一道题目抄错后的探究

一道非常容易的几何题 ,由于学生抄题画图时 ,把原图 (图 1 )的字母次序抄错 ,画成如图 2 ,导至师生共同探讨一个新题。现就此新题如何寻求用初中数学知识求解及新题的推广题的一般解法作些探讨。图 1　　　　　　图 2原题 :　如图 1 ,已知梯形ＡＢＣＤ中 ,ＡＢ =1 3 ,ＣＤ =2 0 ,ＡＤ +ＢＣ =2 5 ,高为 1 2。求ＡＤ、ＢＣ的长。新题 :　如图 2 ,已知梯形ＡＢＣＤ中 ,ＡＢ =1 3 ,ＣＤ=2 0 ,ＡＤ +ＢＣ =2 5 ,高ｈ =1 2 ,求ＡＤ、ＢＣ的长。1　转化为初等代数问题求解如图 2 ,过Ｂ作ＢＥ∥ＡＤ ,交ＣＤ于Ｅ。考虑△ＢＣＥ ,可知一边ＥＣ =Ｃ…     

破常规巧补全灵活运用构造法

构造法是初中几何中常用的解题技巧 ,它对于拓展同学们的视野 ,培养同学们的创新能力有很重要的作用。1　构造直角三角形例 1　四边形ＡＢＣＤ中 ,∠ＡＢＣ与∠ＢＣＤ互余 ,设ＡＤ =ａ ,ＢＣ =ｂ ,求ＡＣ2 ＢＤ2 。[分析 ]　由结论中求线段平方和的特点 ,再结合∠ＡＢＣ与∠ＢＣＤ互余的条件 ,分别延长ＢＡ与ＣＤ交于Ｏ点 ,得∠Ｏ =90°则在Ｒｔ△ＢＯＤ和Ｒｔ△ＡＯＣ中 ,ＢＤ2 =ＯＢ2 ＯＤ2 ,ＡＣ2 =ＯＡ2 ＯＣ2 ,有ＢＤ2 ＡＣ2 =ＯＢ2 ＯＤ2 ＯＡ2 ＯＣ2 =(ＯＢ2 ＯＣ2 ) (ＯＡ2 ＯＤ2 ) =ＡＤ2 ＢＣ2 =ａ2 ｂ2 。注 :此题补…     

构造等腰三角形解题

等腰三角形是特殊的三角形 ,在解 (证 )题时 ,若能根据已知和图形特点 ,巧妙地构造等腰三角形 ,利用等腰三角形的性质来解决问题 ,将会取得事半功倍的效果 .　　一、由“线段的和差”构造等腰三角形例 1　如图 1 ,在△ＡＢＣ中 ,ＡＤ平分∠ＢＡＣ ,ＡＢ +ＢＤ =ＡＣ .求∠Ｂ∶∠Ｃ的值 .　解　延长ＡＢ至Ｅ ,使ＢＥ =ＢＤ ,连结ＤＥ ,则△ＢＥＤ是等腰三角形 .∴　ＡＣ =ＡＢ +ＢＤ =ＡＢ +ＢＥ =ＡＥ .∴　△ＡＤＥ≌△ＡＤＣ .∴　∠Ｅ =∠Ｃ .∵　∠ＡＢＣ =2∠Ｅ ,∴　∠ＡＢＣ =2∠Ｃ ,即∠ＡＢＣ∶∠Ｃ =2∶1 .图 1图 2　　二、由“二…     

求直线对称点的一种新方法

在平面解析几何中 ,关于平行直线有如下结论 :设有两条平行直线ｌ1:Ａｘ Ｂｙ Ｃ1=0和ｌ2 :Ａｘ Ｂｙ Ｃ2 =0 ,则到这两条直线距离相等的直线方程为Ａｘ Ｂｙ Ｃ1 Ｃ22 =0 .证明　设Ｐ(ｘ ,ｙ)是所求直线上任一点 ,由题设以及点到直线的距离公式 ,有｜Ａｘ Ｂｙ Ｃ1｜Ａ2 Ｂ2 =｜Ａｘ Ｂｙ Ｃ2 ｜Ａ2 Ｂ2 .　　因为ｌ1与ｌ2 在点Ｐ的两侧 ,所以有Ａｘ Ｂｙ Ｃ1=- (Ａｘ Ｂｙ Ｃ2 ) ,即　Ａｘ Ｂｙ Ｃ1 Ｃ22 =0为所求的直线方程 .运用该结论可以得到一种求直线对称点的新方法 .例　已知Ａ(- 2 ,4 ) ,求它关于直线ｌ:2ｘ- ｙ -1=0的对…     

一道自编题组的教学尝试

在一次复习辅导课上 ,笔者编制了一道平面几何题用于课堂教学的教改尝试 .此时构思是以某已知条件为背景 ,把凡涉及与已知条件相关的多题结论有机的结合在一起 ,使题目展现出一题多解 ,一图多用 ,一题多变 ,步步深入的解题新格局 .例　如图 1 ,Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,∠Ｂ =90°,点Ｏ在ＡＢ上 ,以Ｏ为圆心 ,ＯＢ为半径的圆与ＡＣ相切于点Ｄ ,交ＡＢ于Ｅ .1 .求证 :ＤＥ∥ＯＣ .2 .求证 :ＣＢＢＯ=ＡＤＡＥ.3.若ＡＥ =1 ,ｃｏｓＡ =45 ,求⊙Ｏ的面积 .4.若ＡＤ =2 ,ＡＥ =1 ,(1 )求⊙Ｏ的直径、ＣＢ长及ｓｉｎ ∠ＡＣＢ2 的值 ;(2 )求证 :Ｓ△ＡＣ…     

遇到斜三角形怎么办

学习了锐角三角函数的知识后 ,同学们都知道 ,应用锐角三角函数的知识可以解直角三角形 .那么遇到斜三角形怎么办 ?例如 ,1 998年广西的中考就命了这样一道关于斜三角形的计算题 :例 1　已知 :如图 1 ,△ＡＢＣ中 ,∠Ｂ =30°,∠Ｃ =45°,ＡＢ -ＡＣ =2 -2 ,求ＢＣ .怎样求解这类问题 ?求解这类问题的基本思想方法是什么 ?解决这类问题的基本思想方法是 :通过作斜三角形某边上的高 ,把斜三角形分解为两个直角三角形 ,从而把斜三角形问题转化为直角三角形问题 ,然后用锐角三角函数和直角三角形的有关性质求解 .上述问题的解法是 :作ＡＤ⊥Ｂ…     

高考中"活"题诌议

出“活”题 ,考能力 ,是近十余年来数学高考命题改革的思路和措施。死记硬背书本知识 ,不是当代教育的能力观 ,能将书本知识融汇贯通、综合应用 ,才符合素质教育的新要求。着眼于考查能力素质的高考 ,试题当然要出“活”。笔者摘题诌议 ,以求启迪。1　课本是创造“活”题的基础和源泉例 1　如图 ,已知平行六面体ＡＢＣＤ -Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1的底面ＡＢＣＤ是菱形 ,且∠Ｃ1ＣＢ =∠Ｃ1ＣＤ =∠ＢＣＤ=60°。(Ⅰ )证明 :Ｃ1Ｃ⊥ＢＤ ;(Ⅱ )假定ＣＤ =2 ,ＣＣ1=3 / 2 ,记面Ｃ1ＢＤ为α ,面ＣＢＤ为 β,求二面角α -ＢＤ-β的平面角的余弦值 ;(Ⅲ )当…     

应用勾股定理解题防漏解

应用勾股定理解题时 ,若忽视图形的位置 ,易造成漏解 .例 1　已知直角三角形两边的长为 6和8,试求第三边的长 .误解　设第三边长为ｘ,由勾股定理 ,得ｘ =62 +82 =1 0 .剖析　上述解法是不正确的 .原因在于误认为第三边是斜边 .事实上 ,已知条件中并没有指明已知的两边是直角边 ,因此长度为 8的边可能是直角边 ,也可能是斜边 .若 8为斜边 ,则第三边的长ｘ =82 -62 =2 7.故第三边的长为 1 0或 2 7.例 2　已知 :在△ＡＢＣ中 ,ＡＢ =2 4,ＡＣ =2 0 ,∠Ｂ =3 0°.求ＢＣ边的长 .误解　如图 1 ,作ＡＤ⊥ＢＣ于Ｄ ,∵　∠Ｂ =3 0°,∴　ＡＤ =12 …     

直角三角形斜边上的高的几种求法

在初中几何的解答题或证明题中 ,有时会涉及到求直角三角形斜边上的高的问题 ,所以在此把求直角三角形斜边上的高作为专题讨论 ,供同学们参考。题目 :在直角三角形ＡＢＣ中 ,∠Ｃ =90° ,ＡＣ =ｂ ,ＢＣ =ａ ,求斜边ＡＢ上的高ｈ。解法一 (等积法 ) :因为三角形ＡＢＣ的面积等于是 12 ａｂ ,另一方面三角形ＡＢＣ的面积又等于斜边ＡＢ与高ｈ的积的一半。∵ＡＢ =ａ2 +ｂ2 (后面的方法也要用此结论 )∴ 12 ａｂ =12 ｈ ａ2 +ｂ2ｈ =ａｂａ2 +ｂ2解法二 (三角函数法 ) :在直角三角形ＡＢＣ和直角三角形ＡＣＤ中 ,因为角Ａ为公共角 ,所以 ,ｓｉ…     

数学解题思维表现的层次性及其意义

从一个例子谈起　已知△ＡＢＣ的三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ满足 :Ａ Ｃ =2Ｂ ,ｓｅｃＡ ｓｅｃＣ =- 2ｓｅｃＢ ,求ｃｏｓ Ａ -Ｃ2 的值 .解　由Ａ Ｃ =2Ｂ ,得Ａ Ｃ =12 0° ,Ｂ =6 0° .∵　ｓｅｃＡ ｓｅｃＣ =- 2ｓｅｃＢ ,∴　ｃｏｓＡ ｃｏｓＣ =- 2 2ｃｏｓＡｃｏｓＣ ,2ｃｏｓ Ａ Ｃ2 ｃｏｓ Ａ -Ｃ2=- 2〔2ｃｏｓ2 Ａ -Ｃ2 - 1 ｃｏｓ(Ａ Ｃ)〕 ,即　 4 2ｃｏｓ2 Ａ -Ｃ2 2ｃｏｓ Ａ -Ｃ2 - 32 =0 .因 - 324 <- 1,故解得ｃｏｓ Ａ -Ｃ2 =22 .1　关于解题思维表现的分析上例中 ,条件是三角形三内角的一个关系式和有关这些角的一…