数列通项公式的常用求法

例1已知数列{a_n}中，a_1=1，对任意自然数n都有a_n=a_(n-1)+1/(n(n+1))，求a_n．解：由已知得a_n-a_(n-1)=1/(n(n+1))，a_(n-1)-a_(n-2)=1/((n-1)n)，…，a_3-a_2=1/(3×4)，a_2-a_1=1/(2×3)．以上n-1个式子累加，并利用1/(n(n+1))=1/n-1/(n+1)，得a_n-a_1=1/(2×3)+…+1/((n-2)(n-1))+1/((n+1)n)+1/(n(n+1))=1/2-1/(n+1)，∴a_n=3/2-1/(n+1)．点评：求形如a_n-a_(n-1)=f(n)的数列通项，可用累加法．     

问题1．10参考答案

[问题1．10]将自然数1，2，3，…按图1所示排列：从1开始，右边写2，然后向下转弯写3，再向左转弯写4，5，再向上转弯写6，7，…，得到第1次转弯的是数2，第2次转弯的是数3，第3次转弯的是数5，第4次转弯的是数7，问第30次转弯的是数几。     

拓广数列公式Sn+1-Sn=an+1

定理1 设数列{a_n}的前 n 项和为 S_n(n≥n_0),若存在 f(n)使 S_n_0V f(n_0),且 a_nVf(n)-f(n-1)(n≥n_0 1),则 S_nVf(n).其中符号“V”表示“<”,“=”,“>”中的任一种.证明 S_n=a_1 a_2 … a_n_0 a_n_0 1 … a_n=S_n_0 a_n_0 1 … a_nVf(n_0) [f(n_0 1)-f(n_0)] [f(n_0 2)-f(n_0 1)] … [f(n)-f(n-1)]=f(n).     

关于整式乘积展开式中某项系数求值问题浅探

高中数学中，常遇到求（x＋l）（x＋2）（x＋3）…（x＋n）展开式中x‘项系数问题，本文旨在探求上述展开式中X”－‘，X”－’项系数的求解公式，并给出证明。＿＿‘＿＿。、、，。、，。、。、，＿＿、＿＿＿＿．．、＿＿＿。l，定理1整式（x＋l）（x＋2）（x＋3）…（x十n），（n＞2）展开式中x”－’项系数是：去（n－1）n————————””—－”－—””’”一””－——”””—“’—”‘一—”“”————”24””（，l＋l）（3n＋2）证明1”n—2时，（x＋1）（x＋2）一x’＋3x＋2，x‘－‘一x”项系数显然是2，又7（2一1）·…     

问题3.10参考答案

第a行第b列可用(a,b)表示，现假设1放在(a，b)，按规定可放“2”在(x,y),“3”在（y,x）…，最后，N^2在(m，n)．这样有(a，x)，(x,y)，(y,x)…(m,n).     

意料之外情理之中——一个复数问题教学纪实

在上“复数的四则运算”的习题课时,遇到这样一道题：计算S=1-3i＋5i^2-7i^3＋…-99i^49．此题是一道关于一个等差数列{2n-1}（n∈N^0）和一个等比数列{（-i）^m}（m∈N）对应项乘积求和问题．由以前的经验知,