数学重在分析推理(二)

(接上期)定理3两条平行线,第三条直线和它们相交,则内错角相等.分析在图5中,直线l2∥l1,l3与l1,l2相交,要想证图5明∠1=∠2,根据基本事实2,只要能证明∠2=∠3就行了.证明因为∠1和∠3是,所以=().又已知∠2=∠3,所以=().定理4两条平行线被第三条直线所截,则同旁内角互补.分析在图6中,直线l2∥l1,直线l3与l2,l1相交.∠1和∠2是同旁内角.要想证明∠1+∠2=180°,根据基本事实2,图6只要能证明∠2=∠3就可以了.证明因为∠1+=180°(),又已知∥,所以∠2=∠3,所以∠1+∠2=().定理5试证明:三角形ABC三内角之和∠A+∠B+∠C=180°.分析在图7中,CE∥B…     

一道平行线习题的五解种法

平行线性质定理的内容是两直线平行,同位角相等、内错角相等、同旁内角互补.要正确运用这一定理,其前提是两直线平行,且被第三条直线所截,然后才能根据角的位置去判定运用,当前提条件不符合时,就要想办法创造条件.现举一例:如图:AB∥CD.求证:∠BED=∠B ∠D.证法一:如图1,过E作EF∥AB,则EF∥CD,则∠B=∠BEF,∠D=∠DEF,即∠BED=∠B ∠D.证法二:如图2,过E作EF∥AB,则EF∥CD,则∠BEF=180°-∠B,∠DEF=180°-∠D,∴∠BED=360°-(∠BEF ∠DEF)=∠B ∠D.即∠BED=∠B ∠D.证法三:如图3,延长DE交AB于F,则∠BFE=∠D,∠B…     

中考开放性问题的分类

开放性问题是中考的热点之一,现将常见的题型分类如下,供你复习时参考. 一、添加条件型 例1(2014年湘潭卷)如图1,直线口、b被直线c所截,若满足____,则a、b平行. 分析:根据“同位角相等或内错角相等,两直线平行”可得,若∠1=∠2或∠3=∠2,则a∥b. 评点:此题主要考查了平行线的判定,关键是掌握同位角相等或内错角相等,则两直线平行. 例2(2014年十堰卷)如图2,在△ABC中,点D是BC的中点,点E,F分别在线段AD及其延长线上,且DE=DF.给出下列条件:①BE=EC;②BF∥CE;③AB=AC.从中选择一个条件使四边形BECF是菱形,你认为这个条件是____(只填写序号).     

“平行线与相交线”综合检测试题

一、选择题(每题3分,共30分)1.如图1中有对顶角的图形是().A.①B.①②C.②④D.②③2.如图2,直线AB、CD、EF相交于点O,则∠AOF的对顶角是().A.∠BOD B.∠BOE C.∠COE D.∠AOC3.如图3,若∠BEF=∠CFE,则AB∥CD是根据().A.平行公理B.两直线平行,内错角相等C.内错角相等,两直线平行D     

说明平行的四种常用方法

一、同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行. 例1如图1,⊙O是△ABC的外接圆,且AB=AC,PA是⊙O的切线,A为切点,割线PBD过圆心,交⊙O于另一点D,试说明PA∥BC.解∵PA是⊙O的切线,∴∠PAB=∠2.∵AB=AC,∴∠1=∠2.∴∠PAB=∠1.∴PA∥BC.     

初学几何证明易犯的错误

学习几何,必须学会证明。但许多同学在初学时,证明过程的思路不清晰,推理依据不充分,推理不严谨,常出现推理错误。现通过几个例子的解析,引起同学们的注意。例1如图1,已知∠1 ∠2=180°,求证:∠3=∠4.错解:∵∠1 ∠2=180°(已知)∴L1∥L2(两直线平行,同旁内角互补)∴∠3=∠4(同位角相等,两直线平行)图1解析:此解混淆了平行线的判定与性质。平行线的判定是证明两条直线平行的依据,是判定平行;而平行线的性质是证明两角相等或互补的依据。同学们想判断清前后的因果关系,也可如下书写:∠1 ∠2=180°L1∥L2↓↓(同旁内角互补,两直线平行)L1∥…     

巧作辅助线,妙解几何题

一、题目:人教版习题7.2第9题:如图1,AB∥CD,∠BAE=∠DCE=45°.填空:因为AB∥CD,所以∠1+45°+∠2+45°=180°.所以∠1+∠2=90°.因为∠1+∠2+∠E=180°.所以∠E=90°.图1二、对本题的思考其实这道题是:如图2,已知AB∥CD,∠BAE=∠DCE=45°.求∠E的度数.图2课本的解题方法是通过作辅助线,连接AC,利用平行线的性质定理和三角形内角和定理解题.1.平行线的性质定理:两条直线平行,同位     

折纸中的数学道理

同学们都折过纸,在折纸的过程中,你是否认真思考过?其实,在折纸中包含很多数学知识.例1如图1,斜折一页书的一角,原角顶点A落到A1,EF为折痕,再斜折另一角,使DF边落到FA1边上,折痕为FG,则∠GFE等于多少度?解:因为折叠一个重要的特征是折叠部分形状、大小一样,所以∠AFE=∠A1FE,∠DFG=∠GFA1,又因为∠AFE+∠A1FE+∠GFA1+∠DFG=180°,所以∠A1FE+∠GFA1=∠GFE=90°.例2如图2,把一长方形纸条如图折叠时,纸条重叠部分中∠1是多少度?解:因为纸条为长方形,所以AD1∥BC1,根据两直线平行,同位角相等,所以∠BFC=∠AGC=30°,根据…     

数学单元自测题(二)

一、判断题1.如图1.已知∠1+∠2=180°,可推出AB∥CD. ( )2.如图2.∵∠1=∠2,∴AB∥CD. ( )3.如图3.已知∠A=∠D,可推出AB∥DE,AC∥DF. ( )4.如图1.由∠1=∠3,判定出AB∥CD,根据是“两直线平行,同位角相等.”     

由三角形内角和引起的思考

同学们在探究"三角形三个内角的和等于180°"时,把如图1所示的∠1撕下,拼在如图2所示的位置,将∠3与∠2的公共边延长,由内错角相等两直线平行得a∥b,由a∥b可知∠4=∠3,则得出本定理的结论。在这个探究过程中,我们     

平行线性质的应用

同学们都知道,若两直线平行,则同位角相等,内错角相等,同旁内角互补．如何灵活应用这三条性质解一些涉及角度的计算题?下面以各地中考题为例来说明．例1 (自贡市)如图1．已知a∥b,∠2=140°,则∠1=_____．     

平行线中的新题型

近年来,围绕平行线这一知识点,出现了许多新题型,归纳起来主要有:一、条件开放型例1如图1,直线l与l1、l2相交,形成∠1,∠2,…,∠8,请填上你认为适合的一个条件:,使得l1∥l2分析:当同位角相等时,有l1∥l2,可有∠1=∠5,∠2=∠6,∠4=∠8,∠3=∠7等4种填法;当内错角相等时,有l1∥l2,可有∠3=∠5,∠4=∠6等2种填法;当同旁内角互补时,也有l1∥l2,可有∠3 ∠6=180°,∠4 ∠5=180°等2种填法。以上均为直接条件,以下为间接条件,可转化为上述三种角的关系中的某一种:∠1=∠7,∠2=∠8,∠2 ∠7=180°,∠1 ∠8=180°,∠1 ∠6=180°,∠2 ∠5=180°,∠3 ∠…     

《平行线与相交线》新题型选析

近年来,围绕平行线这一知识点,出现了许多新题型,归纳起来主要有:一、条件开放型例1如图1.直线l与l1、l2相交,形成∠1、∠2、…、∠8,请填上你认为适合的一个条件:,使得l1∥l2.分析与解:当同位角相等时,有l1∥l2,故可填∠1=∠5,∠2=∠6,∠4=∠8,∠3=∠7;l213465当内错角相等时,有l1∥l2,可填∠3=∠5,∠4=∠6;当同旁内角互补时,也有l1∥l2,还可填∠3 ∠6=180°,∠4 ∠5=180°.以上均为直接条件,以下为间接条件,可转化到上述三种角的关系中的某一种:∠1=∠7,∠2=∠8,∠2 ∠7=180°.∠1 ∠8=180°.∠1 ∠6=180°.∠2 ∠5=180°.∠3 ∠8=180°.…     

化“未知”为“已知”——一种重要的数学思想方法

“未知”就是不知道的知识和方法,“已知”就是已经知道的知识和方法.“化未知为已知”是一种非常重要的数学思想方法,在学习新知识、解决新问题时经常用到.下面通过几个实例来说明.一、在探索两直线平行的条件中的运用在探索两直线平行的条件时,先学习了公理“同位角相等,两直线平行.”在而后的学习中,我们面临的是这样的问题:“内错角相等,两直线平行吗?”、“同旁内角互补,两直线平行吗?”这两个问题是这样解决的:1.“内错角相等,两直线平行吗?”已知:如图1,直线AB,CD被直线EF所载,且∠AGF=∠DHE.那么,直线AB与直线CD平行吗?为什…     

“平行线与相交线”自测题

一、填空题(每小题 5分 ,共 2 5分)1 一个角和它的补角相等 ,这个角是　　角 .2 已知 :如图 1 ,AB,CD ,EF是直线 ,EG是射线 ,∠1 =∠2 =88°,则　　 ∥ 　　 .3 图 2中 ,当　　　　时(任写一条) ,BC∥ED .4 图 3中 ,同旁内角一共有　　　　对 .5 已知 :如图 4,AD∥BC ,AB∥DC∥EF,AC是∠DAB的平分线 ,则与∠ACB相等的角有　　　　个 .二、选择题(每小题 4分 ,共 2 0分)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6 下面各语句中 ,正确的是 (　　 ) .(A)如图 5,因为∠ 1、∠ 2是对顶角 ,所以∠ 1 =∠ 2(B)一个角的补角一定是钝…     

点·平行线·角

1．当点在两平行线之间时角的关系例1如图1所示,已知AB∥CD,E是AC上的一点,求证∠CAB=∠CED ∠CDE．证明因为AB∥CD,所以∠CAB ∠C=180°,又因为∠C ∠CED ∠CDE=180°,所以∠CAB=∠CED ∠CDE．     

平行线的功能与作用

我们知道．平行线有如下性质：1．两直线平行，同位角相等；2．两直线平行，内错角相等；3．两直线平行，同旁内角互补．因此，利用平行线的性质，可以：1．证明两个角相等；2．求角的度数；3．把一个角大小不变地迁移到我们所需要的图形中．这就是平行线的基本功能与作用．例1已知：如图1，E是DF上的点，B是AC上的点，∠1＝∠2，∠C＝∠D．求证：∠A＝∠F．分析由图形知，∠A与∠F是内错角．因此，要证∠A＝∠F，只须证DF∥AC．这只要根据已知证出∠D＝∠ABD即可．证明∠1＝∠2（已知），∠1＝∠3（对顶角相等），∠2＝∠3．BD∥…     

从线段的垂直平分线入手解题

垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线.它具有如下重要的特性:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.对于某些图形问题,从线段的垂直平分线入手,巧用其特性,可使解题简易、迅捷!下面从两个方面举例说明,请同学们在体会线段垂直平分线的性质妙用的同时,也要努力学会利用简洁的几何语言书写几何说明饭?一、图形说明问题例1如图1,线段CD垂直平分线段AB,AB平分∠CAD.图1请说明AD∥BC.简析要说明AD∥BC,根据两直线平行的条件,只要说明一对同位角或内错角相等,或两个同旁内角互补即可.解因为CD垂直平分AB…     

3月份《30分钟智力冲浪》参考答案

1.B.2.A.提示:利用平移知AH,HG与ED即可.3.∠AEC=43∠AFC.提示:如图1,过E作EG∥AB.由AB∥CD知EG∥CD.有∠AEG=∠BAE=4∠1,∠GEC=∠DCE=4∠2.即∠AEC=4(∠1+∠2),同理∠AFC=∠BAF+∠DCF=3(∠1+∠2).图1图24.15°.提示:如图2,(方法之一)因为∠AFE=∠B=90°,∠EFC=60°,所以∠AFD=180°-∠AFB-∠EFC=30°.由矩形的角是直角,知CD∥AB,故∠BAF=∠AFD=30°,由折叠知∠BAE=∠FAE,故∠BAE=15°.5.将“平面上n(n≥2)条直线两两相交”的各种可能通过平移变为一种情况:在平面上任取一点O,将这n条直线均平行移动为通…     

浅谈数学习题的几种简单变式

学习数学,特别是解题时,对习题进行变式,举一反三,常常收到事半功倍的效果.下面给同学们介绍一下数学习题的几种简单变式:一、把题中的部分题设与结论交换位置例:已知:如图1,AB∥CD,请说明∠BED=∠B+∠D成立的理由.解:过点E作EF∥AB,因为AB∥CD,所以AB∥CD∥EF,所以∠BEF=∠B,∠FED=∠D,所以∠BEF+∠FED=∠B+∠D,即∠BED=∠B+∠D.本题也可以延长BE交CD于点G,再根据平行线的性质及三角形的性质,也可以证出.变式一已知:如图1,∠BED=∠B+∠D,请说明AB∥CD成立的理由.本题是将例题中的题设与结论交换位置,解法如下.过点E作EF∥AB,所以∠BEF=∠B,因为∠BED=∠B+∠D,所以∠BEF+∠FED=∠B+∠D,所以