分式通分有技巧

题目原型：（2009年浙江舟山）如图1,AB／／CD,∠BAC的平分线和∠ACD的平分线交于点E,则∠AEC的度数是——．     

第29届中国数学奥林匹克（2013）

第一天 1．如图1,在锐角△ABC中,已知AB〉AC,∠BAC的角平分线与边BC交于点D,点E、F分别在边AB、AC上,使得B、C、F、E四点共圆．证明：△DEF的外心与△ABC的内心重合的充分必要条件是BE＋CF=BC．     

一道几何题的演变

本文对一道既含有线段中点又含有角平分线的典型几何题进行分裂演变,得出了一些有趣的、新异的几何题. 原题 如图1,在△ABC中,AB=AC,D为AC的中点,ADB的平分线交AB于点E,△ADE的外接圆交BD于点N求证:BN=2AE. 一、分裂中点 首先考虑把中点D分裂为线段AC的内等截点D1、D2.如图2,对应原题中的角平分线DE有D1E1,D2E2,对应于原题中的BN与AE的BN1,BN2及AE1,AE2之间有什么结论呢?     

“所有三角形都是等腰的”

命题所有三角形都是等腰的. 显然,这是一个荒谬的命题.但有人“证明”它是成立的. 证明在△ABC中,如果AB=AC,则命题得证.如果AB≠ AC,作△ABc的∠A的平分线与BC边的垂直平分线交于E点(∵AB≠AC,∴DE与AE不平行).自E点作EF⊥AC于F点,EG⊥AB于G点.连结EC和EB.     

数学奥林匹克问题

本期问题 初299如图1,已知△ABC的内角平分线AD与BC交于点D,点E在AB上,且AE=AC,点,在AC的延长线上,且AF=AB,过点E、F分别垂直于AB、AC的直线与过点D垂直于AD的直线分别交于点P、Q,PG⊥BC于点G,QH⊥BC于点H.求证：BG=CH．     

从课本到中考到竞赛

1．课本题 如图1,△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,过O作DE//BC,分别交AB、AC于点D、E．求证：DE=BD＋CE．     

“两圆一线确定等腰三角形”的研究

<正>“两圆一线确定等腰三角形”是指如果平面中有两个点A,B,分别以这两个点为圆心,以AB长为半径作圆,然后作线段AB的垂直平分线,此时在两个圆和垂直平分线上的点与A,B两点组成的图形是等腰三角形,如图1,同学们在解题时可以利用此思路．例1已知在矩形ABCD中,AB=4,BC=7,点E是AD上的一点,且AE=3,连接BE,点F是矩形边上的一点,如果△BEF是等腰三角形,求腰长．     

八年级数学单元测试题（课标人教版）

!BACED图6一、填空题(1￣3每题2分,4￣11每题3分,共计30分)1.如图1,线段AB和线段A′B′关于直线MN对称,则AA′⊥"""",BB′⊥"""",OA="""",AB=""!!.2.如图2,是轴对称图形,则相等的线段是!!!!,相等的角是!!!!.3.在△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线交BC于D,若∠CAD=10°,则∠B的度数是!!!!.4.在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AC于点F,垂足为E,△BFC的周长为20cm,AB=12cm,则BC的长为!!!!.5.如图3,已知∠BAC=130°,若MP和NQ分别垂直平分AB和AC,那么∠PAQ的度数是!!!!.6.点P是∠AOB内一点,点P关于OA、OB的对称点分…     

构造线段垂直平分线证题

同学们知道 :垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。线段垂直平分线定理及其逆定理分别是 :线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。到一条线段两个端点的距离相等的点 ,在这条线段的垂直平分线上。求解某些几何证明题时 ,从构造线段垂直平分线入手 ,可简化证明的思维过程 ,捷足先登。例 1　如图 1 ,∠ 1 =∠ 2 ,BC =BD ,求证 :AC =AD证明 :连结CD的交直线AB于E∵BC =BD ,∠ 1 =∠ 2∴BE是CD的垂直平分线∵点A在直线BE上∴AC =AD 例 2　如图 2 ,△ABC中 ,∠ACB =90° ,∠B =6 0° 求证 :AB =2BC …     

三道国内数学竞赛题的另解

题1 如图1,PA、PB为⊙O的切线,点C在劣弧AB上(异于点A、B),过点C作PC的垂线l,与∠AOC的平分线交于点D,与∠BOC的平分线交于点E.证明:CD=CE.[1] (2013,中国西部数学邀请赛)     

几道平面几何赛题的关联

题1如图1，在△ABC中，AB＞AC，AD为∠A的平分线，①点E在△ABC内部，且EC⊥AD交AB于F，②ED∥AC．③求证：射线AE平分边BC．④     

等腰三角形的性质与判定

[知识要点]1 等腰三角形的性质定理: 　　　　;推论:　　　　.2 等边三角形的性质: 　　　　;判定定理:(1) 　　　　　　,(2) 　　　　　　.3 线段的垂直平分线定理: 　　　　;其逆定理: 　　　　　　　　　.4 角平分线定理: 　　　　,其逆定理: 　　　　.5 等腰三角形为　　　　对称图形,其对称轴为　　　　.典型考题解析图1例 1　(2002 年江苏省镇江市)如图 1,△ABC 中, AB = AC.(1) 作AB的垂直平分线DE,交AB于点D,交AC于点 E,连结 BE(尺规作圆,不写作法,保留作图痕迹).(2) 在(1)的基础上,若AB =8,△BCE的周长为14,则BC的…     

与三角板有关的探究性问题

一副普通的三角板,可以演绎出丰富多彩的问题情境,由此衍生的探究性问题,值得我们研究和讨论.一、探究三角板滑动过程中的结论例1(2005年河北省中考题)如图1,2,四边形ABCD是正方形,M是AB延长线上一点.直角三角尺的一条直角边经过点D,且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A,B重合),另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F.(1)如图1,当点E在AB边的中点位置时:①通过测量DE,EF的长度,猜想DE与EF满足的数量关系是;②连接点E与AD边的中点N,猜想NE与BF满足的数量关系是;③请证明你的上述两猜想.(2)如图2,当点E在AB边上的任意位置…     

《角的平分线的性质》测试题

基础巩固一、填空题1.如图1,在△ABC中,∠C=90°,BC=40,∠BAC的平分线AD交BC于D,且DC∶DB=3∶5,则点D到AB的距离是.中学生数理化·八年级数学2.如图2,D是△ABC的内角平分线的延长线和外角平分线的交点,自点D作BC、AC和BA的垂线DE、DF和DG,垂足分别为E、F、G,则DE、DF、DG的关系     

线段垂直平分线性质定理及其逆定理的应用

定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．同数学语言表示：如图1,直线ｌ上AB于CAC＝BC）。PA。PB．点P在l上J逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上．用数学语言表示：如图1,PA二PBrt点P在AB的垂直平分线上．定理提供了判定两条线段相等的依据,逆定理提供了证明点在直线上的依据．它们在计算、证明、作图中都有重要的作用．一、在计算中的应用移ul如图2,等腰rtABC中,过腰AB的中点D作垂线（A、C在此垂线的两侧）交另一腰AC于E,连结BE．如果AD＋AC＝24cm,BD＋BC二20cm,求…     

八年级数学第12、13章检测题（配合人教新版）

一、选择题： 1.如图1,△ABC中,∠B和∠C的平分线交于O点,BD=DO,延长DO交AC于E.若AB=8,AC=6,则△ADE的周长是（ ）.     

对一道习题解法的再思考

<正>一、问题呈现题目如图1所示,在△ABC中,AB=6,AC=3,∠BAC=120°,∠BAC的平分线交BC于点D,求AD的长.二、解法新探及思考解法1如图1,过点D作DE∥AB交AC于点E,则∠EDA=∠BAD.∵AD平分∠BAC,∠BAC=120°,∴∠EAD=∠BAD=∠EDA=60°,故△ADE是正三角形,DE=EA=AD.由DE∥AB,     

两道竞赛题想到的定理

1989年全国高中数学联赛(第二试)中的第一题: 已知在△ABC中,AB>AC、∠A的一个外角平分线交△ABC的外接圆于点E,过E作EF⊥AB,垂足为F。求证:2AF=AB-AC(见图1) (IMO-28-2): 已知锐角三角形ABC的顶角A的平分线交BC于L,     

三角形内一点到三边距离的一个关系式

题目如图1,BM、CN是△ABC的角平分线,点P在AABC内,由P向BC、AC、AB作垂线,D、E、F分别为垂足．则点P在线段MN上的充分必要条件是PD=PE＋肌     

线段垂直平分线性质在解题中的应用

线段的垂直平分线(中垂线)的性质定理及其逆定理在解题中有着广泛的应用,现举例说明,供同学们参考.一、用于求线段长例1如图1,在△ABC中,AB=AC,AC的垂直平分线分别交AB、AC于D、E.若AB=14,△BCD的周长为22,求BC的长.分析:由DE是AC的垂直平分线,得DA=DC.则BD+DC=BD+DA=AB=14.又BC+BD+DC=22,故BC=22-(BD+DC)=22-14=8.(具体证明过程请读者自行完成,下同)二、用于求角的度数例2如图2,AB⊥CD于B,AD的垂直平分线CF分别交AB、AD于E、F,EB=EF,求∠A的度数.分析:由CF是AD的垂直平分线想到连结DE,则AE=DE,故∠A=∠1…