2014年高考数学必做创新题

第1点运算定义型()必做1定义平面向量的一种运算:ab=|a|·|b| sin〈a,b〉,则下列命题:1ab=ba;2λ(ab)=(λa)b;3(a+b)c=(ac)+(bc);4若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=|x1y2-x2y1|.     

一个重要结论及其应用

结论函数f(x)=daxc b(不妨设a>0),若b2=amd2(m∈R),则f(x) f(m-x)=bc.(※)证明f(x) f(m-x)=cdax b dam-cx b=(d2[adm( a bm-2)x badx)(a x2 b]acm-x)=d(am-x ax 2db)cbd(ax am-x d2abmd b2)因为b2=amd2,所以d2abmd b2=2db,所以f(x) f(m-x)=bc.特例(1)若d=1,则上面的结论(※)可叙述为:函数f(x)=ax c b(a>0),若b2=am,则f(x) f(m-x)=bc.(2)若m=0,b2=1,则上面的结论(※)可叙述为:函数f(x)=axc b(a>0),若b2=1,则f(x) f(-x)=bc.(3)若c=1,d=1时,则上面的结论(※)可叙述为:函数f(x)=ax1 b(a>0),若b2=am,则f(x) f(m-x)=1b.应用(函数的以上性质可应…     

1989年南昌市初中数学竞赛试题

一、填空 1.若(x~2-9)/(2x~2 9x 9)=0,则x____; 2.方程2x y=9,在自然数范围内的所有解是____; 3.新运算规定:a▽b=(Bab)/(4a 5b)(▽为新运算符号),且1▽2=1,则2▽3=____; 4.a,b,c是△4BC的三条边,且a~2 b~2 c~2-ab-bc-ac=0,则△ABC是____三角形;     

含条件a+b+c=0的若干性质及应用

性质1 若a+b+c=0,则方程ax2+bx+c=0有一个根是1. 证明:∵a+b+c=0,∴c=-(a+b).∴ax2+bx-(a+b)=0.∴(x-1)(ax+a+b)=0.∴x=1或x=-1-b/a.     

一道高考数学压轴题的简便解法及应用

<正>题目(2009年湖北理科高考题)在R上定义运算:pq=-1/3(p-c)(q-b)+4bc(b,c为实常数).记f_1(x)=x²-2_c,f_2(x)=x-2b,x∈R,令f(x)=f_1(x)f_2(x).(1)、(2)(略);(3)记g(x)=|f'(x)|(-1≤x≤1)的最大值为M,若M≥k对任意的b,c恒成立,试求k的最大值.此压轴题构思精巧,涉及到导数、绝对值、     

完全平方数的一些判定方法

判定某一整数是不是完全平方数的问题,在数学竞赛中常有所见.对这一问题,本文将通过典型例题,介绍几种最常用的方法. 在解题过程中,我们将随时使用下列各性质: 1°(a,b)=(a-bq,b),q∈Z. 2°若(a,b)=d,a=da_1,b=db_1,则(a_1,b_1)=1. 3°若(a_1,b_1)=1,q=1,2,3,…,m,P=1,2,…,n,则(a_1a_2…a_m,b_1b_2…b_n)=1.特别地,若(a,b)=1,则(a~m,b~n)=1. 4°若(a,b)=1,a|bc,则a|c. 5°若(a,b)=1,a|c,b|c,则ab|c. 6°大于1的整数a可唯一地表成:     

判别函数图象对称性的一组命题及应用

常用于判别函数图象对称性的命题可归纳如下:命题1　若函数y=f(x)满足f(a x)=f(b-x),则y=f(x)的图象关于直线x=a b2对称.证　在y=f(x)图象上取A(a x0,y0),B(b-x0,y0),则AB中点为(a b2,y0),且对任一x0都成立,由x0任意性可知f(x)的图象关于直线x=a b2对称.推论1　若函数y=f(x)满足f(a ωx)=f(b-ωx),则y=f(ωx)关于x=12ω(a b)对称,即y=f(x)关于x=a b2对称.证　设ωx=t,则f(a t)=f(b-t),从而函数y=f(t)关于t=a b2对称,即y=f(ωx)关于直线x=a b2ω对称,或y=f(x)关于直线x=a b2对称.命题2　函数y=f(x)若满足f(a x)=-f(b-x),则y=f(x)的图象关于…     

题设条件a b c=p的隐含关系及应用

命题若a,b,c,p∈R,a b c=p,则存在k∈R,使b=-(k 1)a,c=ka p。而且也存在k’∈ R,使c=-(k’ 1)a,b=k’a p。证明由a b c=p得a b (c-p)=0,以a、b、(c-p)为二次项、一次项的系数和常数项,作一元二次方程 ax~2 bx (c-p)=0(假定a≠0),显然方程有根为1,(因为a b (c-p)=0),若另一根为k,(k∈R)由根与系数的关系得-b/a=k 1,即 b=-(k 1)a,(c-p)/a=1·k,得c=ka p。再作二次方程ax~2 cx (b-p)=0,其一根为1 ,若另一根为k’,则有     

从一道高考题谈一类新定义下的函数问题的求解策略

2002年上海春季高考数学试卷中有这样一道题:第(22)题:若存在 x_0∈R,使 f(x_0)=x_0成立,则称 x_0为f(x)的不动点。已知 f(x)=ax~2+(b+1)x+b=1(a≠0)(1)a=1,b=-2,求 f(x)的不动点;(2)若对实数 b 函数 f(x)恒有两个相异的不同点,求 a 的范围;     

一个定理的背景及再推广

文[2]对文[1]中的定理推广为:若方程x f(x)=m和x f~(-1)(x)=m分别有唯一根a,b.则a b=m.文[3]又对文[2]进行了再推广,得到了结论:若方程x·f(x)=m和x·f~(-1)(x)=m分别有唯一根a,b.则a·b=m.笔者对[2]、文[3]的两个结论进行再探究.     

运用判别式△证明不等式

二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若a>0,△=b2-4ac≤0,则f(x)≥0;若a<0,△=b2-4ac≤0,则f(x)≤0. 二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根,则△=b2-4ac≥0. 以上性质,我们可以用来证明不等式. 例1 已知a,b∈R,且b>0.求证:a2+b2>3a-2ab-3. 证明:被证不等式可变形为     

一元一次方程自测题（B卷）

一、选择题(每小题2分,共16分)1.下列各式的变形:(1)若a=b,则3a=3b;(2)若a=b,则-3a+5=-3b+5;(3)若ac2=bc2,则a=b;(4)若ca2=cb2,则a=b.其中不正确的共有().(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个2.解方程x-31-4-2x=1,去分母正确的是().(A)2(x-1)-3(4-x)=1(B)2x-1-12+x=1(C)2x-2-12-3x=6(D)2(x-1)-3(4-x)=63.关于x的方程(a-1)x2-ax+1=0是一元一次方程,则a的值等于().(A)0(B)1(C)±1(D)-14.解方程54(45x-30)=7,较简便的是().(A)先去分母(B)先去括号(C)先两边都除以54(D)先两边都乘以545.下列方程中,解为x=0的是().(A)7x2-5=143(B)2[5(3-x)]=9(C)72(…     

一个重要结论及其应用

结论函数f(x)=c/dax b(不妨设a＞0),若b2=amd2(m∈R),则f(x) f(m-x)=c/b.     

一个基本关系的应用

大家知道如下的一个基本关系:若 f(a,b)=0,则点(a,b)必在方程 f(x,y)=0的曲线上.比如,由 a~2 b~2=1,我们可以得出:1°,点(a,b)在圆 x~2 y~2=1上;2°,点(a,b~2)在抛物线 x~2 y=1;3°,点(a~2,b~2)在直线上 x y=1上;4°,点(a,b)在直线 ax by=1上,等等.在解题中,     

力学中求极值的常用方法

1.配方法 对于二次函数y=ax~2+bx+c,通过配方可得: y=a(x+(b/2a))~2+((4ac-b~2)/4a)。 由二次函数的极值性可知: 若a<0,则y有极大值,当x=-b/2a时,y_(max)=4ac-b~2/4a;若a>0,则y有极小值,当x=-b/2a时,y_(min)=4ac-b~2/4a。     

这种同类二次根式试题的解不唯一

近年来,部分地市的数学中考命题中出现了如下试题:若(4b)~(1/a b)与(3a b)~(1/2)是同类二次根式,则 a,b 的值是( )。A.a=0,b=2B.a=1,b=1C.a=0,b=2或 a=1,b=1D.a=2,b=0此题所给的答案是 A 据此,其解法为:因(4b)~(1/a b)=2(b)~(1/a b),由a b=2,b=3a b,解得 a=0,b=2.选 A.解法的依据显然是同类二次根式的定义:几个二次根式化成最简二次根     

从函数角度看等式基本性质的推广及运用

我们知道,等式的三个基本性质是:(1)若a=b,则a±c=b±c;(2)若a=b,则ac=bc;(3)若a=b,c≠0,则a/c=b/c.事实上,从函数角度看,我们可以把等式的基本性质推广为:若函数y=f(x)是区间D上的单调函数,且a,b∈ D,则a=b(=)f(a)=f(b).即,对单调函数而言,考查自变量的相等关系,可以转化为考查函数值相等,反之亦然.正是这种转化,体现了等式基本性质的推广价值,构成了部分题目解决过程的关键,下面就其运用举例说明.     

中考数学模拟试题(二)

一、选择题(共15小题,每小题3分,计45分) 1.下列运算中:①(-a3)2=-a6;②a3 a3=2a3;③(x-y)(-x-y)=y2-x2;④ a3b3=abab(a≥0,b≤0).其中正确的运算共有( ).     

一题多解,探根溯源

题目:已知函数f(x)=x2+ax+1/x2+a/x+b(x∈R,且x≠0)若实数a,b使得f(x)=0有实根,求a2+b2的最小值. 预备工作:令t=x+1/x,则t∈(-∞,-2]∪[2,+∞),方程f(x)=0(=)t2+at+b-2=0(|t|≥2). 方法一:(消元法) 解析:a2+b2=a2+(2-t2-at)2=(1+ t2)a2+2(2-t2)t·a+ (2-t2)2=(1+t2)(a-t2-2/1+t2)2+(2-t2)2-(2-t2)2t2/1+t2≥(2-t2)2-(2-t2)2t2/1+t2,令1+t2=m(m≥5)则 t2=m-1     

再谈一个定理的推广

文[1]给出了一个定理:若f(x)是[a,b]上的增函数,x f(x)=m,x f~(-1)(x)=m的两根分别为a,b,则a b=m.文[2]将这个定理推广为:若方程x