使用判别式要谨慎

用判别式解题,由于诸种因素的相互制约,稍不留意.就出差错,今给出几例,剖析如下. 例1 求函数y=(x~2-x-1)/(x~2-x 1)的值域. 错解:将原式化为(y-1)x~2-(y-1)x y 1=0,∴ x∈R,故有N=[-(y-1)]~2-4(y-1)(y 1)≥0,解得-(5/3)≤y≤1.∴原函数的值域为-5/3≤y≤1. 剖析:上述解答的错误源于忽略了当y=1时,方程(y-1)x~2-(y-1)x y 1=0无解的情况. 正解:∵x~2-x 1=(x-1/2)~2 3/4≠0.∴原等式可化为(y-1)x~2-(y-1)x y 1=0.∵x∈R,故有△=[-(y-1)]~2-4(y-1)(y 1)≥0.解得-5/3≤y≤1.∵ 当y=1时.方程(y-1)x~2-(y-1)x y 1=0无解,∴y≠1.故原函数的值域是-5/3≤y<1.     

论函数y=ax~2+bx+c/mx~2+nx+l(m≠0)值域的求法

一、纯粹利用判别式求函数y=ax~2+bx+c/mx~2+nx+l值域的可靠性。 [例1]求函数y=5/2x~2+5x+3的值域。解:把原式变形成2yx~2+5yx+3y-5=0 ①∵ x为实数:△=(5y)~2-4(2y)(3y-5)≥0 解得 y≥0或y≤-40 即所求值域为:{y∶y≥0}∪{y∶y≤-40}。但由原函数显然可知y≠0,所以上面求得的值域并不可靠。 [例2]求函数y=x~2-x-2/2x~2-6x+4的值域。解:把原式变形成 (2y-1)x~2+(1-6y)x+4y+2=0 ②∵ x为实数,∴△=(1-6y)~2-4(2y-1)(4y+2)=(2y-3)~2≥0 ∵所求值域为y∈R事实上,y=(x~2-x-2)/(2x~2-6x+4)=((x-2)(x+1))/(2(x-2)(x-1))     

初二数学期末测试题及解答

-.选择问:（3分×10=30分）1.下列因式分解正确的是（ ） (A)x~2 6x 5=(x 3)(x=2) (B)4x~2-y~2=(4x y)(4x-y) (C)a~4-x~2-4ax-4a~2=(a~2 x 2a)(a~2-x-2a~2) (D)x~4-4x~2 3=(x~2-1)(x~2-3)2.使分式(x-1)/(|x| 1)有意义的x的取值是（ ） (A)x≠±1 (B)x≠1 (C)x≠-1 (D)x取一切数3.下列多项式因式分解后不含（x-1）的为 （ ） （A） x~3-x~2-x 1 （B)x~2 y-xy-x     

关于一个三元对称不等式的几点思考

文献[1]提供了一道奥赛题,这是一个三元对称不等式:题目设正实数 a,b,c 满足 a b c=1.证明:10(a~3 b~3 c~3)-9(a~5 b~5 c~5)≥1.(1)1 不等式的另证引理已知函数 f(x)=x 3x~2-x~3-3x~4,则当1≥x y≥x≥y≥0时,f(x)≥f(y)≥0.(2)证明当1≥x y≥x≥y≥0时,首先f(y)=y 3y~2-y~3-3y~4=y(1 3y)(1-y~2)≥0;其次f(x)-f(y)=(x-y) 3(x~2-y~2)-(x~3-y~3)-3(x~4-y~4)=(x-y){1-(x~2 xy y~2) 3(x y)[1-(x~2 y~2)]}.因为 x-y≥0,又1-(x~2 xy y~2)≥(x y)~2-(x~2 xy y~2)=xy≥0,1-(x~2 y~2)≥(x y)~2-(x~2-y~2)=2xy≥0,所以 f(x)-f(y)≥0,即 f(x)≥f(y)≥0.不等式《1)的证明为方便起见,记f(x)=x 3x~2-x~3-3x~4     

函数解析式求法六种

1 原反函数法若知函数y=f(x),欲求其反函数,从y=f(x)中解出x=f(y),验证并交换变量符号,得y=f~(-1)(x)。例1 (1996年上海高考题)函数y=x~(-2)(x<0)的反函数是__。解:由y=x~(-2)(x<0),得x=-y~(-1/2), 所以y=x~(-2)(x<0)的反函数是y=-x~(-1/2)(x>0)。     

“分式方程”典例赏析

例1已知实数x满足x2 1x2 x 1x=0,试求x 1x的值.解析:可将x 1x看作一个整体,设它为y,得y=1或-2,当x 1x=1时方程无解,则x 1x只能等于-2.此题由解分式方程演变而来,暗设陷阱,解题时,若忽视“x是实数”这个条件,将求得的值不加以检验直接写出,则前功尽弃.例2若关于x的分式方程x-1x-2-x-2x 1=2x ax2-x-2有唯一的实根,则()(A)a可为任何实数.(B)a=-7或a=-1.(C)a≠-7且a≠-1.(D)a≠-7或a≠-1.解:将分式方程化为整式方程可得x=a 52,由原方程中x≠-1,且x≠2,得a 5≠-2且a 5≠4,即a≠-7且a≠-1,故选择(C).例3当k为何值时,关于x的分式方程xx 1=4x kx2 …     

从一道例题的简解谈起

初中《代数》第三册P.115例5是:已知方程x~2-2x-1=0,利用根与系数关系求一个一元二次方程,使它的根是原方程的各根的立方。其实,本题若不利用根与系数的关系,也可获解,请看: 解:设y为新方程任一根,则对原方程相应的根x有:y=x~3。由原方程得:X~2=2x+1,所以x~3=2x~2+x=2(2x-1)+x=5x+2。因此,y=5x+2,即x=(y-2)/5,将它代入原方程并化简即得所求方程:y~2-14y-1=0。     

借助模式 思路宽阔——对“一道分式函数值域题错解纠错”的纠错

文献[1]在对一道分式函数值域的错解进行纠错时,不慎又给出了一个错误答案.摘录如下:问题求函数 y=(1-x~2)~(1/2)/(2 x)的值域.错解原式变形为(x 2)y=(1-x~2)~(1/2),两边平方整理得(y~2 1)x~2 4y~2x 4y~2-1=0,因为 y~2 1>0且 x 是实数,所以△=16y~4-4(y~2 1)(4y~2-1)≥0,从而|y|≤1/3~(1/2),即原函数的值域是[-(3~(1/2)),3~(1/2)].剖析原函数在化为整式及去根号时,扩大了定义域,从而扩大了函数的值域.解因为函数的定义域为-1≤x≤1,所以 x 2>0,可得0≤((1-x~2)~(1/2))/(x 2)≤1/2.当 x=±1时,左端等号成立;当 x=0时,右端等号成立,所以函数的值域为[0,1/2].在高中数学教学中,常遇到一些分式函数的值域求解问题.学生的解题错误率较高,有的甚至感觉     

齐次代换在求最值中的应用

一类二元函数的条件最值,如能进行适当的齐次代换转化为分式函数,利用判别式法易于简捷巧妙地获解。例1 已知|3x-y|≥4,求S=2x~2-xy y~2的最小值,并求S取最小值时的x、y值。解:显然x,y不全为零,不妨设x≠0,令t=y/x。 u=S/(3x-y)~2=(2x~2-xy y~2)/(9x~2-6xy y~2)=(2-t t~2)/(9-6t t~2)化为(1-u)t~2 (6u-1)t (2-9u)=0其△=(6u-1)~2-4(1-u)(2-9u)=32u-7≥0,解得u≥7/32。     

解一元方程的一种方法——增元法

解多元方程组时,有一个大家熟知的消元法,即将多元转化为一元。本文介绍一种化一元为二元(或三元),从而改变解方程途径的方法——增元法,对于相当一类方程,特别是竞赛中出现的技巧性强、难度较大的一类方程,用此法时往往会奏效。下面举例说明之。例1 解方程x=(x~2-2)~2-2。若将右端展开变成一个四次方程,虽可解出,但解法麻烦。若设y=x~2-2,则原方程化为x=y~2-2未知数x,y受以上两个方程约束,故得方 x=y~2-2(1)程组: y=x~2-2,(2) 用代入法解此方程组是不适当的,因为(2)代入(1)的结果又得原方程。为此,改变解方程组的方法,用加减法解方程组:(1)-(2)得,x-y=y~2-x~2,即x=y或x+y=-1,方程化为:     

求自变量取值范围要注意隐含条件

在求自变量的取值范围时,要注意题中隐含的条件,否则将给解题带来失误。现举例如下。 例1 已知关于x的方程(x-1)~2=2-t有两个实根x_1、x_2。设y=(x_1-x_2)~2。求y与t之间的函数关系式,并求自变量的取值范围。 错解:原方程可化为 x~2-2x t-1=0。 则由根与系数的关系可得 x_1 x_2=2,x_1x_2=t-1。 ∴y=(x_1-x_2)~2=(x_1 x_2)~2-4x_1x_2 =2~2-4(t-1)=-4t 8。 t的取值范围是一切实数。 评析:上面的解法没有注意到题中隐含的条件,方程有实根,则△=4-4(t-1)≥0。 解得t≤2。因此,正确答案应为t≤2。 例2 如图1,ABCD是半径为1的圆内接等腰梯形,其下底是圆的直径。试求周长y与腰长x之间的函数关系式,并求自变量x的取值范围。 错解:过C作CE⊥AB于E,连AC。易证 Rt△ABC∽Rt△CBE。 ∴(BC)/(BE)=(AB)/(BC), 即BC~2=AB·BE。 于是,x~2=2BE。 ∴BE=1/2x~2,DC=AB-2BE=2-x~2。 ∴y=2 (2-x~2) 2x=-x~2 2x 4。     

确定双曲线方程一法

各已知渐近线方程 f_1(x)=0,f_2(x)=0而不知双曲线方程类型情况下,求双曲线方程可通过设方程为f_1(x)·f_2(x)=λ(λ≠0)来确定.例1 求以4x-3y=0,4x 3y=0为渐近线方程且过 P(4 (3~(1/2),8)的双曲线方程.解:渐近线方程可变为(4x-3y)(4x 3y)=16x~2-9y~2=0     

容易忽视的隐含条件

数学问题中有很多问题是含有隐含条件的,在解题时容易忽视,甚至有的教师在出题时也易忽视.在初中阶段有相当这一部分题目,现举例如下,仅供参考.1 分母不为零的隐含条件问题例1 函数y=(x+2)~(1/2)/(x-1)中自变量x的取值范围是_____(1996年连云港市中考题).错解:由被开方数为非负数,即x+2≥0得x≥-2.这里忽视了x-1≠0的情况,正确答案应为:x≥-2但x≠1.例2 方程(x~2-4)/(2-x=0)的根是_(1996年甘肃省中考题).     

偶然?必然!

先看下面的问题:例1 求两个等圆⊙C_1:x~2 y~2 D_(1x) E_(1y) F_1=0和⊙C_2:x~2 y~2 D_(2x) E_(2y) F_2=0的对称轴方程.(D_1≠D_2或 E_1≠E_2).解:如图(1)易知 C_1(-(D_1/2)     

谁的解法正确

题目:当k为何值时,方程(k2-1)x2+2(k+1)x+1=0有实数根?四位同学采取了如下四种不同的解法。甲的解法:∵△=[2(k+1)]2-4(k2-1)=8k+8.∴当8k+8>0,即k>-1时,方程有实数根。乙的解法:∵△=8k+8,∴当8k+8≥0,即k≥-1时,方程有实数根。丙的解法:∵△=8k+8,依题意有:k2-1≠08k+8≥0解之得:k≠±1,k≥-1∴当k>-1且k≠1时,方程有实数根。丁的解法:分别讨论k2-1≠0与k2-1=0两种情:(1)设k2-1≠0,依题意有k2-1≠08k+8≥0解得:k≠±1,k≥-1∴当k>-1且k≠1时,方程有两个实数根;(2)当k=1时,原方程为4x+1=0,有一个实数根;(3)当k=-1时,原方程为0·x+1=0,方程…     

二次方程系数一个性质的应用

关于x的一元二次方程ax~2 bx c=0(a≠0),如果a b c=0,则x=1是原方程的一个根;如果a-b c=0,则x=-1是原方程的一个根。反之亦然。这个性质在解题中有着独到的作用,兹举数例供参考。 例1 已知二次方程(ab-2b)x~2 2(b-a)x 2a-ab=0有两个相等的实数根,那么1/a 1/b=__。 解 因(ab-2b) 2(b-a) (2a-ab)     

添加辅助圆解一类解析几何题

设有两相交圆C_1:x~2 y~2 D_1x E_1y F_1=0C_2:x~2 y~2 D_2x E_2y F_2=0则方程:x~2 y~2 D_1x E_1y F_1 λ(x~2 y~2 D_2x E_2y F_2)=0①当λ≠-1时,表示的图形是经过 C_1、C_2交点的圆系(不包括 C_2)当λ=-1时,①式变为     

例谈分式及分式值

分式是初中数学的重要内容之一 ,而同学们在学习本章时 ,常会忽略一些问题 ,如分式的意义及分式的值的情况讨论。现归纳举例 ,供同学们学习时参考。一、分式有意义例 1　当x取何值时 ,分式 3x + 1x2 -x - 2 有意义 ?分析 :当分母不等于零时 ,分式有意义。解 :由x2 -x - 2≠ 0 ,得 (x - 2 ) (x + 1 )≠ 0 ,即x≠ 2且x≠ - 1。所以当x≠ 2且x≠ - 1时 ,分式 3x + 1x2 -x - 2 有意义。二、分式无意义例 2　当x取何值时 ,分式 x + 3x2 - 4无意义 ?分析 :当分母等于零时 ,分式无意义。解 :由x2 - 4=0 ,得x2 =4 ,即x =± 2。所以当x =± 2时 ,分式…     

运用判别式求函数值域的探讨

(一)求有理分式函数y=(a_1x~2 +b_1x+c_1)/(a_2x~2+b_2x+c_2) 型的值域时,如果分子、分母没有公因式时,就可变形式形为 (a_2yg-a_1)x~2+(b_2y-b_1)x+c_2y-c_1=0(*) 设a_2y-a_1≠0时,方程*的判别式Δ≥0的解集为M,还不能确认集合M就是原函数的值域,因为当y=a_1/a_2时,方程*的二次项系数为零,此时必须考察y=a_1/a_2时,方程*是否有实数解,如果没有实数解,则所求的值域就是M,如果有实数解;所求的值域为     

小小变形 作用蛮大

众所周知 ,对于一个假分式 AB(其中A、B是整式 ) ,即A的次数 ≥B的次数时 ,我们可用整式除法得到A=BP Q ,其中Q的次数低于B的次数或Q =0 (此时称A被B整除 ) ,所以 AB =BP QB =P QB(※ ) ,即把一个假分式变形为一个整式与真分式的和 ,变形虽小 ,但作用蛮大 ,下面举例说明 (※ )式在解题中的应用 .1　求方程的所有整数解例 1　如果整数a(a≠ 1)使得关于x的一元一次方程ax -3 =a2 2a x的解是整数 ,则该方程的所有整数根的和是.( 2 0 0 4年第一届中学生智能通讯赛 )分析　把原方程整理为 :(a -1)x=a2 2a 3因为a≠ 1,所以a-1≠ 0 ,…