巧观察 活证不等式

不等式的证明向来存在寻找突破口难、条件运用难、确定变形方向难等实际情况.其实,如果细心观察不等式两端的系数、次数、项数、结构、取等号条件、已知与结论的联系等差异,再选择适当的途径消除差异从而达到解题目的.因此,在证明不等式时,若能运用"六观察"的策略,即观系数、观次数、观等     

例析齐次化方法在不等式证明中的应用

所谓齐次化就是将要证明的非齐次不等式利用所给条件转化为齐次不等式的方法．由于许多重要不等式,如均值不等式、柯西不等式自身就是齐次不等式,所以证明一些带条件的非齐次不等式时,若能利用所给条件对原不等式进行恒等变形,转化为易于证明的齐次不等式形式,则问题将得到解证．下以数例说明．     

构造齐次式,妙证不等式

在一个不等式中,如果各项的次数相同,我们称之为齐次不等式,由于齐次不等式结构上对称、简洁、因而处理起来更容易、更有规律,另外,很多重要的不等式,例如均值不等式、柯西不等式都是齐次不等式,所以在证明一些带条件的非齐次不等式时,如果能借助条件对原不等式进行恒等变形,将非齐次不等式转化为齐次不等式来处理,往往会产生出奇制胜的效果.下面举例进行说明.例1已知x?y?z?1,证明:2 2 21     

证明条件不等式的一种方法——调整法

在条件不等式的证明中,如何合理正确地运用所给条件,是解决问题的关键,也是一个难点;如果不等式中变元过多,次数过高,就更使人迷茫而无从下手。为此,我们介绍一种方法——调整法,就是先把条件特殊化,使欲证不等式中的等号成立,再引入参量,使条件一般化,从而证明不等式的方法,也就是一种由特殊到一般的方法。     

证明分式不等式的变形技巧

近年来,数学竞赛中涉及的不等式大都是分式不等式,这些不等式的证明常常需要较强的变形技巧,为利用有关方法或基本不等式创造条件,本文介绍分式不等式证明中几种常用变形。1 分离整式 如果不等式中涉及的分式为“假分式”(即分子的次数不低于分母的次数),可将其拆为整式与“真分式”的和,常可简化运算,使     

巧用切线法 妙证不等式

不等式的证明既是数学竞赛中的热点,也是难点.切线不等式在解决一类条件不等式中有着广泛的应用.本文从函数凹凸性的视角,对一类条件不等式进行模型总结,提出借助曲线的切线证明该类不等式的方法,并发现部分非条件不等式可化为条件不等式进行证明.     

用同次转化法证不等式

在条件不等式中 ,常有条件ｘ1 ｘ2 … ｘｎ=ｃ,ｃ为常数。巧妙地利用这个条件 ,使欲证不等式两边的字母次数配成同次 ,然后再实施变换 ,用这种方法证不等式会收到很好的效果 ,以下用实例来说明。例 1　已知正实数ａ、ｂ、ｃ的和等于 1。证明　ａ2 ｂ2 ｃ2 2 3ａｂｃ≤ 1①分析　这里字母的最高次数是 2 ,3ａｂｃ的次数是 32 ,1的次数是零。现利用ａ ｂ ｃ=1 ,将①的两边字母的次数配成同次 ,即ａ2 ｂ2 ｃ2 2 3ａｂｃ(ａ ｂ ｃ)≤ (ａ ｂ ｃ) 2 ②欲证① ,只需证②。证明　因ａ2 ｂ2 ｃ2 2 3ａｂｃ(ａ ｂ ｃ)≤(ａ ｂ ｃ)…     

微积分在不等式证明中的应用

不等式是数学的重要内容,证明不等式的方法多种多样,有些不等式用初等方法来证明需要较高的技巧,甚至有时有些不等式根本无法用初等方法来证明.而有时利用高等数学中微积分的有关知识来证明不等式,可以使证明的思路变得简单,技巧性降低.在此总结出三个可直接用于证明不等式的命题,阐述如何利用高等数学中函数的单调性、拉格朗日中值定理、函数的极值与最值、函数凹凸性、泰勒公式、积分中值定理及其性质来证明不等式.     

构造函数证明不等式

从函数思想考虑,按照函数的某些性质,适当地构造函数模型,是不等式证明的重要方法.一、构造二次函数证明不等式二次函数、一元二次方程、二次不等式联系极为密切,对于某些条件二次不等式的证明,可以考虑构造相应的二次函数模型,然后利用二次函数的图象及性质,使不等式得以证明.例1:已知:α+β+γ=π,求证:x~2+y~2+z~2≥2xycosα+2yzcosβ+2zxcosγ.证明:构造函数     

利用微分学证明不等式

不等式的证明是数学的重要内容之一,也是高等教学的重要工具.证明不等式的方法有很多种,而在某些情况下利用微分学证明不等式也是一种极为有效的方法,本文将介绍几种利用微分学证明不等式的方法,以更加明确微分学证明不等式的重要性.     

利用导数证明不等式的若干方法

利用导数证明不等式,不失为一种重要方法.利用导数证明不等式,通常要构造辅助函数,把不等式的证明转化为利用导数来研究函数的性态.     

凹函数的等价条件及其应用

在大学数学学习中,凹函数是比较特别的一类.在数学分析、概率等课程中的一些不等式的证明问题,利用凹函数的等价条件可以很简洁、巧妙地得以证明.利用凹函数证明不等式的关键是构造出能够解决问题的函数.     

用一种代换方法证明两类条件不等式

在代数不等式的证明中,我们经常会遇到三个正数的和或积为1的条件不等式,这类不等式的证明使用的数学工具和方法灵活多样,没有固定、统一的方法.本文介绍一种代换方法,可作为处理这两类条件不等式的一种方法.     

几种类型的不等式证明

正不等式的证明题,无论它以什么形式展现,其常规的证明方法如下:利用函数的单调性证明;重要不等式证明;放缩法;数学归纳法等.不等式结构能提示我们做"最近选择",不等式证明的方法最适合证明什么类型的不等式,需要我们去整合.笔者提供几类案例,供参考.一、常数型不等式证明所谓常数型不等式,是指不等式一边是代数式而另一边是常数的     

借助导数 巧用函数性质证明不等式

正不等式证明是高中数学的重点难点之一.不等式的种类繁多,证明的方法也难易悬殊,使用的技巧各异,尽管教材中对不等式的证明给出了系统的总结,但是有很多不等式,我们还是较难快速简洁地证明它.特别是有些不等式,如果用常用的初等方法去证明,我们会感到无从下手.这时如果我们如果将它作个恒等变形,使它转化为我们较熟悉的函数不等式,再借助导数,利用函数的相关性质来证明,往往会事半功倍.一、利用函数单调性证明不等式     

应用均值不等式求函数最值

均值不等式除用于比较实数大小及证明不等式外,主要用于求函数最值.均值不等式使用的条件是"一正二定三相等",三个条件缺一不可.为了达到使用均值不等式的三个条件,往往需要利用配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段.     

利用微积分证明不等式

不等式证明方法很多,利用微积分的知识证明不等式,使不等式的证明过程简单化,本文列举了8种常用方法.     

探讨构造函数法证明不等式的若干方法

近年来,高中数学的教材新增了导数相关的内容.相应的,数学不等式的证明也有了新途径和新方法.充分利用导数的相关概念,从而完成不等式的证明,是近年来高中数学教学中的一个重要内容,也是一个难点和热点.利用导数证明不等式的基本思路是,巧妙利用构造函数的基本形式,通过导数来分析原来函数的单调性,找出其最值,分析其值域,从而证明不等式.因此,在证明不等式的过程中,合理、有效地构造函数,是证明不等式的核心步骤.介绍了作差构造函数法、换元构造函数法、从条件特征入手构造函数法的基本思路,并结合实例进行分析.     

条件极值与均值不等式求最值的比较

利用均值不等式证明不等式需要构造n个可能相等的正数,特别是用来求最大(小)值,就必须构造n个相等的正数.对于很多学生来说,这比较困难.本文利用求条件极值的方法简单证明了均值不等式和加权均值不等式,从而一些用均值不等式证明的不等式就可以用条件极值来证明,特别是含有等号的严格不等式可用求条件极值的方法来证明.     

构造辅助函数证明不等式

用导数证明不等式是证不等式的一种重要方法,证明过程往往简捷、明快,特别是证明超越不等式,更是如鱼得水.证明的第一步要考虑如何构造函数,也是证明的关键.若函数构造恰当,把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值,从而证得不等式.本文谈谈在用导数证明不等式时