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叶秀儿 《教学月刊(中学下旬版)》2008,(15)
题目 如图1,巳知三角形的面积S△ABC=1,在图1(1)中,若AA1AB=BB1/BC=CC1/CA=1/2,S△A1B1C1=1/4;在图1(2)中,AA2/AB=BB2/BC=CC2/CA=1/3,则S△A2B2C2=1/3;在图1(3)中,若AA3/AB=BB3/BC=CC3/CA=1/4,则S△A3B3C3=7/16.按此规律,若AA8/AB=BB8/BC=CC8/CA=1/9,则S△AnBnCn=_.(2006年山东省实验区中考数学试题) 相似文献
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2011日本数学奥林匹克有如下一道题:
设H是锐角△ABC的垂心,M是边BC的中点,过点H作AM的垂线,垂足为P.证明:AM·PM=BM2.
证法1 如图1,设BH与AC交于点X,AH的中点为N.
因为∠AXH=∠APH=90°,所以,点P、X在以AH为直径的圆上(若AB=AC,则P、H重合,X也在以AH为直径的圆上).于是,∠AXN=∠XAN. 相似文献
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定理1设△ABC内接于⊙O,H是△ABC内(或外)的点,则H为△ABC垂心的充要条件是■.证明必要性.图1以BC边所在直线为x轴,BC边上的高AO′为y轴,建立如图1所示坐标系.设A(0,y3),B(x1,0),C(x2,0),H(0,y).由BH⊥CA,BH=(-x1,y),CA=(-x2,y3),得x1x2 yy3=0,y=-x1x2y3,则H(0,-x1x2y3).设外心 相似文献
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《数学教学》1993,(6)
311.当a=498,b=1993,c=1992时,求如下方程的实数根:a(ax~2 bx c)~2 b(ax~2 bx c) c=x。解:设ax~2 bx c=t,则方程可改写成等价的方程组: 即当a=498,b=1993,c=1992时,上面的方程组变成即∴(x 2)~2=-(t 2)~2。当且仅当x=t=-2时上式成立,它也是方程组的唯一解。∴已知方程有唯一解。x=-2。 312.H是锐角△ABC的垂心,分别作日点关于边BC、CA、AB的对称点H_1、H_2、H_3。若P为△ABC外接圆上任意一点,连接PH_1、PH_2、PH_3分别与边BC、CA、AB或其延长线 相似文献
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一、填空题 1、如果7:9=(3-x):2x,则x=___. 2、己知点D、E、F分别在△ABC的边AB、AC和BC上,且DE∥BC,EF∥AB,AD:BD=2:3,BC=20cm,则BF=__. 3、如图,△ABC中,DE∥AC,则AB:BD=__. 4、Rt△ABC 中,CD是斜边上的高, AC/BC=2/3,则AD/DB=__. 相似文献
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A‘2 (B一c)‘一D=0称为数列{x·飞的特征方程,根为a,口,△=(B一C)“ 4AD为判别式。据〔1〕、〔2〕列出{x。}为无穷数列的条件: J一。,、B、,~C 1.AD=BC,x,斗一若,通项x。=气 ‘.--一一‘”‘’A,~一八‘’“AB一A 一 午 a 一一 X.(n)2)。 11 .AD年BC夕△=O,通项x。=a(或内(n夕 相似文献
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《中学数学教学参考》2007,(Z1)
文[1]给出:若△DEF 是锐角△ABC 的垂足三角形,且记 BC=a,CA=b,AB=c,△ABC 的面积、外接圆半径分别为△和 R,△DEF 旁切圆半径依次为 r_D,r_E,r_F,则有(r_D)/(cot A)=(r_E)/(cot B)=(r_F)/(cot C)=△/R.(*)定理设△DEF 为锐角△ABC 的垂足三角形,记号同 相似文献
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定理 △ABC为锐角三角形的充要条件是:在边BC,CA,AB上分别存在点A_1,B_1,C_1,使得AA_1=BB_1=CC_1。 证明 必要性。如图1,设△ABC的∠B≥90°,不妨设AB≥BC,则对边BC上任一点K,有AK>AB。在AC上任取一点L,则 相似文献
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汤满坤 《新课程学习(社会综合)》2010,(11)
一、教师要善于设计开放性的问题
1.开放性的设计可以捕捉随时出现的教学偶然
教学实例:这是一节综合复习课.
教师出示题目:
D为△ABC的边BC上一点,AD=AC=2,AB=4,BD=4CD,求BC的长.学生思考后,教师请学生解答:学生1:过A作AH⊥BC于H,设DH为X,由题意得BD=8X,BH=9X,由AB2-AD2=BH2-DH2可求出X,进而可求出BC的长. 相似文献
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本文将给出一个类似于正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R的余弦形式。然后举例说明它的应用。 [定理] 设△ABC的外接圆半径为R,垂心为H,则AH=2R|cosA|,BH=2R|cosB|,CH=2R|cosC|。证:设BC=a,AC=b,AB=c,取如图所示的坐标系,则A(0,0)、B(c,0)、C(bcosA,bsinA)。∵ K_(AC)=tgA,而BH⊥AC,故K_(BH)=-ctgA。∴直线BH的方程为y=-ctgA(x-c),于是CH=|yC-yH|=|bsinA bcosA·ctgA-cctgA| 相似文献
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《中等数学》1989,(3)
第(4月21日7:30一12:00)边长为辱, 乙训了 2侧丁的三角形纸片1,I Jl重沿垂直于长度为普的边的方向折,.部分面积的最大值是多少? 厂、已知vo=0,尹,=1,u:十:‘8刀1一口。干,n二1,石·… 求证:在数列咬v。}中没有形如3“·53 (a,夕为正整数)的项. 三、求最大整数n,使方程 (z 1)”=之n 1的所有非零解都在单位圆上。 四、已知△ABc,在边AB、BC和cA上分别向三角形外作正方形ABEF,Bc‘H不llCA 11. 设AH自Bl二p:,Bl门CF=口、, CF口AH=R:,AG!一}C五=尸2. 召1门AG=Q:,CE{一{Bl二R 2. 求证:△p,口,R:竺△pZQ:R2. 第二天 六、已知AD是… 相似文献
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文[1]给出如下一个定理: 定理若△DEF是锐角△ABC的垂足三角形,且BC=a,CA=b,AB=c,△AEF、△BDF、△CDE的内切圆分别是⊙I1、⊙I2、⊙I3,其半径分别是r1、r2、r3,则有a/r1 b/r2 c/r3≥12√3. 相似文献
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、坡空题:则CooA:cosB 8.如图,矩形A刀HE与④O相交,AB二3,BC二8,:eosC= 1。自变量二2。函数夕二一工一,尹了仁无中,叫淋J 19(x一1)’v‘*.,的取值范围是-··一若x<一3,化简:】1一}x刁一2日 3。若302一sa一1二0,332一5日一1二O。且a>日,则a一日二_.__一_。 4。已知:195=0.6990,则102·息。’。二-.·‘一 5.己知:192=0.3010,lgx=2.3980则x=一一一。 6。a、b、c的平均数为“,方差为夕,则样本x a、x b、x :的平均数为____,方差为__。 7。在△ABC中,若。inA:。inB:sinC=2:3:4,EF二2,则FG=______。 9。如图AB、沪口,、AC为00的切线,… 相似文献
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关于垂足三角形旁切圆半径之间有下面一个恒等式: 定理 若△ DEF 是锐角△ ABC 的垂足三角形,且 BC = a,CA = b,AB = c , p = (a b c) /2, △ ABC 的面积、外接圆半径、内切圆半径分别为? 、R 、r ,△ DEF 的旁切圆半径依次为rd 、re 、rf ,则有 rd = re = 相似文献
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1问题的提出问题1526:△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c.D、E、F分别是AB、AC、BC上的点.若△DEF为等腰直角三角形,且∠EDF=90°,求△DEF面积的最小值.《数学通报》2005年第1期给出了该问题的解答,本文对该问题进行推广,得到以下定理△ABC中,∠C=θ,BC=a,AC=b,AB=c.D是线段AB上的点,E、F分别是直线AC、BC上的点.若△DEF满足条件:DE∶DF=k(k为正常数),∠EDF=180°-θ,则△DEF面积的最小值是k8abcR(a kb)2sinθ(其中R是△ABC外接圆的半径).(1)当△ABC为锐角三角形时,如图,设∠FDB=α,则∠DFB=180°-(α B).由于… 相似文献
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张金华 《河北理科教学研究》2007,(2):15-17
题目求证:G是△ABC的重心的充要条件是GA GB GC=0.证明:(1)必要性:如图1,D、E、F分别是BC、AC、AB的中点,G是△ABC的重心,所以GA=32DA=32(DC CA)=23(21BC CA),同理可得:GB=23(21CA AB),GC=23(21AB BC),所以GA GB GC=2312BC 12CA 21AB CA AB BC=23×23(CA AB BC)=0→.(2)充分性: 相似文献