一个向量定理及其推论的妙用

引理:如果点P分有向线段(→P1P2)所成的比为m:n,那么对于空间任意一点O,都有(→OP)=n/m n(→OP1) n/m n(→OP2)成立.     

向量题根之研究

求证:G是△ABC的重心的充要条件是(→GA) (→GB) (→GC)=0. 证明 (1)必要性:如图1,D、E、F分别是BC、AC、AB的中点,G是△ABC的重心,所以(→GA)=(2/3)(→DA)=(2/3)((→DC) (→CA))=(2/3)((1/2)(→BC) (→CA)),同理可得:(→GB)=(2/3)((1/2)(→CA) (→AB)),(→GC)=(2/3)((1/2)(→AB) (→BC)),所以(→GA) (→GB) (→GC)=(2/3)((1/2)(→BC) (1/2)(→CA) (1/2)(→AB) (→CA) (→AB) (→BC))=(2/3)×(3/2)((→CA) (→AB) (→BC))=0.     

平面(空间)基向量应用例谈

人教社2000版教材第I册(下)P106有平面向量基本定理:如果(→e)1、(→e)2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量(→a),有且只有一对实数λ1、λ2使(→a)=λ1 (→e)1 λ2·(→e)2((→e)1、(→e)2叫表示这一平面内所有向量的一组基底).     

向量的数量积在解题中的应用举例

我们知道,对于两个非零向量(→p)、(→q),其数量积定义为:(→p)·(→q)=|(→p)||(→q)|cosθ(θ是(→p)与(→q)的夹角),由此可以得到一些重要的性质,如:(→p)2=|(→p)|2,(→p)·(→q)=0(→←)(→p)⊥(→q),(→p)·(→q)≤|(→p)||(→q)|(当且仅当(→p)、(→q)同向时取等号),|(→p)·(→q)|≤|(→p)||(→q)|(当且仅当(→p)、(→q)共线时取等号)等,对于某些竞赛题,若能有针对性地构造向量,并利用上述数量积的性质,则能收到化难为易、事半功倍之效.下面试举几例加以说明.     

利用向量求解空间角

高中数学教材中,(→a)·(→b)=|(→a)| |(→b)| cos〈(→a),(→b)〉,称为向量(→a)与(→b)的数量积,〈(→a),(→b)〉为向量(→a)与(→b)的夹角.此公式无论对于平面向量，还是空间向量都有明显的几何意义，它的引进为解决平面几何和空间几何提供了一个实用、方便的工具.     

(→OC)=λ(→OA)+μ(→OB)的几个结论及应用

根据平面向量基本定理,可以得到如下结论:如果(→OA)、(→OB)是同一平面内的两个不共线向量,那么,对于平面内的任一向量(→OC),有且只有一对实数λ、μ,使(→OC)=λ(→OA)+μ(→OB).据此,还可以得到几个更进一步的结论,而且它们在近几年高考的向量题中屡有应用.     

湖北卷一道高考向量试题的赏析

2004年高考数学(湖北卷)理科第19题: 如图1,在Rt△ABC中,已知BC=a,若长为2a的线段PQ以点A为中点,问(→PQ)与(→BC)的夹角θ取何值时,(→BP)·(→CQ)的值最大?并求出这个最大值.     

共线向量定理在高考立体几何中的妙用

在人教A版《普通高中课程标准实验教科书(必修)·数学4》第二章中给出了共线向量定理:向量a(a≠0)与b共线,当且仅当存在唯一一个实数λ,使b=λa.根据这一定理,引申为:如图1,若(→OA)、(→OB)不共线,且=(→AP)=t(→AB)∈R),则有(→OP)=(1-t)(→OA)+(→OB),这一结论是判断平面内三点共线的一个充要条件,事实上,在空间立体几何图形中同样也是适用的,笔者以2012年高考立体几何题为实例,对这一结论的妙用进行简单的探索,供读者思考.     

有向图n-(→C)3的优美性

定义了有向图n-(→C)3,并给出了当n≡0(mod 2)时的优美标号.     

一个向量题的错误解答引出的思考

题目 已知→a,→b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量→c满足(→a-→c)·(→b-→c)=0,则|→c|的最大值是() A.1 B.2 C.√2 D.√2/2 错解:因→a ⊥→b,所以→a·→b=0,由(→a-→c)·(→b-→c)=0得→a·→b-→c·(→a+→b)+|→c| 2 =0,即得|→c|2=→c·(→a+→b),两端平方得|→c| 4=[→c·(→a+→b)]2,|→c|4=(→c)2·(→a+→b)2,即|→c|4=(→c)2[(→a)2+(→b)2+2→a· →b],即|→c| 4=|→c|2[1+1+0],即|→c| 4=2|→c|2,|→c|2 =2,即|→c|=√2,所以,|→c|为定值,最大值和最小值都是√2,故正确选项为C.     

关于有向图n·(→C)4和(→F)m,4优美性

文[1]中提出了有向图优美性的概念,本文对[1]中没有解决的两类有向图n·(→C)4和(→F)m,4的优美性进行了研究.     

2005年湖南卷理科19题（Ⅰ）的简证

题目已知椭圆C:(x2)/(a2) (y2)/(b2)=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1,F2,离心率为e,直线l:y=ex a与x轴、y轴分别交于点A,B,M是直线l与椭圆C的一个公共点,P是点F1关于直线l的对称点,设(→AM)=λ(→AB).     

圆锥曲线的几个重要性质

性质1椭圆x2/a2+y2/b2=1,动点P满足:(→OP)=(→OM)+λ(→ON),其中M,N是椭圆上的点,直线OM与ON的斜率之积为-b2/a2,则动点P的轨迹是方程为x2/(1+λ2)a2+y2/(1+λ)b21的椭圆;双曲线x2/a2-y2/b2=1,动点P满足:(→OP)=(→OM)+λ(→ON),其中M,N是双曲线上的点,直线OM与ON的斜率之积为b2/a2,则动点P的轨迹是方程为x2/(1+λ2)a2-y2/(1+λ)b2=1的双曲线;圆x2+y2=r2,动点P满足:(→OP)=(→OM)+λ(→ON),其中M,N是圆上的点,直线OM与ON的斜率之积为-1,则动点P的轨迹是方程为x2 +y2=(1+λ2)r2的圆.     

从高考试题看动态图形问题的解决

1.动态图象的特征明确例1已知→a、→b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量→c满足(→a-→c)·(→b-→c)=0,则|→c|的最大值是     

例析向量试题的小题小做

在数学教与学的过程中,小题大做与小题小做各有所长,但考试时小题大做在时间和精力等方面很不经济,应力求小题小做.下面通过例子介绍向量试题小题小做的方法和策略. 一、巧妙运用对称性 例1 (2009安徽高考理科试题)给定两个长度为1的平面向量(→OA)和(→OB),它们的夹角为120°.     

数学奥林匹克高中训练题（125）

第一试 一、填空题(每小题7分,共56分) 1.设点O在△ABC的外部,且(→OA)-(2→OB)-(3→OC)=0.则S△ABC:S△OBC=____. 2.十张卡片显示数字9 072 543 681(如图1).将相邻两张卡片的位置互换一次称为一次操作(如第一次操作后数字从原始的9 072 543 681变成9 027 543 681).则将原始数字换成一个可被99整除的数至少需要次操作.     

平面向量中三点共线性质的一个推广与应用

本文给出平面向量三点共线性质的一个推广性质,并例说其应用. 性质 已知向量(→OA),(→OB)不共线,且(→OC)=m (→OA)+n (→OB)(m,n∈R),则A,B,C三点共线的充要条件是m+n=1. 此性质称为平面向量中的三点共线性质,它是解决平面向量中有关三点共线、两向量共线等问题的常用性质.然而笔者发现,学生在运用其充分性(即由m+n=1(=)A,B,C三点共线)进行解题时,对于m+n=1的情形一般能较好的理解并掌握,而对m+n≠1的情形往往束手无策.是否当m+n≠1时就不能运用该性质进行解题了呢?本文即对此问题进行探究:给出一个推广性质,然后例说其应用.     

"同乘向量法"在求解一类问题中的应用

在平面向量的学习过程中,经常会遇到这样一类问题:"已知向量关系式(→OC)＝x(→OA)+y(→OB),在一定的条件下,求x,y的值或求代数表达式ax+by的取值范围."笔者通过探究发现,在向量关系式两边同时点乘某个向量是解决这类问题的一个有效方法.     

一道高考题的推广与引申

2006年全国高考全国第一卷有这样一题:在直角坐标系xOy中,有一个以F1(0,-√3)和F2(0,√3)为焦点,离心率e=√3/2的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在点P处的切线与x轴、y轴的交点分别为A、B两点,且(→OQ)=(→OA) (→OB).求Q点的轨迹.     

由一道高考题引发的思考

2005年湖南高考理科19题(文科21题第一问题同): 已知椭圆C:x2/a2 y2/b2=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1,F2,离心率为e,直线l:y=ex a与x轴、y轴分别交于点A、B,M是直线l与椭圆C的一个公共点,P是点F1关于直线l的对称点,设(→AM)=λ(→AB).