一道解几课本习题的应用

在解几课本中有这样一道习题：“过抛物线y2＝2px的焦点的一条直线和这抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1，y2，求证：y1y2＝一P2．”（《解析几何》第101页第8题）作为书中的一道习题，我们一定非常熟悉甚至留过作业，但进一步挖掘，会得到许多新的东西．首先，假设过抛物线y2＝2Px焦点的直线与抛物线交于P；（x1，y1），P2（x2，y2）两点，则y五一2p，1，y。’一ZPxZ，．”．ylZy22＝4p2XIX22．．、．户“．ylyZ—～户，telHZ“ry．。。。。，”一‘一“4这样，现在我们有了两个结论：＿户“＿…工IH2“二，凶yyZ“一p“·“““4…     

一道课本习题的推广及其应用

人教版教材高二数学（上）第119页有这样一道习题：过抛物线y^2=2px（P〉0）的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1、y2，求证：y1y2=-p^2．这个命题可推广如下：已知抛物线y^2=2px（p〉0）及点E（a，0）（a〉0），过点E的直线交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点。求证：y1y2=-2ap．     

圆锥曲线的通径公式及其应用

高中（平面解析几何）全一册（必修）98页习题八第5题是一道求值题：经过抛物线y＝ZPX的焦点F,作一条直线垂直于它的对称轴,和抛物线相交于见、Pz两点,线段P;P叫做抛物线的通径。求通径的长。略解：将只、P。两点的横坐标X＝＿代人抛物””’—－『“－2’””’”－‘””线方程,得y一上p,PIP。＝ZP教和学仅仅到此为止,那就太可惜了。若教师能再引导学生作进一步的探究,则会得到新的收获：设经过椭圆H十车＞＝1（a＞b＞O）（双曲b“—”－,、,—一。手y、、＾x,：－＝－E－－－＝1）的一焦b‘点,且垂直于长轴（实轴）的…     

由2008年高考中的信息迁移题引发的思考

2008年湖南理科高考题：若A，B是抛物线y^2=4x上的不同2点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”，已知x〉2时，点P（x，0）存在着无穷多条“相关弦”，给定x0〉2．     

由一联赛试题得到的三个性质

2010年全国高中数学联赛一试第10题为:已知抛物线y2=6x上两个动点A(x1,y1),B(x2,y2),其中x1≠x2,x1+x2=4.线段AB的垂直平分线与x轴交于点C,求△ABC面积的最大值.求△ABC面积时关键的一步是求得线段AB的垂直平分线经过定点C(5,0).那么在一般情形下线段AB的垂直平分线是否经过定点?如果是,那么椭圆、双曲线呢?     

应用分类讨论解决一道线性规划题

人民教育出版社2005年出版的《普通高中新课程标准实验教科书（必修）数学5（B版）》108页第13题：设实数x，y满足不等式组{1≤x＋y≤4，y＋2≥｜2x-3｜，（1）求点（x，y）所在的平面区域；（2）设a〉-1，在（1）所求的区域内，求函数f（x，y）=y-ax的最大值和最小值。     

大前题、小前题的规范使用

北京市丰台区2013~2014学年度第一学期期末练习高二数学（理科）第19题是：已知抛物线C：y2=2px（P〉0），过抛物线C的焦点F的直线2交抛物线于A、B两点．（1）若抛物线的准线为x=-1，直线l的斜率为1，求线段AB的长；     

有关一元二次方程根的中考题归类举例

全国各地中考涉及一元二次方程ax~2 bx c=0（a≠0）两根x_1、x_2的综合试题屡见不鲜，大凡解这类问题往往用到求根公式、根的判别式、根与系数关系，根的意义等知识．现筛选各地中考题中常见的问题，分六个方面归类解析．一、确定参数值（或范围）1．含有一个参数．例1已知：抛物线y＝（m-1）x~2 (m-2）x-1，（m为实数）（1）当m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？（2）若关于x的方程（m-l）x~2 （m-2）x-1=0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求m的取值范围．（3）如果抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于C点，且△ABC的面积等于2…     

圆锥曲线过焦点的弦

由抛物线的定义可以推出,过抛物线y2=2px(p＞0)焦点(P/2,0)弦AB的弦长与弦AB中点的横坐标有着密切的关系:|AB|=x1+x2+p=2x+p,其中A点的坐标为(x1,y1),B点的坐标为(x2,y2),x=x1+x2/2.     

圆锥曲线过焦点的弦

由抛物线的定义可以推出,过抛物线y2=2px(p＞0)焦点(P/2,0)弦AB的弦长与弦AB中点的横坐标有着密切的关系:|AB|=x1 x2 p=2x p,其中A点的坐标为(x1,y1),B点的坐标为(x2,y2),x=x1 x2/2.……     

二重积分对称性的应用

在讨论二重积分问题时，常常利用其对称性以简化运算或证明某些结论。总结如下： 命题1 设函数f（x，y）在平面有界闭区域D上连续。 （1）若区域D关于y轴对称，则f（x，y）dσ＝ （2）若区域D关于x轴对称，则f（x，y）dσ＝ 证 （1）积分区域D关于y轴对称，D：f（x，y）dσ＝dyf（x，y）dx。当f（x，y）关于x为奇函数时，f（x，y）dx＝0，故f（x，y）dσ＝0；当f（x，y）关于x为偶函数时，f（x，y）dx＝2f（x，y）dx，故f（x，y）dσ＝2dyf（x，y）dx＝2f（x，y）dσ， （2）证略 例1 计算二重积分dσ其中D∶＋1 解 由于积分区域D关于x…     

对新版高一数学课本中一个结论的商榷

高一新版数学课本第一册（下）第１１１页“向量平行的坐标表示”中，有这样一个结论：若a＝（x１，y１），b＝（x２，y２），则a∥b（b≠０）的充要条件是x１y２－x２y１＝０分析：课本在本册第９５页中已经规定：０与任何向量都平行，又在本册第１０８页中给出：０＝（０，０），那么为什么要加上条件（b≠０）？能否去掉它？笔者认为完全可以去掉它，课本上加上这一条件只是为了简化证明过程。证明：必要性：设a＝（x１，y１），b＝（x２，y２）a∥b当b≠０时，必存在一个实数λ，使a＝λb即（x１，y１）＝λ（x２，y２）x１＝λx２y１＝…     

(七)函数及其图象测试卷(A)卷

一、填空题（每空3分，共45分）：1．若点A（x，y）在x轴上，则y＝；若它在y轴上，则x＝；2．若点P（x，y）在第四象限内，且，则点P的坐标是＿；3．点（－3，5）关于原点的对称点是、，关于X轴的对称点是，关于y轴的对称点是；4若P点在X灿1二，且P点到A（－7，－2）、B（－3，2）的距离相等，则P点的坐标是5．若函数y一（m一1）x·’－’。－’是正比例函数，则。一；＿＿，＿几分＿＿＿。L。＿＿＿＿。已在函数x一4P；－－－．－一中，自变量x的取值范围是；”’”“”“x＋3””““””“””“’“”””7．若一条直线经过人（l，…     

导数应用的常见错误

一、混淆曲线y=f(x)在点P处的切线与过点P的切线例1已知曲线y=f(x)=(1/3)x~3上一点P(2,8/3),求过点P的切线方程。错解:f′(x)=x~2.设过点P的切线的斜率为k,则k=f′(2)=4.     

抛物线切线与焦点弦的若干关系

抛物线的焦点弦是抛物线定义与性质的交汇点.本文就与其相关的切线探索出若干性质.题目抛物线y2=2px(p>0)上不同两点A、B处的切线交于点Q.求证:若AB过抛物线的焦点F,则(1)AQ⊥BQ;(2)点Q在抛物线的准线上;(3)QF⊥AB.证明设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,y0).对于y2=2px求导,有2yy’=2p,得     

关于二次曲线中点弦的一个性质及其应用

记f（x,y）＝Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F（A、B、C不全为零）．定理若过一点（a,b）的直线被二次曲线f（x,y）＝0截得的弦（不过有心曲线的中心）的中点为（X0,y0）,则证明方程f（x,y）＝0可变形为令ZAX。十河。十p一人‘（。,y。）,ZO。＋B。＋E一人’（x。,y。）,设过点（a,b）及点（x。,y。）的直线方程为将（2）代入（l）,整理得易知该方程有两个不等的实根x1及x。,依韦达定理及中点坐标公式得试举几例说明定理的应用例1给定双曲线X’一会一1,过点A（2,1）的直线l与所给双曲线交于两点产;和P。,求线段P;P。…     

关于一道解析几何题的思考和探究

例题已知抛物线c：y=2x2,直线y=kx＋2交c于A、B两点,M是线段AB的中点,过M作x轴的垂线交c于N。（1）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行;（2）是否存在实数k,     

直线方程x_0x十y_0y=r~2的又一几何意义

众所周知，若点M（x0，y0）在圆x2＋y2＝r2上，则方程x0x＋y0y＝r2表示过点M的圆的切线．此外，若点M在圆的外部，过点M所引圆的两条切线MT1，MT2（T1，T2为切点），则直线方程：x0x＋3，。y—r’表示经过两切点T；，Tz的直线；若点M在圆的内部，且M不为圆心，以M为中点的弦为AB，过点A，B的两条切钱交于o，则直线方程x。x＋y。y一r‘表示经过点Q且平行于弦AB的直线．以上这些几何性质在文［1］中已有详细的论述，下面笔者再给出它的另一几何解释，供大家参考．命题亚若点M（。，yo）在圆x’＋y‘一r’的内部，且M不为圆心，过M任…     

谈二元函数极限的计算

设二元函数f(x,y),P_o(x_o,y_o)为定义域D中一个聚点,A是一个确定的实数。若对Aε>0,Eδ>0,当p(x,y)∈v~0(p_o,δ)D时,有|f(x,y)-A|<ε,则称A是f(x,y)在P_o点的(二重)极限。记作lim f(x,y)=A或lim f(x,y)=A.(x,y)→(x_o,y_o) x→x_o y→y_o 例如,讨论xy~2/x~2+y~4在(0,0)点的极限。 设f(x,y)= xy~2/x~2+y~4,令y=0,则f(x,0)=0,(x≠0)即当P(x,y)沿x轴趋于(0,0)点时,f(x,y)→0,     

2006年高考理科数学(全国卷)21题别解与探讨

(2006年全国卷Ⅱ,理21)已知抛物线x2=4y的焦点为F,A、B是抛物线上的两点,且AF=λFB.过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M.(Ⅰ)证明:FM·AB为定值;(Ⅱ)设△ABC的面积为S,写出S=f(λ)的表达式,并求S的最小值.解(Ⅰ)由题意知直线AB的斜率一定存在,设AB的斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),又F(0,1),则直线AB方程为y=kx 1,代入x2=4y,得x2-4kx-4=0,由根与系数的关系,得x1 x2=4k,x1x2=-4.对y=41x2求导,得y=21x.所以过抛物线上两点A、B的切线方程分别是y=21x1(x-x1) y1,y=21x2(x-x2) y2,即y=21x1x-41x12,y=12x2x-14x22,解出两条切线交…