用广义拉丁方构造幻方

对于任意的不小于3的整数n,总存在n阶幻方〔1〕。本文要将讨论幻方的构造形式,并给出用广义拉丁方构造幻方的方法,下面先引入几个定义。拉丁方:设S是n元素集,A是S上的n×n方阵。若A的每行和每列都是S中n个元的排列,则称A为S上的拉丁方。正交拉丁方:设A_1={aij}是n元集s_1上的拉丁方,A:={bij)是n元集S:上的拉丁方。若2元有序对(aij,bij)(i,j=1,2,…,n)互不相同,则称拉丁方A_1与     

浅谈排列与组合在集合中的应用

集合与简易逻辑是高中数学的基础内容,且与其他内容有着密切的联系．在这里谈谈排列与组合在集合中的应用．以便学生更好地理解几个熟悉的经典结论．1．集合M={α1,α2,…,αn}的子集个数是2^n（其中n是集合M的元素的个数）个,它的真子集个数是2^n-1。2．集合M={α1,α2,…,αn}的所有子集的元素和是（∑i=1^n）2^n-1（其中n是集合M的元素的个数）。3．设集合M={α1,α2,…,αn},集合N={b1,b2,…,bn},则从集合M到集合N能构成n^m个映射．     

重复组合浅论

从m个不同的元素中,每次取出n个元素,(每个元素都可以重复取出)不管怎样的顺序并成一组,叫做n元重复组合。这里n可以大于m。 n元重复组合的总个数用H_m~n来表示,并且我们有下式成立 H_m~n=C_(m n-1)~n (1) 例如从a、b、c三个不同的字母,能构成多少个不同的2次单项式?(其中每个字母都可以重复使用)这样的2次单项式,都是2元重复组合,共计有 H_3~2=C_4~2=6(个)把它们都写出来就是: a~2、ab、ac、b~2、bc、c~2。本文拟对(1)式给出几种证法,以便相互比较,开阔思路。证明1,我们不妨仅就从3个不同的元素a_1,a_2,a_3中,每次取出5个元素,能组成多少个5元重复组合,     

不定方程x_1+x_2+…+x_n=1的非负整数解

[定理1] n元一次不定方程x_1+x_2+…+x_n=r的非负整数解共有C_((n+1)_(-1))~(n-1)个(r∈N)。证:考虑由r个1与n-1个0作成的一个排列。令x_1等于排列中第一个0左边1的个数,x_2等于第一个0与第二个0之间1的个数,…,x_n等于最后一个0右边1的个数。例如n=4,r=8,则排列11011110011对应解     

非常规排列组合应用题

内容概述 1.重复排列:从n个不同元素中有序且可重复地选取k个元素(k≥1),称为n个不同元素的一个k-可重排列.n个不同元素的k-可重排列数为nk. 2.重复组合:从n个不同元素中无序且可重复地选取k个元素(k≥1).称为n个不同元素的一个k-可组合.n个不同元素的k-可重组合数为Ckn+k-1(证明见例3).     

不尽相异元素的全排列

n个元素,其中有若干个是同类的,如p个a,q个b,…r个d。(p+q+…+r=n):每次全取这些元素,按一定顺序排成一列,叫做不尽相异的n个元素的全排列。其个数为 (1) 例如,有6面彩旗:2面红的,3面兰的,1面黄的。按从上到下的顺序排成一列,挂在桅杆上。能表示的信号种数为现在准备先对公式(1)给出两种不同的证法。证明1:设所     

组合概念的方程模型

从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，这是组合的原始概念．联系排列的概念推导出组合数的公式，这是分析、解决组合问题的逻辑起点．然而，数学概念本身是发展的、联系的，它具有生动的各个侧面和层次．我们可以把组合的概念理解为这样一个模型：设集合A含有n个元素，求集合A的含有m个元素的子集的个数．也可以理解为另一个模型：方程模型，本由组合的原始概念推导出方程模型，进而把方程模型作为逻辑起点，解决一些应用问题，作为组合概念的丰富和发展．下面先给出一个方程模型．     

置换的分解及其应用

1.定义及基本性质定义1设A是一个有限集,则A的每一个元素一一变换称为n阶置换。如A=!1,2,3,…n",则!=1i1i22……nin!",则是A的一个n阶置换。其中i1,i2,…in为1,2,3,…n的一个排列。定义2设!是一个n阶置换,如果存在1到n中的r个不同的数i1,i2,…ir使得!(i1)=(i2)=i3,…!(ir-1)=ir     

正n边形内接三角形的个数

定义　平面上 ,以凸n边形Q的顶点作为顶点的凸r边形 (3 ≤r≤n)称为Q的内接r边形 .命题 1　正n边形有16n(n - 1 ) (n - 2 )个内接三角形 ,其中互不全等的内接三角形有 n2 +31 2 个 ,亦即〈n21 2 〉个 .([x]表示不大于x的最大整数 ,x∈R ;〈x〉表示最接近x的整数 ,x∈R ,x≠n +12 ,n∈Z)证明 :正n边形Q的内接三角形一一对应于Q的顶点集S的三元子集 ,由相等原理[1] 知Q的内接三角形个数M =C3n=16n(n - 1 ) (n - 2 ) .如图 1 ,设△ABC为Q的内接三角形 ,A、图 1B、C按逆时针方向排列 ,设其外接圆周长为n ,依逆时针方向的弧长AB =n1,BC …     

可重复的排列组合(高二、高三)

1.定义(1)可重复的排列①允许元素重复出现的排列,叫做有重复的排列. 在m个不同的元素里,取出n个元素(可重复),按照一定的顺序摆成一排,那么第一,第二,…,第n位上各选取元素的方法都是m个,故从m个不同的元素里取出n个元素的可重复的排列数为     

重复组合的问题及其解题功能

定义从n个不同的元素中，取，个允许重复的元素而不考虑其次序，被称为从n个不同元素中取r个允许重复的组合，简称为重复组合，允许重复的组合数常常记作Hn.     

集合题常规解法例析

集合题常规解法颇多,现例析如下: 一、公式法例1 (1992年全国高考题)设含有10个元素的集合的全部子集数为S,其中由3个元素组成的子集数为T,则T/S的值为——。解析:由含有n个元素的集合子集数公式得.S=210,又由组合数公式得T=C103,所以T/S=15/128.     

有限域上一些矩阵的计数

设Fq是一个含q个元素的有限域,计算了Fq上n阶幂等矩阵的个数,n阶对合矩阵的个数和秩为r且满足A3=A的n阶矩阵的个数.当Fq的特征数不为2时,Fq上的n阶辛对合矩阵的个数也被计算.     

复数集上"(m√z)n=m√zn(z≠0,z∈C)"成立的条件

我们知道:n√a(a≥0,a∈R)在实数集上是表示a的n次算术根,它是一个单元素集合,而n√z(z≠0,z∈C)在复数集上是表示一个具有n个元素的集合,即:n√z={n√r(cos 2kπ θ/n isin2kπ θ/n)|z≠0,θ=argz,r=|z|,k=0,1,…,n-1},由于在实数集与复数集上数的n次方根的概念截然不同,因此,实数集上的某些性质不能完全机械地搬到复数集上去.     

可重复组合总数

从 n种不同的元素中取 m个元素 ,共有多少个不同的结果 ,这是我们经常遇到的问题 .“排列与组合”专门讨论过这个问题 .本文限于篇幅 ,不结合具体实际例子 ,而只进行符号化的讨论 .1　n=4 ,m=3的情况先讨论 n=4 ,m=3的具体情况 ,即从A,B,C,D四种不同的字母中 ,取 3个字母 ,共有多少个不同的结果 .其实 ,这个问题的提法过于笼统 ,还应明确 :“管不管顺序”与“可不可重复”.因此对 n= 4 ,m=3,实际上有四种情况 :(1)管顺序 ,可重复 ;(2 )管顺序 ,不可重复 ;(3)不管顺序 ,不可重复 ;(4)不管顺序 ,可重复 .我们干脆将它们的结果全部排出来 ,为…     

组合合成阵的推广及应用

1、组合合成阵的推广及图论意义本文未解释的概念和术语可参见文[2]或[3]。方阵的组合合成由 R·A·Brudldi 和李乔引入[1]。设 A 是一个 n 阶(0,1)-矩阵,A 的项秩 P(A)是 A 中取自不同行和不同列的元素1的最大个数,对整数 r,1≤r≤n,Q_(r,n)表示取自{1,2,…,n}中长 r 的所有严格递增序列之集。对α=(i_1…,i_r,),β=(j_1,…,j_r)∈Q_(r,n),A[α/β]表示 A 的 r 阶子阵,它的行由α的项标记,列由β的项标记。A 的 r 级组合合成 C_r(A)是一个阶(0,1)-矩阵,它的行和列由 O_(r,n)的元     

两个组合公式及其应用

我们知道,有这样两个组合公式: C_n~m=C_(n-1)~m+C_(n-1)~(m-1); C_r~r=C_(r+1)~r+C_(r+2)~r+…+C_(r+n+1)~r =C_(r+n)~(r+1)现在,我们来考虑组成这两个公式的各个组合数的倒数是否也能组成相应的公式?下面我们分别来讨这两个问题。定理1 设m,n为自然数,且m≥2,m≤n,则     

排列、组合题的解题策略

从近几年的高考试题来看,排列、组合的应用问题是命题的热点内容,独立成题时多为选择、填空题,而更多的是与概率、分布列的有关知识融合,题型多为解答题,难度中等.因此,学好排列、组合显得尤为重要.我们知道,排列的定义是:从n个不同元素中取出m(m≤     

用平均个数法解决Goldbach

用平均个数法证明了每一个不小于6的偶数都肯定是二个奇素数之和.平均个数法是在1+1奇数三角中,推导出其第n行元素中(1+1)的平均个数为-r2(2n)=[π(2n)×π(2n)/2n],用素数定理证明平均个数1<-r2(2n)→∞;因为平均个数小于实际个数,-r2(2n)相似文献   

2009中国数学奥林匹克第6题的解法追源

题目给定整数n（n≥3）．证明：存在n个互不相同的正整数组成的集合S,使得对S的任意两个不同的非空子集A、B,数∑x∈A x/｜A｜与∑x∈B x/｜B｜是互质的合数．这里,∑x∈A x与｜A｜分别表示有限数集A中所有元素之和与元素个数．