一个不等式证法的优化

本文给出不等式x/(1 x xy) y/(1 y yz) z/(1 z zx)≤1(其中x,y,z∈R_ )的一种最简单的证法。这种证法只需引用不等式(a b c)(1/a 1/b 1/c)≥9 (*)其中a,b,c∈R~ 。 令a=x/(1 x xy),b=y/(1 y yz),c=z/(1 z zx)易知 1/a 1/b 1/c=1/x 1 y 1/y 1 z 1/z 1 x=3 (x 1/x) (y 1/y) (z 1/z)≥3 2 2 2=9,当且仅当x=y     

有条件的分式求值的若干技巧

1　巧引参数例 1　已知 x2 =y3 =z4,那么x2 -2y2 + 3z2xy+ 2yz + 3zx 的值等于 .(1997年“希望杯”初中数学邀请赛初二题 )解　设 x2 =y3 =z4=k(k≠ 0 ) ,则x= 2k ,y =3k ,z=4k ,所以 x2 -2y2 + 3z2xy + 2yz+ 3zx=4k2 -18k2 + 48k26k2 + 2 4k2 + 2 4k2 =3 4k25 4k2 =172 7.评注　本例通过引入参数 ,以参数为媒介减少变量个数 ,实现问题转化的目的 .2　巧用性质例 2　已知abc≠ 0 ,且 a+b -cc =a-b +cb =-a +b+cc ,则(a+b) (b+c) (c +a)abc 的值是或 .(1997年“希望杯”初中数学邀请赛初二题 )解　当a +b+c≠ 0 ,由等比定理 ,得a +b-cc =a -b…     

三个不等式之间隐含的关系

观察下面三个问题 :( 1 )设a、b、c为△ABC的三边 .求证 :a2 b(a -b) +b2 c(b -c) +c2 a(c-a)≥ 0 .①(第 2 4届IMO)( 2 )若x、y、z∈R+,则x·x +yx +z+y·y +zy +x+z·z+xz+y≥x +y +z.②( 1 992 ,国际“友谊杯”数学邀请赛 )( 3)设x、y、z∈R+,求证 :x2 ·y +zy +x+y2 ·z+xz+y+z2 ·x +yx +z≥xy +yz+zx .③这三个不等式均不难证明 ,此处从略 .今将揭示他们之间隐含的内在联系 .1 .建立对应关系 ,揭示①可转化为②众所周知 ,对于任意△ABC的三边a、b、c,总可找到这样的正数x、y、z,使得a =y +z,b =z+x ,c =x +y .于是 ,式①化为(y+z…     

也谈一不等式赛题的形数沟通

题 1　 (第 15届全俄数学竞赛题 )若 x,y,z∈ (0 ,1) ,则 x(1-y) y(1-z) z(1-x) <1. 1题 1曾先后以不同形式出现在欧洲一些国家的竞赛题之中 ,如 :题 2　 (1981年第 2 1届全苏数学竞赛题 )正数 a,b,c,A,B,C满足 a A =b B =c C = k.求证 :a B b C c A 相似文献   

使用等比性质应注意什么

等比性质:a/b=c/d=…=m/m(?)(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b.(b+d+…+n≠0) 这个性质在许多方面使用起来是方便的,但必须注意它的条件:b+d+…+n≠0.若a+d+…+n=0,则分式的分母为零,无意义. 例1 已知x/2=y/3=z/(-5)≠0,求(x+y+z)/(x-y)的值.     

一个猜想的类比问题

笔者在文[1]中解决了文[2]所述猜想:1a 1b 1c=a 1b c a21n 1 b21n 1 c21n 1=1a 1b 1c2n 1(n∈N ).并指出,其等价于下述命题.命题1若n∈N ,x、y、z均不为零,则x2n 1 y2n 1 z2n 1=(x y z)2n 1的充要条件是x、y、z中至少有两个互为相反数.最近发现,命题1的一个类比问题也成立.命题     

2003年北京市中学生数学竞赛(初二复赛)

一、填空题 (每小题 8分 ,共 4 0分 )1.若 (2x - 1) 5=a5x5 a4x4 a3 x3 a2 x2 a1x a0 ,则a2 a4=　　　 .2 .在△ABC中 ,M是边AC的中点 ,P为AM上一点 ,过P作PK∥AB交BM于X ,交BC于K .若PX=2 ,XK =3,则AB =　　　 .3.a、b、c是非负实数 ,并且满足 3a 2b c =5 ,2a b - 3c=1.设m =3a b - 7c ,记x为m的最小值 ,y为m的最大值 .则xy =　　　 .4 .在△ABC中 ,AD是边BC上的中线 ,AB =2 ,AD =6 ,AC =2 6 .则∠ABC =　　　 .5 .已知xyz=1,x y z =2 ,x2 y2 z2 =16 .则 1xy 2z 1yz 2x 1zx 2y=　　　 .二、(15分 )若正数a…     

线性分式函数的图像和性质讨论

在高中代数中,常常遇见形如y=(ax b)/(cx d)(1)(c≠0,a~2 b~2≠0,bc-ad≠0)的函数,我们称为线性分式函数,其中常数c≠0,是因为若c=0,这就不是分式函数,而是一次函数或常数了,若a~2 b~2=0,则a=b=0,y=0是一个常数,或称常值函数,而若bc=ad则a/c=b/d,函数(1)的解析式变成y=(a/c x b/c)/(x d/c)=(b/d x b/c)/(x d/c)=(b/d(x d/c))/(x d/c)=b/d,也     

1998年上海市初中数学竞赛(鹏欣杯)

第一试 1.已知b、c为方程x~2 bx c=0的两个根,且c≠0.则(b,c)=____。 2.实数x、y、z满足 x=6-3y, x 3y-2xy 2z~2=0.     

“空间数”再探

设长方体三度为 x、y、z,x≤y≤z,体积 V=xyz,表面积 S=2(xy+yz+zx),棱长 L=4(x+y+z).文[1]得到 V=S=L型空间数不存在;V=S 型的有9个;得到 L=V 型的一个:48;S=L 型的一个:24.本文做进一步探索.探索1 V=L 型空间数.记 a=xy,b=zx,c=yz,则 V=L 化为(1/a)+(1/b)+(1/c)=1/4(a≤b≤c).①(1)可得5≤a≤12,a=5时,21≤b≤40.由于 x=(abc)~(1/2)/c,y=(abc)~(1/2)/b,z=(abc)~(1/2)/c 知 abc 须为平方数.由1/b+1/c=1/20,得 abc=(100b~2)/(b-20),可见须 b-20为平方数,b 可取21,24,29,36,代入方     

2006年第9期问题

49.设a,b,c∈R ,且a b c=1,求证:11(a2 b2 c2)-3(a4 b4 c4)≥392.(安徽潜山二中246300琚国起提供)50.已知关于x的三次方程x3-Ax2 x-B=0有三个正实根,其中A,B为参数.试求A8-B B A2的最小值.(湖南省武冈市十中422400邓集春提供)51.若x,y,z∈R ,n是不小于3的自然数,且xyz=1,求证:(1 y)x(n1 z) (1 z)(y n1 x) (1 x)(z n1 y)≥43.(江苏如皋市教师进修学校226500徐道提供)52.在两个正数a,b(a≠b)之间插入n个正数a1,a2,…,an,使这n 2个正数成等差数列,n∈N ,求证:a21 a22 … an2<12n(a2 b2).(安徽省明光市涧溪中学239461盛宏礼提供)53.过B、A…     

两个定理的推广及其应用

文 [1]的定理 1,2分别为 :定理 1　设 a≠ - 1,b≠ - 1,则 11+ a+11+ b=1成立的充要条件是 ab=1.定理 2　设 a≠ - 1,b≠ - 1,则 a1+ a+b1+ b=1成立的充要条件是 ab=1.我们可将定理 1,2推广为 :定理 3　设 xy≠ 0 ,则 ax+ by=1成立的充要条件是 (x- a) (y- b) =ab(证明略 ) .把定理 3中的 a,b,x,y分别换成 1,1,1+ 1+ b,则得定理 1;把定理 3中的 x,y分别换成 1+ a,1+ b,则得定理 2 .用定理 3解某些最值题或证明某些不等式是比较方便的 ,下面举例说明 .1　求最值例 1　已知 x,y∈ (0 ,+∞ )且 2 x+ y=4,求 1x+ 1y的最小值 .(文 [2 ]例 2 )解　…     

两个对称式的不等式的推广

本文推广了如下两个关于对称式的不等式 :x2 yz +y2 zx +z2 xy ≥x2 +y2 +z2 　 (x ,y ,z∈R ,x≥y≥z >0 ) ,ab(a +b) +bc(b +c) +ca(c +a)≤ 32 (a +b) (b +c) (c +a) ,(a ,b ,c∈R+ )     

集合{（a^2＋b^2-c^2-d^2）^2-4（ab-cd）^2｜a,b,c,d∈Z}关于乘法封闭

[问题315．1]设集合S={（a^2＋b^2-c^2-d^2）^2-4（ab-cd）^2｜a,b,c,d∈Z｜,求证：S关于乘法封闭,即任给x,y∈S,必有xy∈S.     

30分钟智力冲浪

1 .若x是正整数 ,且 y =x4+ 2x3 + 2x2 + 2x + 1 ,则 (　　 ) .(A) y一定是完全平方数(B)存在有限个x ,使 y是完全平方数(C) y一定不是完全平方数(D)存在无限多个x ,使 y是完全平方数2 .当x -3 y+ 4z=1 ,2x+ y-2z =2时 ,化简x2 -2xy-3 y2 + 2xz+ 1 0 yz-8z2 的结果是 (　　 ) .(A) 1　　　　 (B) 0　　　　 (C) 2 -x　　　　 (D)x -23 .若a ,c ,d是整数 ,b是正整数 ,且满足a +b =c,b +c=d ,c +d =a,则a +b +c+d的最大值是 (　　 ) .(A) 0　　　　 (B) 1　　　　 (C) -1　　　　 (D) -54.若a2 + 2a + 5是a4+ma2 +n的一个因式 ,则mn的值…     

也证一个猜想不等式

文 [1]中提出如下一个猜想不等式 :设 x,y,z∈ R ,则有xx y yy z zz x≤ 322 .(1)文 [2 ]应用导数给出了 (1)式的一个证明 .其实利用现行高中课本《代数》下册 (必修 )第 15页上的一道习题 :(a2 b2 ) (c2 d2 )≥ (ac bd) 2 . (2 )(a,b,c,d∈ R)即可获得 (1)式的一个简洁的初等证明 .证明　由抽屉原则知 :xx y,yy z,zz x中至少有两个不小于 (或不大于 )12 ,由轮换对称性 ,不妨设它们是 xx y,yy z,则有(xx y- 12 ) (yy z- 12 )≥ 0 ,可化为12(xx y yy z)≤ xx y· yy z 12 .又由不等式 (2 ) ,可得(x y) (y z)≥ xy yz,∴ xy(x y) (y z) ≤ …     

寻找等式与不等式的桥梁--探讨一道竞赛题的典型解法

2005年湖南省数学竞赛压轴题为:若正数a,b,c满足b+a c=a+b c-ca+b,求证:a+b c≥174-1.这是从等式开始的解证多元分式不等式的问题,较新颖.考生的得分率很低,而且标准答案也不易,因而值得探讨其典型解证方法.证法1(标准答案)由条件有a+b c=ca+b+b+a c,令a+b=x,b+c=y,c+a=z,则a=x+z2-y,b=x+y2-z,c=z+y-x2,从而原式变为x+2yz-z=y+z-x2x=x+2 zy-y,即x+z y=y+x z+z+y x-1≥xz+zy+1≥x 4+z y+1.令x+z y=t,则t≥4t+1,可得t≥1+2 17或t≤1-2 17(不合要求,舍去),故a+b c=x+2 yz-z=2t-21≥17-14.证法2由条件有a+b c=b+a c+ca+b=ab+a2 ac+bc+c2 ac≥(a+…     

集合{a^3＋2b^3＋4c^3—6abc｜a，b，c∈Z}关于乘法封闭

[问题314．1]令集合S={a^3＋2b^3＋4c^3-6abc｜a,b,c∈Z},求证：S关于乘法封闭,即任给x,y∈S。必有xy∈S．（本题是自编新题）     

2007年高考数学模拟试卷(文理共用)

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M=｛(x,y)｜y=k(x-1) 1,x,y∈R｝,集合N=｛(x,y)｜x2 y2-2y=0,x,y∈R｝,那么M∩N中()A.不可能有两个元素B.至多有一个元素C.不可能只有一个元素D.必含无数个元素(文)设集合M=｛x｜x=4m 2,m∈Z｝N=｛y=4n 3,n∈Z｝｜若x0∈M,y0∈N,则x0y0与集合M,N的关系是()A.x0y0∈N B.x0y0#M C.x0y0∈M D.无法确定2.若复数z=(a2-2a) (a2-a-2)i的纯虚数,则()A.a≠2或a≠1B.a≠2且a≠1C.a=0D.a=0或a=2(文)f(11 -xx)=11- xx22,则f(x)的…     

对两个不等式的再探讨

文[1]给出如下一个不等式: 设a,b,c 是三角形的边长,则 a2b b2c c2a ≥ (a b c)(ab bc ca) . 1 ① 3并由此导出另一个“精制”不等式: 设 x, y,z∈R ,则 x 3z y 3x z 3y≥