利用分块矩阵证明矩阵秩的某些性质

为了便于证明 ,首先介绍几个引理 :引理 1　秩 (Ａ) +秩 (Ｂ)≤秩 Ａ　 0Ｃ　Ｂ证明 :设Ａ为ｍ阶矩阵 ,Ｂ为ｎ阶矩阵 ,则有ｍ阶可逆矩阵 Ｐ1,Ｑ1和ｎ阶可逆矩阵Ｐ2 、Ｑ2 使得 :Ｐ1ＡＱ1=Ｅｒ1　 00　　 0 　　Ｐ2 ＢＱ2 =Ｅｒ2 　 00　　 0则 :Ｐ1　 00　Ｐ2Ａ　 0Ｃ　ＢＱ1　 00　Ｑ2=Ｐ1Ａ　 0Ｐ2 Ｃ　Ｐ2 ＢＱ1　 00　Ｑ2=Ｐ1ＡＱ1　 0Ｐ2 ＣＱ1　Ｐ2 ＢＱ2=Ｅｒ1　 00　　 0 　 0Ｐ2 ＣＱ1　 Ｅｒ2 　 00　　 0　　　　　　 (Ⅰ)显然秩Ｐ2 ＣＱ1Ｅｒ2 　 00　　 0≥秩 Ｅｒ2 　 00　　 0 =ｒ2所以由 (Ⅰ)秩 Ａ　 0Ｃ　Ｂ=秩Ｅｒ1　 00…     

中国成功举办APEC会议

背景材料1 .亚太经合组织 (ＡＰＥＣ)成立于 1 989年。1 991年起由ＡＰＥＣ部长级会议升格为ＡＰＥＣ领导人非正式会议。亚太经合组织的成员共有2 1个国家和地区 ,它们是 :中国、日本、韩国、菲律宾、马来西亚、新加坡、泰国、越南、印度尼西亚、文莱、中国香港、中国台北、巴布亚新几内亚、澳大利亚、新西兰、智利、秘鲁、墨西哥、美国、加拿大、俄罗斯。2 .2 0 0 1年中国轮值ＡＰＥＣ主席年。 2 0 0 1年1 0月 2 1日 ,ＡＰＥＣ第九次领导人非正式会议在上海举行。中国国家主席江泽民主持了会议 ,并发表了题为《加强合作 ,共同迎接新世纪的…     

数学奥林匹克问题

本期问题图 1　　初 1 2 3 .　已知点Ｄ1、Ｄ2 在△ＡＢＣ的边ＡＢ上 ,且ＢＤ1=ＡＤ2 ,过点Ｄ1、Ｄ2 分别作ＢＣ的平行线 ,交ＡＣ于点Ｅ1、Ｅ2 ,点Ｐ1、Ｐ2分别为Ｄ1Ｅ1、Ｄ2 Ｅ2上的任意点 ,ＢＰ1交ＡＣ于Ｎ1,ＣＰ1交ＡＢ于Ｍ1,ＢＰ2 交ＡＣ于Ｎ2 ,ＣＰ2 交ＡＢ于Ｍ2 .求证 :ＡＭ1Ｍ1Ｂ+ ＡＮ1Ｎ1ＣＡＭ2Ｍ2 Ｂ+ ＡＮ2Ｎ2 Ｃ =1 .(郭　璋　北京市朝阳区教育研究中心 ,1 0 0 0 2 8)图 2初 1 2 4.　如图 2 ,小正方形ＡＢＣＤ各边所在直线与大正方形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′分别相交于Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ、Ｐ、Ｑ、Ｍ、Ｎ .求证 :ＥＦ +ＰＱ =ＧＨ+ＭＮ .…     

加强区域合作，开发人力资源

加强区域合作，开发人力资源欧阳立群“开发人力资源的远距离教育地区研讨会”于去年在上海召开．此次会议由联合国亚太经济社会合作委员会（ＥＳＣＡＰ）、联合国教科文组织亚太总办事处、中国联合国教科文组织全国委员会、上海市智力开发研究所联合主办。来自亚太地区１...     

《微机接口技术》复习考试说明

ＤＡＴＡ　ＥＮＤＳＣＯＤＥ　ＳＥＧＭＥＮＴ　　　ＡＳＳＵＭＥＣＳ :ＣＯＤＥ ,ＤＳ :ＤＡＴＡ ,ＳＳ :ＳＴＡＣＫＭＡＩＮ　ＰＲＯＣ　ＦＡＲ　　　ＰＵＳＨ　ＤＳ　　　ＳＵＢ　ＡＸ ,ＡＸ　　　ＰＵＳＨ　ＡＸ　　　ＭＯＶ　ＡＸ ,ＤＡＴＡ　　　ＭＯＶ　ＤＳ ,ＡＸ　　　ＭＯＶ　ＢＸ ,ＯＦＦＳＥＴ　Ｘ1　　　ＭＯＶ　ＡＬ ,1 0 0 0 1 0 1 1Ｂ ;82 5 5工作在方式 0 ,ＰＡ输出 ,ＰＣ输入　　　ＭＯＶ　ＤＸ ,2 2 3Ｈ　　　ＯＵＴ　ＤＸ ,ＡＬ　　　ＭＯＶ　ＤＸ ,2 2 2Ｈ　　　ＩＮ　　ＡＬ ,ＤＸ　　　ＡＮＤ　ＡＬ ,7　　　　 ;屏…     

直线和圆的位置关系中考题选编

一、填空题1 在△ＡＢＣ中 ,ＡＢ =ＡＣ ,∠ＢＡＣ =12 0° ,⊙Ａ与ＢＣ相切于Ｄ ,与ＡＢ相交于Ｅ ,则∠ＡＤＥ等于度 .(2 0 0 1年江苏省南京市中考题 )2 已知 :如图 2 ,在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,∠Ｃ =90°,ＡＣ =2 ,ＢＣ =1.若以Ｃ为圆心 ,ＣＢ长为半径的圆交ＡＢ于点Ｐ ,则ＡＰ= . (2 0 0 1年江苏省宿迁市中考题 )3 已知⊙Ｏ的半径为 4ｃｍ ,ＡＢ是⊙Ｏ的弦 ,点Ｐ在ＡＢ上 ,且ＯＰ =2ｃｍ ,ＰＡ =3ｃｍ ,则ＰＢ =ｃｍ .(2 0 0 1年江苏省南京市中考题 )图 1图 2图 3图 4　　 4 已知 :如图 3,⊙Ｏ的弦ＡＢ平分弦ＣＤ ,ＡＢ =10 ,ＣＤ =8,且ＰＡ …     

利用线段中点解中考数学试题

贵阳市 2 0 0 1年中考试题第八大题 (见本文例 2 ) ,是围绕两内切圆与有关角、线之间关系的两个台阶式小题 .从求证等积式的角度而言 ,是学生所熟知的问题 ,但由于积式中出现了系数“2” ,会使学生感到无从入手 .那么 ,“2”从何来呢 ?简言之 ,“2”源于中点 ,因此 ,解答这类问题能否善用中点、找出中点、构造中点十分关键 .1　善用已知中点这类题 ,在题设中往往给出中点 ,证出等积式之后用好中点就可以了 .图 1例 1　如图 1 ,ＰＡ切⊙Ｏ于点Ａ ,割线ＰＢＣ交⊙Ｏ于Ｂ、Ｃ两点 ,Ｄ为ＰＣ中点 ,连结ＡＤ并延长交⊙Ｏ于点Ｅ ,已知ＢＥ2 =ＤＥ…     

二十一点共圆

本刊 2 0 0 1年第 1～ 2合期刊登了吴家驷先生“十五点共圆”一文 ,证明了有 1 2个特殊点在三角形外接圆上 .事实上还有 6个点 ,合为 2 1点共圆 .定理　不等边三角形的每个顶点的内外角平分线与对边中垂线的两个交点 ,在其外接圆上 .证明 :　如图 ,ＰＱ为△ＡＢＣ的边ＡＣ的中垂线 ,ＢＰ平分∠ＤＢＣ ,ＢＱ平分∠ＡＢＣ ,作ＰＭ⊥ＢＤ ,垂足为Ｍ ,ＰＮ⊥ＢＣ ,垂足为Ｎ ,ＱＥ⊥ＢＡ ,垂足为Ｅ ,ＱＦ⊥ＢＣ ,垂足为Ｆ ,易知ＱＡ =ＱＣ ,ＱＥ =ＱＦ ,Ｒｔ△ＱＥＡ≌Ｒｔ△ＱＦＣ ,∠ＥＡＱ =∠ＱＣＦ ,Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｑ共圆 ,即Ｑ在△ＡＢＣ的外…     

这个条件多余

赵惠民先生著 ,海洋出版社 1980年出版的《平面几何解题思路》一书第 3 6页例 8是这样一道题 :如图 ,已知 :△ＡＢＣ中 ,ＡＤ平分∠ＢＡＣ ,ＣＦ ⊥ＡＤ于Ｆ ,ＢＥ⊥ＡＤ的延长线于Ｅ ,Ｍ是ＢＣ的中点 .求证 :ＭＥ =ＭＦ .分析 :延长ＢＥ、ＡＣ相交于Ｑ ,得△ＡＢＥ≌△ＡＱＥ ,从而ＢＥ =ＥＱ ,ＭＥ成为△ＢＱＣ的中位线 ,ＭＥ 12 ＣＱ .同理 ,延长ＣＦ ,交ＡＢ于Ｐ ,得到ＣＦ =ＦＰ ,证出ＭＦ=12 ＢＰ .再用等量公理 ,推出ＰＢ =ＣＱ ,则本题得证 .许多资料都引用了这道题 ,且思路相同 ,例如 ,袁银宗先生编著 ,中国社会出版社2 0 0 1年 1…     

有奖解题擂台(50)

题　Ｐ为△ＡＢＣ所在平面上的一点 ,ＰＡ、ＰＢ、ＰＣ(或其延长线 )交ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ(或其延长线 )于Ｄ、Ｅ、Ｆ。问 :对于任意三角形是否存在这样的点Ｐ ,使得ＡＤ =ＢＥ =ＣＦ ?如果存在 ,试确定其位置。　　 (注　第一位给出完整解答者将获奖金 5 0元 )。有奖解题擂台(50)$安徽师范大学数学系@郭要红!邮编:241000     

圆锥曲线弦的中点问题的简捷解法

有关圆锥曲线弦的中点问题 ,在现行解几教材中时常出现 ,本文将探讨解决此类问题的一种方法 ,我们称之为“中心对称变换法” .我们知道对于圆锥曲线Ｃ1 :Ａｘ2 Ｃｙ2 Ｄｘ Ｅｙ Ｆ =0 (1 )关于点Ｍ(ｘ0 ,ｙ0 )中心对称的曲线Ｃ2 的方程是Ａ(2ｘ0 -ｘ) 2 Ｃ(2ｙ0 -ｙ) 2 Ｄ(2ｘ0 -ｘ) Ｅ(2ｙ0-ｙ) Ｆ =0 (2 )若曲线Ｃ1 和Ｃ2 相交于Ｐ、Ｑ两点 ,则由 (1 ) -(2 )整理得(2Ａｘ0 Ｄ)ｘ (2Ｃｙ0 Ｅ)ｙ -(2Ａｘ20 2ｙ20 Ｃ Ｄｘ0 Ｅｙ0 ) =0 (3)它表示一条以对称中心Ｍ(ｘ0 ,ｙ0 )为中点的弦ＰＱ所在的直线 .下面我们利用以上方程解…     

一道中考题的多解与引伸

20 0 2年安徽省初中升学统一考试有如下一道选择题 :如图 1 ,在矩形ＡＢＣＤ中 ,ＡＢ=3 ,ＡＤ =4,Ｐ是ＡＤ上的动点 ,ＰＥ⊥ＡＣ于Ｅ ,ＰＦ⊥ＢＤ于Ｆ,则ＰＥ ＰＦ的值为 (　　 )Ａ .1 25 　　Ｂ .2　　Ｃ .52 　　Ｄ .1 35该动点题出得灵巧 ,虽以选择题出现 ,但其解题的思维空间十分广阔 ,是培养和考查学生思维能力的一道好题 .本文现提供四种不同的解法 ,供读者参考 .1　特殊法(1 )如图 1 ,令动点Ｐ与Ａ重合 ,则有ＰＥ =0 ,ＰＥ ＰＦ =ＰＦ ,因为ＡＢ =3 ,ＡＤ =4,所以ＢＤ =ＡＢ2 ＡＤ2 =5 ,而Ｓ△ＡＢＤ =12 ＡＢ·ＡＤ =12 ＢＤ·ＰＦ…     

对“振动能量与频率无关吗”一文的质疑

贵刊 2 0 0 2年第 3期“振动能量与频率无关吗 ?”(以下简称“振”文 )对中学物理“机械振动”一章指出的振动系统的机械能与振幅有关 ,与频率无关提出了不同看法 ,认为振动能量与频率有关 .笔者认为该文的观点和分析方法是欠妥的 .“振”文以弹簧振子为例 ,推理得出ｔ时刻振动系统的振动能量 (机械能 )为Ｅ =Ｅｋ Ｅｐ=12 ｍＡ2 ω2 =12 ｋＡ2　 =2π2 ｍＡ2Ｔ2 =2π2 ｍｆ2 Ａ2 .据此得出了“频率对振动能量的影响与振幅对振动能量的影响程度是等同的 ,所以在理解振动能量的概念时 ,不能只片面地强调能量只与振幅有关 ,即使振幅相同 ,由于…     

初三几何期末综合训练题

一、填空题1 在△ＡＢＣ中 ,若∠Ｃ =90° ,ＡＣ =2 ,ＢＣ =1 ,则ｔｇＡ =.2 化简ｃｏｓ 30° -ｓｉｎ 30°ｔｇ 4 5° +ｔｇ 6 0° 的结果是 .3 在△ＡＢＣ中 ,∠Ｃ =90°,ＡＣ =8,ｓｉｎＡ =35 ,则ＢＣ =,ＡＢ =.4 在⊙Ｏ中 ,直径ＡＢ与弦ＣＤ相交于点Ｅ ,当ＡＢ、ＣＤ满足条件时 ,必有ＣＥ =ＥＤ .5 如图 1 ,在⊙Ｏ中 ,若∠ＡＣＢ =1 4 0° ,则∠ＯＡＢ =.6 如图 2 ,在⊙Ｏ中 ,若劣弧ＤＥ的度数是 6 0° ,则∠Ｂ +∠Ｃ =.7 如图 3,Ｐ是⊙Ｏ外一点 ,ＰＯ交⊙Ｏ于Ａ ,ＰＣ切⊙Ｏ于Ｃ .若ＯＰ =1 0 ,ＰＣ =8,则ＯＡ =.8 如图 4 ,ＰＴ切…     

五个亚太国家中小学教育改革与发展的新动向

“第１３届ＡＰＥＣ教育论坛会议”于１９９９年１月２５－２９日在智利首都圣地亚哥举行。会议期间,举行了题为“经济变化与教育改革之间的关系”的研讨会。在这次教育论坛会议上,有１９个亚太地区的ＡＰＥＣ成员共２５０余名代表参加了会议,本人随我国教育部代表团参加了会议,现将五个亚太国家在会议上所提供的有关中小学教育改革与发展的信息整理如下,以供大家参考。 一、日本的中小学教育改革 １、增强情感教育 （１）提高对情感教育重要性的国家级认识,在全国兴起“与儿童谈话”的运动,加强各方的合作,如与私立企业、非政府组…     

2002年高考数学试卷(理科)第19题别解

试题 :四棱锥Ｐ—ＡＢＣＤ的底面是边长为ａ的正方形 ,ＰＢ⊥面ＡＢＣＤ .(1 )若面ＰＡＤ与面ＡＢＣＤ所成的二面角为 60°,求这个四棱锥的体积 ;(2 )证明无论四棱锥的高怎么变化 ,面ＰＡＤ与面ＰＣＤ所成的二面角恒大于 90°.(1 )解法略(2 )证明 :不论棱锥的高怎样变化 ,棱锥侧面ＰＡＤ与ＰＣＤ恒为全等三角形 .作ＡＥ⊥ＤＰ ,垂足为Ｅ ,连结ＥＣ ,则△ＡＤＥ≌△ＣＤＥ ,所以ＡＥ =ＣＥ ,∠ＣＥＤ=90°,故∠ＣＥＡ是面ＰＡＤ与面ＰＣＤ所成的二面角的平面角 ,ＰＤ⊥面ＡＣＥ .(下面用三种方法来证明∠ＣＥＡ是钝角 )证法 1　如图 1 ,因为…     

2002年高考数学第19题另解

试题 :四棱锥Ｐ-ＡＢＣＤ的底面是边长为ａ的正方形 ,ＰＢ ⊥面ＡＢＣＤ .(1 )若面ＰＡＤ与面ＡＢＣＤ所成的二面角为60°,求这个四棱锥的体积 ;(2 )证明无论四棱锥的高怎么变化 ,面ＰＡＤ与面ＰＣＤ所成的二面角恒大于 90°.(1 )解法略(2 )证明 :不论棱锥的高怎样变化 ,棱锥侧面ＰＡＤ与ＰＣＤ恒为全等三角形 .作ＡＥ⊥ＤＰ ,垂足为Ｅ ,连结ＥＣ ,则△ＡＤＥ≌△ＣＤＥ ,所以ＡＥ =ＣＥ ,∠ＣＥＤ =90°,故∠ＣＥＡ是面ＰＡＤ与面ＰＣＤ所成的二面角的平面角 ,ＰＤ ⊥面ＡＣＥ(下面用三种方法来证明∠ＣＥＡ是钝角)证法一 :∵ＤＥ ⊥面ＣＥ…     

平面上任意一点到三角形类似重心的距离公式及其应用

在△ＡＢＣ中 ,重心Ｇ的等角共轭点Ｌ叫作类似重心[1] .本文导出△ＡＢＣ所在平面上的任意一点Ｐ到类似重心Ｌ的距离公式 ,从中可推出一些有意义的结果 .引理 1 [1] 　设ＢＤ、ＣＥ为两条类似中线 ,ＡＣ =ｂ ,ＡＢ =ｃ,ＢＣ =ａ ,则ＡＤＤＣ=ｃ2ａ2 ,ＡＥＥＢ=ｂ2ａ2 .①引理 2 [2 ] 　设Ｐ为△ＡＢＣ所在平面上任意一点 ,Ｄ、Ｅ分别是边ＡＣ、ＡＢ所在直线上的点 ,ＢＤ与ＣＥ交于Ｍ (Ｍ不在边上 ) .若 ＡＤＤＣ =λ ,ＡＥＥＢ=μ ,则ＰＭ2 =ＰＡ2 μＰＢ2 λＰＣ2λ μ 1 -λμａ2 λｂ2 μｃ2(λ μ 1 ) 2 .②定理　ＰＬ2 =…     

函数与几何结合的综合题

中考数学试题中经常出现函数与平面几何相结合的综合题 ,解这类题要求考生能灵活掌握函数的性质与平面几何图形的特征及相关知识 ,其基本思想是“数形结合” .图 1例 1　如图 1 ,Ａ、Ｂ是直线ｌ上的两点 ,ＡＢ =4ｃｍ ,过ｌ外一点Ｃ作ＣＤ∥ｌ,射线ＢＣ与ｌ所成的锐角∠ 1 =6 0°,线段ＢＣ =2ｃｍ .动点Ｐ、Ｑ分别从点Ｂ、Ｃ同时出发 ,Ｐ以每秒 1ｃｍ的速度沿由Ｂ向Ｃ的方向运动 ,Ｑ以每秒 2ｃｍ的速度沿由Ｃ向Ｄ的方向运动 .设Ｐ、Ｑ运动的时间为ｔ(秒 ) ,当ｔ>2时 ,ＰＡ交ＣＤ于点Ｅ .( 1 )用含ｔ的代数式分别表示ＣＥ和ＱＥ的长 ;( 2 )求…     

一道竞赛题的多种解法

题目　如图 1 ,已知四边形ＡＢＣＤ外接圆⊙Ｏ的半径为 2 ,对角线ＡＣ与ＢＤ的交点为Ｅ ,ＡＥ =ＥＣ ,ＡＢ =2ＡＥ ,ＢＤ =2 3.求四边形ＡＢＣＤ的面积 .( 2 0 0 0年全国初三数学竞赛题 )这是一道综合性与技巧性都较强的试题 ,解题的思路开阔 ,方法较多 .图 1图 2　　解法一　如图 2 ,∵　ＡＢ =2ＡＥ ,ＡＥ =ＥＣ ,∴　ＡＢ2 =2ＡＥ2 =ＡＥ·2ＡＥ =ＡＥ·ＡＣ .∴　 ＡＢＡＣ =ＡＥＡＢ.又∠ＢＡＥ =∠ＣＡＢ ,∴　△ＡＢＥ∽△ＡＣＢ .∴　∠ＡＢＥ =∠ＡＣＢ .∵　∠ＡＣＢ =∠ＡＤＢ ,∴　∠ＡＢＥ =∠ＡＤＢ .∴　ＡＢ =ＡＤ .作直径…