初二数学期末测试题及解答

-.选择问:（3分×10=30分）1.下列因式分解正确的是（ ） (A)x~2 6x 5=(x 3)(x=2) (B)4x~2-y~2=(4x y)(4x-y) (C)a~4-x~2-4ax-4a~2=(a~2 x 2a)(a~2-x-2a~2) (D)x~4-4x~2 3=(x~2-1)(x~2-3)2.使分式(x-1)/(|x| 1)有意义的x的取值是（ ） (A)x≠±1 (B)x≠1 (C)x≠-1 (D)x取一切数3.下列多项式因式分解后不含（x-1）的为 （ ） （A） x~3-x~2-x 1 （B)x~2 y-xy-x     

正确理解因式分解

课本中明确指出:把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解,本文试从因式分解的对象、过程、结果以及与整式乘法的关系等几个方面认真解读,希望能对同学们有所帮助. 1.因式分解的对象是整式.并且是整式中的多项式,不是多项式就谈不上因式分解,如x2yz=x·x·y·z不是因式分解,因为x2yz是单项式.它本身就是整式的积的形式.又如m-(1/n)=1/n(mn-1)也不是因式分解,因为m-(1/n)不是多项式. 2.因式分解的结果必须是几个整式的积的形式.如x+1=x(1+(1/x))和x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x都不是因式分解.因为1-(1/x)不是整式,(x+2)(x-2)+3x是和的形式.而不是积的形式. 3.因式分解的结果中的每一个因式必须是不能再分解的因式,因式分解的结果与多项式所在的数集有关,我们现在的分解是在有理数范围内进行的.因此,要求必须分解到每一个因式在有理数范围内不能再分解为止.如:     

多项式a~3+b~3+c~3-3abc的分解及其应用

我们记P(a、b、c)=a~3+b~3+c~3-3abc这个多项式的因式分解公式为: P(a、b、c)=a~3+b~3+c~3-3abc=(a+b +c)(a~2+b~2+c~2-ab-bc-ca), 这个公式在因式分解中,在多项式的恒等变换中以及在解方程中都有一定的应用。     

挖掘“十字相乘法”的作用 提高学生分解因式的能力

在初中《代数》第二册第7.5节分组分解法中第120页上的例1,给出了如下解法: 例1 把a~2-ab ac-bc分解因式。解:a~2-ab ac-bc =(a~2-3b) (ac-bc) =a(a-b) c(a-b) =(a-b)(a c) 当然,此例还可有其它不同的分组分解方法。但学生往往容易产生这样一种错觉:此例除了采用分组分解法之外,别无它法。然而事实上并非如此。此例还可以用课本7.6节要讲的“十字相乘法”求解(但7.6节中并无这样的例子)。具体解法如下: 解:a~2-ab ac-bc =a~2 (c-b)a-bc (看成关于a的二次三项式) =(a-b)(a c) 一般来说,凡适合分组分解法进行因式分解的多项式,如能整理成某个字母的二次三项式,则均可采用“十字相乘法”进行因式分解。例如课本第122～123页上的例4～6,把m~2 5n-mn-5m,x~2-y~2 ax ay,a~2-2ab b~2-c2分解因式,实际     

一个公式的巧用

公式(a+b+c)(a~2+b~2+c~2-ab-bc-ca)=a~3+b~3+c~3-3abc(以下记为公式)有不少应用。而公式本身的证明并不困难,运用整式乘法或因式分解就可予以证明,这是初中一年级学生就能接受的。如果在初中代数教学中,讲解整式乘法时就把它提出来,到因式分解时再次熟悉,后继内容的教学中不断应用,这对学生掌握知识,发展智能会有裨益的。一、公式的征明: 证一:将左边按a的降幂排列左边=[a+(b+c)][a~2-(b+c)a+(b~2+c~2-bc)] =a~3-(b+c)a~2+(b~2+c~2-bc)a+(b+a)a~2-(b+c)~2a+(b+c)(b~2-a~2-bc) =a~3+(b~2+c~2-bc-b~2-2bc-c~2)a+b~2+c~3 =a~3+b~3+c~2-3abc。证二、用因式分解右边=(a+b)~3-3ab(a+b)+c~3-3abc =(a+b)~3+c~3-3ab(a+b+c) =(a+b+c)~3-3c(a+b)(a+b+c)     

因式分解全程破解

我们先来看下面的等式:m(a b c)=ma mb mc……1此式表明:两个因式相乘,结果仍是一个多项式,把1式反过来写,就是:ma mb mc=m(a b c)……2此式表明:如果一个多项式都含有一个公共的因式m,那么这个多项式可以化为因式m与另一个因式的积。把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做这个多项式的因式分解。因此,1式是整式乘法;2式是进行因式分解,两者是互为相反的变形。因式分解是初二数学学习的一个重点,要想学好它,就要注意以下几个问题:一、不能把因式分解称为整式乘法的逆运算,因为整式乘法的逆运算是整式的除法。二、因式分解的结果必须是几个整式的积的形式。如:3x2-6xy 9x=3x(x-2y 3)a2-b2=(a b)(a-b)都是正确的,但是像:a 1=a(a 1/a)x2-9 8x=(x 3)(x-3) 8x就不是因式分解(因为:(a a/1)不是整式;(x 3)(x-3) 8x不是积的形式。三、单项式不存在因式分解问题,因为单项已经是乘积的形式了。有两个顺口溜可以帮助你更好地掌握因式分解。顺口溜一:首项有负常提负,各项有“公”先提“公”,某项提出莫漏“1”,括号里面分到“底”。顺口溜二:...     

因式分解中的新题型

因式分解是初中数学的重要内容,涉及因式分解的问题已经不再是传统的单一题型了,近年来开放性、创新性的因式分解试题在中考中频频出现。一、开放探索型例1(2005年湖北省武汉市中考题)请你写出一个能分解的二次四项式并把它分解__。分析此题是近年多次出现的一类开放性试题,可以从多个角度来思考。 (1)联想平时经常练习的题目,如:ax+ay-x-y=(x+y)(a-1); ma-mc+mb+2m=m(a-c+b+2) 等,(2)、根据因式分解与整式乘法互为逆运算的关系来解答,如考虑整式乘法(m-n)(a+b) =ma-na+mb-nb,然后反过来写即可。     

代数式与数列

1.因式分解【典例导引】例题把2ax-10ay+5by-bx分解因式.思路对于类别相同的多项式因式分解可采用分组分解.解答2ax-10ay+5by-bx=2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b).说明用分组分解法,一定要想     

用y=mx变换解一类数学题

y=mx 按其几何意义来说,它是代表了过原点的一族直线。正因为它有这个特点,我们可以借助于这种变换来研究一系列与原点有关的数学问题。一、因式分解例1 将(ay+bx)~3+(ax+by)~3-(a~3+b~3)(x~3+y~3)分解因式。 解     

一道常见不等式的证明

题目:已知a、b∈R~ 且a b=1,求证(d 1/a)(b 1/b)≥(25)/4.本文给出该不等式的5种证明.证法1:(分析法)欲证原不等式成立,只需证4(a~2 1)(b~2 1)≥25ab4a~2b~2 4a~2 4b~2 4≥25ab4a~2b~2 4(a b)~2-8ab 4≥25ab4a~2b~2-33ab 8≥0(ab-8)(4ab-1)≥0     

一个不等式的证明

最近郭燕翔同志来信问了下面的问题:“若a>1,求证(1+a~2+a~4+…+a~(2n))/(a+a~3+a~5+…+a~(2n-1))>(n+1)/n”。(1) 在解答这个问题时,得到了8种证法,今按初等证法,数学归纳法及高等数学法依次列举如下。 (一)、初等证法: 证法1 由(1)有     

判断三角形形状的多种方法

三角形既可以按边分类也可以按角分类,当我们得到了它们的边(角)之间的关系或最大角的度数时,就能据此判定三角形的形状.下面向大家介绍判断三角形形状的多种方法,相信对开拓同学们的思维,提高解题技能和技巧会有一定的帮助.一、利用因式分解进行判定例1在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,a~2+2ab=c~2+2bc,试判定△ABC的形状.解析∵a~2+2ab=c~2+2bc,a~2-c~2+2ab-2bc=0,即(a-c)(a+c)+2b(a-c)=0,     

《因式分解》解题思维探究

一、基础思维探究题型一:多项式的因式分解例1(2005年盐城市)下列因式分解中,结果正确的是()A.x2-4=(x 2)(x-2)B.1-(x-2)2=(x 1)(x 3)C.2m2n-8n3=2n(m2-4n2)D.x2-x 14=x2(1-1x 41x2)分析与解:A项正确运用平方差公式分解;B项将x-2看成一个整体用平方差公式分解为(x-1)(3-x);C项分解不彻底,m2-4n2还能继续分解;D项分解结果不是几个整式积的形式,所以选择A.【关键点拨】①透彻理解因式分解.②因式分解要分解到不能再分解为止.题型二:因式分解在生产中的实际应用例2在半径为R的圆形钢板上,冲去4个半径为r的小圆,如图所示,利用因式分解计算,…     

活用公式 巧妙分解

运用公式法分解因式是因式分解的一种基本方法,这种方法就是利用平方差公式a~2-b~2=(a+b)(a-b)和完全平方公式a~2±2ab+b~2=(a±b)~2分解因式。但在许多情况下,对于给定的多项式,往往无法直接运用公式分解,必须根据多项式的特征,灵活运用公式才能分解。现就怎样活用公式分解因式举例进行说明。     

对《教参》一道数学题解答的异议

统编初中《代数》第三册习题十第16(2)题:解方程x~(1/3) (x~2)~(1/3)=2,《教学参考书》的答案是:x_1■—8,x_2=2。表面看来,答案是正确的。但从教材的有关规定和参考书对其他习题的处理方法来看,解答存不在妥之处。教材在第三章指出:我们规定在本章内根式内的字母所取的值凡不作特殊的说明的都必须使被开方式取正值。参考书对教材中习题的解答,也是遵循这条规定的。如,((-5)~4a~4b~2)~(1/3)=(25a~2|b|)~(1/3);(a~4b=)~(1/3)a|(|a|·b)~(1/3)。同时,在介绍根式运算公式(a~(1/n))~m=(a~m)~(1/n)(a≥0),指出了这个公式的前提条件是a≥0。     

例谈运用公式法分解因式

公式法是因式分解的重要方法。常用的公式有: 1.平方差公式:a~2-b~2=(a+b)(a-b)。 应用条件:多项式是二项式,并且是两数(或式)的平方差的形式。 2.完全平方公式:a~2±2ab+b~2=(a±b)~2。 应用条件:多项式是二次三项式,首尾两项是两数(或式)的平方,且中间项是这两数(或式)的乘积的2倍。     

两个最值命题及应用

本文拟谈由恒等式(a+b)~2=a~2+b~2+2ab引出的两个最值命题及应用。用这两个最值命题解答一些数学习题,解答简捷,巧妙。命题1 若a+b=s(定值),则当ab取最大值P(最小值Q)时,a~2+b~2取最小值S~2-2P(最大值S~2-2Q)。命题2 若a~2+b~2=S(定值),且a+b>0,则当ab取最大值p(最小值q)时,a+b取最大值(S~2+2p)~(1/2)(最小值(S~2+2q)~(1/2))。     

因式分解需要注意的几个问题

因式分解是一个重要的知识,不仅在分式、解方程中经常用到,而且在列方程解应用题中也很常用。下面我们来讨论因式分解需要注意的几个问题。首先因式分解的首选方法是提公因式法。在对一个多项式进行因式分解时首先要考虑多项式是否有公因式,如果有要将公因式提出。例1　把8y4-2y2分解因式分析:不少同学会想到直接使用平方差公式,但是却发现多项式不符合平方差公式的特点。如果先提出公因式2y2问题便容易了。解:原式=2y2(4y2-1)=2y2(2y+1)(2y-1)其次要注意因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止。在分解的过程中一定要注意是否分解…     

根式运算的一些处理方法

对于二次根式的混合运算,除了按照常规方法进行以外,还应当根据所给式子结构的特殊性,把握一些简洁的处理方法,这些方法主要有以下几种: 一、巧行因式分解整式因式分解的各种方法,在根式运算中都有用武之地,注意实数范围内a=(a~(1/2))~2(a≥0)。     

初二数学期中自测题及解答

一、填空题 (每题2分,共20分) 1.直接写出下列各式因式分解的结果: 3(x-2)-x(2-x)=____; 4a~2-4=____ 2.x~2 x ____=(____)~2; (x-1/x)~2 _____=(x 1/x)~2. 3.若a~3 1/8m=(a-b)(a~2-nab b~2),则m=____,n=____,n=_____ 4.当x____时,分式(2x-1)/(3x 4)有意义;当x_____时,分式(x~2-4)/(3x-6)的值为零, 5.不改变分式的值,(1)使(1/3x-1)/(x 1/2)分子与分母各项系数都化为整数,得_____;