聚焦2008年高考数学“交汇”试题的四大命题角度

“以能力立意”是新高考数学命题的指导思想.随着学习的深入,知识积累的增多,数学各部分知识在各自发展中的纵向联系以及部分知识之间的横向联系日益密切,不失时机地构筑知识网络,并在各个阶段逐步扩充与完善.因此,高考在考查数学基础知识的同时,注重数学学科的内在联系和知识的综合性,从而在知识网络的“交汇点”处设计试题,这些试题运用知识之间的交叉、渗透和组合,是基础性与综合性的最佳表现形式.这在近两年高考中表现的尤为突出.笔者预测2008年高考数学中将可能从如下五种角度命制“交汇”性试题,供同学们复习时参考.命题角度1以函数作平台,以导数为工具,考查方程、数列、不等式等知识【例1】已知f(x)=|x2-1|+x2+kx.(Ⅰ)若k=2,求方程f(x)=0的解;(Ⅱ)若关于x的方程f(x)=0在(0,2)上有两个解x1,x2,求k的取值范围,并证明x11+x12<4.解析(Ⅰ)当k=2时,f(x)=|x2-1|+x2+2x.①当x2-1≥0时,即x≥1或x≤-1时,方程化为2x2+2x-1=0,解得x=-12±3,由于0<-12+3<1,故舍去,所以x=-12-3.②当x2-1<0时,即-1     

求圆的切线方程的几种方法的比较

基本问题 :已知圆的方程为 x2 + y2 =r2 ,求过圆上一点 P0 (x0 ,y0 )的圆的切线方程。解法 1:若 y0 ≠ 0 ,则所求切线斜率存在 ,设所求方程为 y- y0 =k(x- x0 ) ,代入 x2 + y2 =r2 得 :(1+ k2 ) x2 + (2 ky0 - 2 k2 x0 ) x+ y0 2 + k2 x0 2 -2 kx0 y0 - r2 =0 ,由判别式△ =0得 :(r2 - x0 2 ) k2 + 2 x0 y0 k+ r2 -y0 2 =0。又 x0 2 + y0 2 =r2 ,∴ y0 2 k0 2 + 2 x0 y0 k+ x0 2 =0。即 (y0 k+ x0 ) 2 =0 ,解得 k=- x0 / y0 。故所求切线方程为 y- y0 =- x0 / y0 (x- x0 ) ,即 x0 x+ y0 y=x0 2 + y0 2 亦即 x0 x+ y0 y=r2 。 1当 y0 =0时 ,…     

用韦达定理求一元二次方程参数需检验

我们经常看到这样的情况:很多同学在用韦达定理求一元二次方程中参数的值或取值范围时,经常因忘记检验而失分.尽管老师一再强调,还是有同学没有检验.为什么会出现这样的现象呢?主要原因是没有理解为什么要检验,本文对此作简单的分析说明.先看一例:例设x1、x2是关于x的方程x2-(k+2)x+2k+1=0的两个实数根,且x21+x22=11,求k的值.解由题意得,x1+x2=k+2,x1x2=2k+1.∵x21+x22=(x1+x2)2-2x1x2=11,∴k2+2=11①解得:k=±3.检验:当k=3时,原方程的判别式Δ=k2-4k=-3<0,不合题意,舍去;k=-3时,原方程中有Δ=k2-4k=21>0.∴k=-3.可见,这类题目需要检验.那么…     

关于实根分布问题的一个定理及应用

定理设一元二次方程x2 px q=0有两个不等的实根x1、x2,且x10, 从而(x1-k)(x2-k)<0. 即k2 pk q<0. 此定理的逆定理也成立(证明略). 由定理的逆定理可知,对于一个常数k,如果满足k2 pk q<0,则不仅说明了一元二次方程x2     

关于分式方程“解”的讨论

众所周知 ,解分式方程最常用的方法是去分母法 ,这样 ,未知数的允许值范围可能扩大 ,解出的未知数的值必须检验 ,以防增根出现 .因此在探讨分式方程的解时 ,应十分注意增根 .下面举例说明 :一、分式方程“有解”情形例 1　 k为何值时 ,分式方程 kx2 + 5x + 4-2x + 4+ 1x + 1=0有负根 .解 :去分母得 :k - 2 ( x + 1) + ( x + 4) =0解得 x =k + 2 .由题意知 :x =k + 2 <0且 x =k + 2≠ - 1且 x =k + 2≠ - 4,故当 k <- 2且 k≠- 3且 k≠ - 6时 ,原方程有负根 .例 2　 k为何值时 ,分式方程 k( k + 2 )2 x - k( k - 1)2 ( x - 1)= 1有两实根 .解…     

学习一元二次方程六注意

一、注意考察未知数的系数例 1　已知关于 x的方程 ( k- 2 ) x2 - 2 ( k- 1) x k 1=0 ,且 k≤ 3。求证 :此方程总有实数根。分析 :已知条件中未知数最高项系数是个含字母的代数式 ,这就意味着该方程不一定是一元二次方程 ,解题时必须就 k的不同取值加以讨论。证明 :当 k- 2 =0时 ,即 k=2时 ,原方程为一元一次方程 :- 2 x 3=0。∴方程有实数根 x=32 。 1当 k- 2≠ 0 ,即 k≠ 2时 ,原方程为一元二次方程。△ =〔- 2 ( k- 1)〕2 - 4 ( k- 2 ) ( k 1)=4 k2 - 8k 4- 4 k2 4k 8=12 - 4 k=4 ( 3- k) ,∵ k≤ 3,∴ 3- k≥ 0 ,即△≥ 0 ,∴方程有两…     

警惕一元二次方程中的"陷阱"

一元二次方程知识是中考重点考查内容之一,而命题者也常常利用同学们容易混淆的概念或容易忽视的知识点精心设计“陷阱”.现归类剖析几例,望同学们引以为鉴.一、利用一元二次方程的概念设计“陷阱”例1关于x的方程k2x2+(2k+1)x+1=0有两个不相等的实根,求k的取值范围.错解:∵原方程有两个不相等的实根,∴△=(2k+1)2-4k2>0.解得k>-14.∴k的取值范围是:k>-14.剖析:方程k2x2+(2k+1)x+1=0有两个不相等的实根的条件是:(1)二次项系数k2≠0;(2)△>0.解题者只注意了(2),而忽视了(1),即忽视了二次项系数不为零的情况,故正确答案是:k>-14且k≠0.二、利…     

一类最值问题的概率视角

概率是新课程中的热点内容,在概率教学中,适当说明构造概率模型在解题中的运用,体现概率与其它数学内容之间的紧密联系,对增强学生的学习兴趣,加深学生对概率知识的理解,都是很有裨益的.最值问题是中学数学常见问题,文[1]利用向量简捷巧妙的解决了一类最值问题,本文将另辟蹊径,利用一个概率定理求此类最值,以此展示解决此类问题的概率视角,希望对读者有所启发.定理设离散型随机变量ξ的分布列为P(ξ=xk)=Pk,k=1,2,…,n,则Eξ2≥(Eξ)2,当且仅当x1=x2=…=xk=Eξ时等式成立.证明Eξ2-(Eξ)2=∑k=n1x2k·Pk-(Eξ)2=∑k=n1(xk-Eξ)2·Pk≥0…     

“反比例函数”复习指导

知识要点： 1.一般地,形如y=k/x（k为常数,k≠0）的函数,叫做反比例函数. 2．反比例函数的图象是双曲线．     

有关一元二次方程的九个问题

一、辨别一元二次方程例 1　方程x4+ax3-x2 +a2 -1 =0是否是一元二次方程 ?如果是 ,指出各项系数 ;如果不是说明理由 .解　当x为常数时 ,此方程是关于a的一元二次方程 ,化为一般形式是a2 +x3a+x4-x2 -1 =0 ,其中二次项系数为 1 ,一次项系数为x3,常数项为x4-x2 -1 .二、判别根的情形例 2　判别关于x的方程k2 x2 -( 2k+1 )x+1 =0的根的情况 .解　当k =0时 ,方程变为 -x +1 =0 ,原方程只有一个实数根 1 ;当k≠ 0时 ,∵Δ =[-( 2k+1 ) ]2 -4k2=4k+1 .∴当k>-14 ,且k≠ 0时 ,原方程有两个不相等的实数根 ;当k=14 时 ,原方程有两个相等的实数根 ;…     

关于X的方程根的认识

x的一次方程与x的一元二次方程都是关于x的方程,区别只是x的一元二次方程多了一个隐含条件,如二次项系数不为零,然而这个不明显的条件,导致很多同学把关于x的方程的实根误认为是关于x的一元二次方程的实数根。为避免这种错误,特举几例加以说明。例1k为何值时,关于x的方程2(k+1)x2+4kx+2k-1=0有实数根?解:若方程2(k+1)x2+4kx+2k-1=0是一元二次方根,则k应满足:2(k+1)≠0△=(4k)2-4×2(k+1)·(2k-1)≥0kk≠≤1-1k≤1且k≠-1若方程2(k+1)x2+4kx+2k-1=0是一元一次方程,则有2(k+1)=0即k=-1·当k=-1时,原方程为-4x-3=0,方程有实数根x=-43,综合两种…     

例谈判别式的应用

大家都知道,判别式主要应用于判断一元二次方程根的情况,这类问题比较简单,下面介绍判别式其他方面的一些应用·一、求条件最值问题例1已知实数x,y满足x2-12y=0,求x-3y的最值·分析:运用设“k”法消去y,即可整理成x的一元二次方程·解:设x-3y=k,则y=x3-k,代入x2-12y=0,化简得x2-4x+4k=0,所以Δ=(-4)2-4×1×4k≥0,所以k≤1,所以x-3y有最大值为1,无最小值·例2已知实数x,y满足条件x2+xy+y2=1,求x2+y2的最值·解:设x2+y2=k,则x2+ky2=1,代入x2+xy+y2=1=x2+ky2,化简得(1-1k)x2+xy+(1-1k)y2=0·整理为yx的一元二次方程为(1-1k)(xy)2+(xy)+(1-1k)=…     

第二部分 热点题型习题精练

探索型1.解 :( 1)依题意可得 :x1+ x2 =2 ,x1· x2 =k由 y=( x1+ x2 ) ( x12 + x2 2 -x1x2 ) =( x1+ x2 ) [( x1+ x2 ) 2-3 x1x2 ] =2 ( 4 -3 k) =8-6k　即 y=8-6k.( 2 )∵方程有两实数根∴ Δ=b2 -4ac=4-4k≥ 0 .∴ k≤ 1.由此得 -6k≥ -6.　∴y=8-6k≥ 8-6=2 .即当 k=1时 ,y有最小值 2 ,没有最大值 .2 .( 1)解 :∵∠ BAC=∠ BCO,∠ BOC=∠ COA=90°,∴△ BCO∽△ CAO,∴ AOCO=COOB.∴ CO2 =AO· OB.由已知可得 :AO=| x1| =-x1,OB=| x2 | =x2 .∵ x1x2 =-m<0 ,∴ m>0 .∴ CO=m,AO· OB=m.∴ m2 =m,∴ m=1,m=0 (舍去 ) .∴…     

一元二次方程综合评价

一、训练平台1.已知4是关于x的方程3x2-4a=0的一个解,那么2a-19的值是()A.3B.4C.5D.62.方程2x(x-3)=5(x-3)的根是()A.x=25B.x=3C.x1=3,x2=25D.x1=-52,x2=-33.已知(k2 1)x2 x k2-k=0是关于x的一元二次方程,则k的取值范围是()A.k=0B.k≠0C.k≠±1D.k是任意实数4.若一元二次方程ax2 bx c=0(a≠0)中的二次项系数、一次项系数、常数项之和是零,则该方程必有一根为()A.0B.1C.-1D.±15.下列方程没有实数根的是()A.4(x2 2)=3x B.5(x2-1)-x=0C.x2-x=100D.9x2-24x 16=06.已知x1,x2是方程x2-x-3=0的两根,那么x21 x22的值是()A.1B.5C.7D.4497.…     

谁的解法正确

题目:当k为何值时,方程(k2-1)x2+2(k+1)x+1=0有实数根?四位同学采取了如下四种不同的解法。甲的解法:∵△=[2(k+1)]2-4(k2-1)=8k+8.∴当8k+8>0,即k>-1时,方程有实数根。乙的解法:∵△=8k+8,∴当8k+8≥0,即k≥-1时,方程有实数根。丙的解法:∵△=8k+8,依题意有:k2-1≠08k+8≥0解之得:k≠±1,k≥-1∴当k>-1且k≠1时,方程有实数根。丁的解法:分别讨论k2-1≠0与k2-1=0两种情:(1)设k2-1≠0,依题意有k2-1≠08k+8≥0解得:k≠±1,k≥-1∴当k>-1且k≠1时,方程有两个实数根;(2)当k=1时,原方程为4x+1=0,有一个实数根;(3)当k=-1时,原方程为0·x+1=0,方程…     

利用根与系数的关系解竞赛题

在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,设x1,x2是它的两个根,则它的根与系数满足:x1+x2=-ba,x1·x2=ca.这两个表达式看起来简单,巧妙地利用它们,可以解答不少的数学竞赛题.一、求值例1设2x2-2x+k=0,2y2-2y+k=0,且x-y=2,那么k=.(2000年河南省初三数学竞赛题)解:由题意知x,y是方程2t2-2t+k=0的根.由根与系数的关系和已知得x+y=1,xy=k2,x-y=2 ∴k=-32.例2若关于x的方程(x+a)(x+b)=M的两根是α、β,则关于x的方程(x+α)(x+β)=-M的两根的平方和为.(2002年河南省初三数学竞赛试题)解:方程(x+a)(x+b)=M可化为x2+(a+b)x+ab-M=0.由根与系数的关…     

数学奥林匹克初中训练题(99)

第一试 一、选择题(每小题7分,共42分) 1.如图1,反比例函数y1＝(k1)/(x)(k1≠0)与一次函数y2＝k2x+b(k2≠0)交于点 M(1,-4)、N(n,1).则不等式(k1)/(x)＞k2x+b的解集为( ).     

平方法与代入法的巧用(初二、初三)

例1 已知a,b,k均为实数,且a,b是方程x2-2kx 1/2k2-2=0的两个根,又a,b,k满足a2-2ak 2ab-5=0,求k的值. 解 a,b是方程x2-2kx 1/2k2-2=0的两个根,由韦达定理得 ab=1/2k2-2.     

不可忽视判别式

设方程x2-（k-2）x＋（k2＋3k＋5）=0（k∈R）的两个实根为x1、x2,求x12＋x22的最大值．     

不求交点的技巧

题　求证　椭圆 x22 5 +y29=1和双曲线 x21 5 -y2 =1在交点处的切线互相垂直。学生往往先求出椭圆与双曲线的交点坐标 ,然后再分别求出椭圆、双曲线在交点处的切线方程 ,进而由两切线斜率的乘积为 -1 ,得到切线互相垂直的结论。思路自然 ,但解题过程却比较繁琐。其实本题有如下简捷的解法。证明　设两曲线交点为 (x0 ,y0 ) ,则过交点的两曲线的切线方程为 :l1:9x0 x +2 5 y0 y =2 2 5 ,l2 :x0 x -1 5 y0 y =1 5 ,∴k1=-9x02 5 y0,k2 =x01 5 y0,k1k2 =-9x202 5× 1 5 y20①∵交点 (x0 ,y0 )在两曲线上 ,所以9x20 +2 5 y20 =2 2 5 ,x20 -1 5 y…