圆锥曲线与定点定直线有关的一个统一性质

笔者通过探究,发现圆锥曲线与定点定直线有关的一个统一性质． 性质 1如图1设AB是椭圆χ＾2/a^2＋y^2/b^2=1（a＞b＞0）过定点F（m,0）（｜m｜〈a,m≠0,的弦     

抛物线的一个美妙性质

定理 若动直线l过一个定点T（m,0）,（m〉0）,且和抛物线y^2=2px（p〉0）相交于A（x1,y1）,B（x2,y2）两点,OA,OB所在直线的斜率分别记为k1,k2,则有下列结论：     

圆锥曲线中关于向量数量积的几个性质

性质1已知点P是椭圆x2/a2＋y2/b2=1（a〉b〉0）上的一个动点,M1（-m,0）,M2（m,0）（m〉0）是x轴上的两个定点,则PM1·PM2的最大值为a2-m2,最小值为b2-m2。     

一道2011年高考题的题源与引申

2011年湖北省高考数学卷（理）第20题：平面内与两定点A1（-a,0）、A2（a,0）（a〉0）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹,加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线。（Ⅰ）求曲线C的方程,并讨论C的形状与m值的关系;（Ⅱ）当m=-1时,对应的曲线为C1;对给定的m∈（-1,0）U（0,＋∞）,     

二次曲线的几个值得重视的参数

与由椭圆的最基本因素a、b、c所衍化出的c/a、b~2/c、a~2/c等主要参数相比，椭圆的另一个参数c~2/a独具意义，应用别致，为我们解决有关椭圆的问题提供了一个新的视角．一些看上去复杂抽象，计算冗长的问题，运用它后，解答过程将显得直观简捷，清晰明了．问题1已知P是椭圆0）上动点，M(m，0）是椭圆长轴上的定点，其中m≤a，求P、M两点间最短距离．设动点Ｐ的坐标是（acosθ，bsinθ），由两点间距离公式可得：从上面的解答可以看出时，与定点M（m，0）距离最短的点是椭圆的长轴的端点．也就是，圆心是M（m，0）的内含于椭圆的最大圆与…     

圆锥曲线与圆有关的一个性质的推广

文[1]介绍了圆锥曲线与圆有关的一个性质,本文将文[1]的结论进行推广． 性质1已知椭圆C：x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）,定点F（t,0）（｜t｜〈a,t≠0）,P是圆O：x^2＋y^2=a^2上除椭圆长轴端点以外的任一点,连接PF,过原点O的直线m交对应于定点F的定直线l：     

一道高考试题的另证、推广及思考

1．试题（2008年高考江西卷·理21）如图,设点P（x0,y0）在直线X=m（y≠±m,0〈m〈1）上,过点P作双曲线x2-y2=1的两条切线PA,PB,切点为彳,B,定点M（1/m,0）．     

一个等比性质的推广及其逆命题的探究

题目 如图1，双曲线b^2x62-a^2y^2=a^2b^2（a〉0,b〉0）的实轴为BC，x轴上一个定点D（m，0）（｜m｜〉a），双曲线上一点A（不重合于顶点），过点D作x轴的垂线l，l与AB，AC及双曲线的交点依次为F，E，G，且G是朋的内分点．求证：｜DG｜^2=｜DE｜·｜DF｜．     

用直线系方程解题

1．经过定点的直线系方程 经过定点M（x0,y0）的直线y-y0=k·（x-x0）（k为参数）是一束直线（不包括与y轴平行的那一条x=x0）,所以y-y0=k（x-x0）（是为参数）是通过定点M（x0,y0）的直线系方程．     

方程的曲线过定点问题探讨

一般情况下,若方程f（x,y）=0中含一个（或多个）参数,当x取某个常数x0时,y也对应一个与参数无关的常数y0,我们就说方程f（x,y）=0对应的曲线过定点坐标（x0,y0）。方程f（x,y）=0对应的曲线过定点问题的解决蕴含着化归、数形结合、函数与方程等重要的数学思想方法,因此,此类问题可以考查学生对知识的综合应用能力和思维创薪能力,且难度     

一道高考压轴题的解法评析

2011年高考数学湖北卷文科第21题（理科第20题）： 平面内与两定点A1（-a,0）、A2（a,0）（a〉0）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹,加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线．     

利用压缩变换解决竞赛与自主招生中的椭圆问题

椭圆是到2个定点F1，F2的距离之和等于定值2a（2a〉｜F1F2｜）的点的轨迹，是到定点与定直线（定点不在定直线上）的距离之比等于常数e（0〈e〈1）的点的轨迹，是到2个定点的斜率之积为常数K（K〈0，K≠-1）的点的轨迹。而在压缩变换视角下，椭圆是压扁了的圆，利用这个角度，有时可以快捷地解题并看到问题的本质。定义压缩变换τ：平面x′O′γ′上的所有点横坐标不变，纵坐标变为原来的n/m倍（m〉0，n〉0，m≠，n），得到平面xOγ。显然在压缩变换τ下，平面x′O′γ′上的圆C′：x′^2＋γ′^2=m^2就压缩为平面xOγ上的椭圆x^2/m^2＋γ^2/n^2=1,于是我们可以利用圆的几何性质和压缩变换的性质来研究椭圆，通常研究3类问题。     

与过定点直线相关的一类问题韵处理

直线是解析几何的基础,在解题时经常遇到一些特殊的过定点的直线,如过定点肘（x0,y0）的直线系方程为y—y0=五（x-x0）及x=xn;过直线l1：a1x＋b1y＋c1=0和l2：a2x＋b2y＋c2=0的交点的直线系的方程为（a1x＋b1y＋c1）＋λ（a2x＋b2y＋c2）=0（不含l2）．定点只是一个特殊点,但不要忽视它,定点若是运用得好,在解题中会起到意想不到、事半功倍的效果．     

圆锥曲线的动弦过定点或有定向问题的再探

文[1]论述了圆锥曲线的动弦的两端与曲线上定点连线的斜率之积为定值时动弦过定点的性质，本文将探讨斜率之和为定值时动弦过定点与有定向的性质．定理1椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2上定点P（x0，y0）与椭圆上两点A、A'连线的斜率存在，则：（i）动弦AA’所在直线必过定点M（x0＋a/bk·y0,b/ak·x0－y0为）（k≠0）的充要条件是PA、PA’的斜率之和为为定值－2k·b/a；（ii）动弦AA'必有定向（kAA'＝b2/a2·x0/y0)的充要条件是PA、PA'的斜率之和为0．比较（l)、（2）两式可知：直线AA’过定点（定值）所以动弦AA’有定向．推论（i）满足定…     

圆锥曲线中的两个性质

抛物线有如下一个性质：设点A,B在抛物线y2=2px（p〉0）上,且OA⊥OB（O为坐标原点）,则直线AB过定点（2p,0）．     

圆锥曲线的一个几何性质的发现和证明

圆的任一个内接直角三角形的斜边都通过定点——此圆的圆心,椭圆、抛物线、双曲线有没有类似的性质呢?这是值得探讨的一个问题。 先看抛物线。通过作图发现抛物线的内接直角三角形的直角顶点固定时.斜边过定点。 1.证明:过抛物线y~2=2px（p>0）上任一点P（x_0,y_0）,作互相垂直的射线PM、PN,分别交抛物线于M、N,则线段MN过定点。     

与抛物线相关的一个定点问题

<正>圆锥曲线的定点问题中有很多有趣的结论. 笔者发现一个抛物线特有的定点问题,兹介绍如下：性质 如图1,A(-t,m),B(t,n)分别是直线x=-t,x=t(>0)上的定点,M是抛物线C:y²=2px(p>0)上的动点,直线AM,BM分别与抛物线C交于E,F(E,F存在且不重合),则(1)当m=n=0时,EF是垂直于x轴的动直线;(2)当m,n中仅有一个为零时,EF恒过定点;(3)当m,n均非零时,     

圆锥曲线的一个新性质的再探究

文[1]介绍了圆锥曲线的一个新性质,受其启发,笔者通过探究,发现文.[1]中的相关性质可推广到更一般的情形.性质1已知椭圆x²/a²+y²/b²=1（a>6>0）,相应于定点F（m,0）（m|2/m.过l上任意一点P作椭圆的两条切线PA,PB,切点为A,B,过PF的中点D且平行于直线1的直线l′与PA,PB分别相交于M,N两点,记AAFM,APMN,ABFN的面积分别为S_△AFM,S_△PFM,S_△BFM,则     

一类与三角形相关的最值问题

设点P（a,b）是直角坐标平面内的一个定点,由于过点P（a,b）且与两个坐标轴围成的三角形有无穷多个,所以,围绕这类三角形,我们可以提出一系列的最值问题．为了方便,我们不妨设a〉0,b〉0．     

一道IMO预选题的另证

题目 对于整数m,在{1,2,3}中存在唯一的一个数t（m）,使得m＋t（m）是3的倍数．函数f：Z→Z满足f（-1）=0,f（0）=1,f（1）=-1,且对于所有满足2n〉m的非负整数m、n,有