圆锥曲线一个性质的推广

<正>圆锥曲线是高中数学的重要内容,在圆锥曲线中蕴藏着很多重要的结论和性质,如果我们能熟练掌握这些性质并加以推广,不仅能在解题中起到事半功倍的效果,而且能提高我们归纳推理、类比猜想的能力,为良好数学素养的形成奠定基础.2014年无锡市中学数学青年教师基本功大赛,在笔试环节遇到了下面这样一个题目(下文的例1),很多参赛者都感叹题目不易.以下是笔者结合自身     

一个圆锥曲线性质的推广

文[1]给出了圆锥曲线的一个统一性质：过圆锥曲线E一个焦点F的直线交E于A、B两点,C是E焦点所在轴的一个顶点,直线AC、     

一个圆锥曲线性质的推广

[1]将命题1： 如图1，PA切⊙0于A，弦AB，AC交OP于M，N，BC交OP于Q，则∠1=∠2←→∠3=∠4．     

圆锥曲线一个性质的推广

在研究圆锥曲线时,许多问题经常涉及圆锥曲线的焦点和准线.如文[1]以圆锥曲线的焦点、准线为载体,通过引入圆锥曲线的切线,建立圆锥曲线的焦点、准线与切线三者之间的位置关系.实际上,三者中的焦点与准线只是这类问题的特殊情形,它还有许多更具一般性的内容.本文将对其进行推广,并以定理的形式给予陈述和论证.     

圆锥曲线一个性质的推广

《数学通报））2005年第11期“一道高考题引出圆锥曲线的一个性质”提出的3个定理可推广如下：     

圆锥曲线一个性质的推广

文[1]给出了圆锥曲线的一个性质:性质已知直线,是圆锥曲线Γ的焦点F对应的准线,过,上一点P作曲线r两条切线PA,.PB,A,B为切点,过PF的中点D且平行于直线,的直线l′与PA,PB分别交于点M,N,记△AFM,△PMN,△BFN的面积分别为S_△AFM,S_△PFM,S_△BFM,则S_△AFM²=S_△AFM·S_△BFM.笔者通过探究,发现结论不限于准线和焦点的     

圆锥曲线一个性质的推广

本刊文[1]对2010年全国高考四川卷（理）20的结论进行推广,得到了圆锥曲线的一个性质,即文[1]的推广1、2、3（亦即以下的定理1.1、2.1、3.1）.本文拟从两个方面把这三个定理进一步推广.先把这三个定理抄录如下：     

圆锥曲线一个性质的完善

文[1]给出类似于“焦点与准线的对应关系”的抛物线的性质,文[2]把其扩张到圆锥曲线上,以三个命题的形式出现,其中命题2针对双曲线的情形还欠完善,本文将作点补充,并说明补充后是完备的。文[2]的命题2是:设有双曲线(x~2/a~2)-(y~2/b~2)=1(a>0,b>0),M(m,0)为x轴上除原点和顶点外的任一点,过M点引一条直线与双曲线相交于A,B两点,则这两点与x轴上的另一点N((a~2/m),0)的连线与x轴成等角。     

圆锥曲线的一个性质的推广

关于圆锥曲线文[1]给出如下一个性质： 定理1设l是圆锥曲线C过焦点F的对称轴。A是l上一定点（A不是C的中心）．过A的直线与圆锥曲线C相交于M,N两点．而以M,N为切点的曲线C的两切线相交于Q点,当M在C上运动时：     

圆锥曲线一个性质的再推广

文[1]给出了圆锥曲线焦点与准线的一个相关性质,文[2]对此进行了推广,本文将从新的角度对文[1]性质进行了再推广。 先看文[1]中的命题1: 过圆锥曲线ρ=ep/(1-ecosθ)的准线(l)与对称轴的交点(K),引一条直线和圆锥曲线相交于两点(A、B),则这两点与准线所对应的焦点(F)的连线(即焦半径)与焦点轴成等     

圆锥曲线一个性质定理的推广

《数学通讯》2007年第8期宋卫成老师在《圆锥曲线的一个性质定理及其推论》一文（以下简称“原文”）中给出如下一个性质：     

有心圆锥曲线的一个性质的推广

1引言文[1]给出了有心圆锥曲线22ax2±by2=1上一点P,PP'为曲线的直径,点Q为过P点切线与x轴的交点,过Q点任作一直线交曲线于M,N,P'M,P'N分别交x轴于M0,N0,则总有OM0=ON0.文[1]未指出:文中的性质能够推广到更一般的情形吗?回答是肯定的,我们有:推广设P为有心圆锥曲线22xa2±by2=1上一点,PP'为曲线直径,点Q为过P点切线上任意一点,过Q点任作一直线交曲线于M,N,直线QO交P'M,P'N分别于M0,N0,则总有OM0=ON0.2推广的证明分两种情况(1)当曲线为22ax2 by2=1时,如右图.设P(a cosθ,bsinθ),则P'(?a cosθ,?b sinθ),过P点的切线方程为…     

圆锥曲线一个性质的引伸和推广

文[1]、[2]及其问题1631都介绍了圆锥曲线的一个重要性质,实际上是指过圆锥曲线主轴上一点A作圆锥曲线Г的割线l与Г交于P、Q两点,且M是P关于主轴的对称点,B是A关于Г的调和共轭点,则M、Q、B三点共线,本文介绍这一性质的一种简明证法及其引伸和推广.     

圆锥曲线焦点弦一个性质的推广

文[1]曾探究、发现了圆锥曲线焦点弦的一个奇妙的性质：过圆锥曲线的一个焦点且斜率互为倒数的两弦中点连线必过相应准线与曲线对称轴的交点.受文[1]启发,笔者进一步研究发现,上述性质可作以下更一般的推广：过圆锥曲线焦点所在对称轴上一点（有心圆锥曲线中心除外）且斜率之积为非零常数的两弦中点的连线必过该对称轴上一定点.     

有心圆锥曲线直径的一个优美性质及推广

有对称中心的圆锥曲线统称有心圆锥曲线,它们统一的标准方程为x~2/m+y~2/n=1,显然圆、椭圆、双曲线都是有心曲线,过有心圆锥曲线中心的弦叫有心圆锥曲线的直径,文[1]作者对课本例题加以探索、挖掘,得到了     

圆锥曲线切线的一个优美性质的推广

本刊2010年第2期文[1]给出了圆锥曲线切线的一个优美性质,即定理1～6.其中定理1与4、2与5、3与6互为逆命题.本文把以上定理分别综合为定理Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ,进而对其加以推广,并应用所得的推广定理解决一类有关的试题.     

圆锥曲线一个性质的充要性补充及再推广

文[1]给出圆锥曲线的如下性质： 定理1（文[1]的性质2）圆锥曲线中过同一焦点的两条弦,组成一个四边形的对角线,如果这个四边形的对边所在的直线相交,那么交点在与该焦点相应的准线上．     

圆锥曲线的直角弦的一个性质的推广

本文将圆锥曲线的直角弦的一个性质推广到了一般情形.