一个容易搞错的概念

什么叫圆周率?人们常常这样回答:圆周长和直径的比就叫做圆周率,通常用兀表示,取近似值3.1416。这里就出现一个问题,圆周率π是有理数呢,还是无理数?按比值的观点看,当然是个有理数。因为我们     

无理数学习问答

问:无理数和有理数主要区别在那里? 答:无理数和有理数都是实数,它们主要区别在:无理数是无限不循环小数,而有理数则是有限小数或无限循环小数.或者说任何一个有理数都可以化为分数的形     

《实数》学习问答

1.什么是无理数?为什么要学习无理数?答:无限不循环小数,叫做无理数.理解无理数应注意:①是小数;②无限小数;③不循环.在数学实际中,人们碰到了开不尽的方根,如’!2,’!5等,还遇到了圆周率π等无限不循环小数.于是就将数进行了扩张,引进了无理数.从而可以解决正实数的开方和线段的度量等问题,如边长为1的正方形的对角线为’!2等.2.无理数和有理数有何区别,常见的无理数形式如何?答:无理数是无限不循环小数,而有理数是有限小数或无限循环小数(有理数都是整数或分数).有理数和无理数是两个互相独立的概念,有理数中没有无理数,无理数中也没有有…     

有关无理数的问与答

学生:无理数与有理数有什么区别? 老师:主要区别有两点:(1)把无理数与有理数都写成小数形式时,无理数能写成无限不循环小数.比如2~(1/2)=1.41421356…,π=3.14159265…等,根据这一点,把无理数定义为“无限不循环小数”;而有理数只能写成有限小数或循环小数,比如1/2=0.5,1/3=0.3,5/11     

“实数的概念”:折纸、拼图中发现,计算、比较中建构

无理数的产生源于生活的实际需要,无理数的发现是人类对数的认识的一次理性飞跃,无理数定义的发展说明了人们对任何新事物的认识都伴随着曲折往复而螺旋上升。从HPM的视角设计"实数的概念"的教学,通过对常见的A4纸长和宽的比值的探讨来引入,融入拼图活动来凸显2~(1/2)的几何意义,通过求近似值的计算来体验2~(1/2)是无限不循环小数,通过与有理数的区别来建构无理数的概念,播放微视频来展现无理数的历史。课后反馈表明,这样的教学实现了融入数学史的"知识之谐""文化之魅""探究之乐""德育之效"。     

一个可以写出不足近似值数列通项公式的无理数

给定一个数列,问能否写出它的通项公式?答案是:如果数列是有限数列,则一定可以写出它的通项公式;如果数列是无限数列,则不一定能够写出它的通项公式.例如由π的不足近似值数列构成的数列,直到现在尚未见到有人写出它的通项公式.于是问:是否存在可以写出不足近似值数列通项公式的无理数?答案是肯定的.下面就构造一个可以写出不足近似值数列通项公式的无理数.……     

实数新考题 学练两相宜

考点一：有理数、无理数和实数的概念 例1 （2008年．常州）下列实数中,无理数是（ ） A．√4 B．π/2 C．1/3 D．1/2     

利用有理数和无理数的性质解题

<正> 有理数和无理数的性质主要有: 1.两个有理数的和、差、积、商(除数不为零)仍是有理数; 2.任何一个非零有理数与一个无理数之积必是无理数;     

数之9（初一、初二、初三）

(4)不是由开平方得到的无理数 前面说到,开平方是无理数的一个来源.一个正有理数,对它开平方,如果开不尽,那么这个有理数的平方根是无理数.如我们已经熟悉的     

不要急着给π取值

在计算图形的面积和体积时,一般只要将各项数值代入公式就可以准确计算出结果,但是与圆形相关的一系列计算都绕不开一个棘手的问题,那就是圆周率π的近似值,因为π是小学生接触到的第一个无理数。给出在计算过程中对π的代换、抵消、简化的技巧,帮助学生正确认识π。     

透视2006年中考数学中的数与式

一、考查重点1.有理数(1)用数轴上的点表示有理数;比较有理数的大小;求一个数的相反数、倒数和绝对值.(2)进行有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算.(3)运用有理数的运算解决简单的实际问题.2.实数(1)用根号表示一个数的平方根、立方根.(2)用有理数估计一个无理数的大致范围.(3)进行有关运算并按问题的要求对结果取近似值.     

形如cos 2/7π cos 4/7π cos 6/7π(n∈N)的数都是有理数吗?

在《三角函数》教学中,总要遇到求cos2/7π cos4/7π cos6/7π和cos2/7π·cos4/7π·cos6/7π的值的问题。结果发现,cos2/7π、cos4/7π、cos6/7π这三个无理数的和与积分别等于-1/2和1/8,都是有理数。进而发现,     

e~(1/(m~(1/2)))、sin(1/(m~(1/2)))、cos(1/(m~(1/2)))都是无理数

当x是非零有理数时,e~x是无理数,已被数学家兰伯特(J.Lambert)于1771年证明.当x是无理数时,e~x是有理数还是无理数,至今无人解决.利用幂级数证明了e~(1/(m~(1/2)))、sin(1/(m~(1/2)))、cos(1/(m~(1/2)))(m=1,2,3,…)都是无理数.     

数之4(初二、初三)

7.无理数这一节要讲:无理数是怎样的数?无理数同有理数的关系?在数轴上如何表示无理数?要了解什么是无理数,先要了解平方和开平方运算.(1)开平方——无理数的一个来源我们在小学数学中学习了加、减、乘、除这四种运算.其中,加和减,乘和除分别是互逆的运算.对任意两个有理数作加、减、乘、除(除数不为0)运算中的任何一种,运算结果仍然是有理数.     

实数系中连续性的七个等价命题

实数在数学中是一个重要概念。在中学数学教材中给它下的定义是:有理数和无理数统称实数。那么何谓无理数?这在中学数学教材中是用否定形式来定义的,即:不是有理数的实数称为无理数。这对我们认识无理数无多大的帮助。其实要真正回答什么是无理数并不是一个简单的问题。它的严密回答,直到十九世纪后半,才由戴德金、康托等人得到。他们都是以有理数为基础得到无理数理论的,从而完成了实数构造理论。值得一提的是戴德金实数构造和康托实数构造是不同的,这两种构造都以有理数为基础,但戴德金实数是从数域的连续性要求出发用有理数分割来建立实数,     

实数学习指要

一、感受知识要点七年级数学从“数怎么又不够用了”把我们再一次带进了一个奥妙无穷的数字世界．我们已经知道了有理数的概念,现在我们又知道了无限不循环的小数叫做无理数．如面积为2的正方形的边长a是一个无理数,圆周率π也是一个无理数等．     

实数学习指要

一、感爱知识要点 七年级数学从“数怎么又不够用了”把我们再一次带进了一个奥妙无穷的数字世界。我们已经知道了有理数的概念，现在我们又知道了无限不循环的小数叫做无理数。如面积为2的正方形的边长a是一个无理数，圆周率π也是一个无理数等。     

无理数的大小比较及估算

自从“第一次数学危机”,即古希腊人希伯索斯发现了无理数以来,人们对无理数的探究就从来没有停止过.而比较两个无理数的大小,则是其中重要内容之一.无理数是无限不循环小数,所以无法直接写出某个无理数,人们想到了用符号准确地表示一个无理数,如:π,2等等,但这给比较它们的大小带来了一定的困难.那么,究竟如何比较两个无理数的大小呢?要比较两个无理数的大小,首先应明确以前学过的有理数大小比较方法对于实数也适用,即:(1)借助数轴:在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大;(2)根据数的符号性质:①正数大于零和一切负数,零大于一切负…     

赏析中考实数创新题

本文从2008年中考试题中精选几例有关实数的创新题,归类分析,以帮助同学们更好地学习实数的相关知识。一、开放题例1(四川省自贡市)写出一个有理数和一个无理数,使它们都是小于-1的数______。解析本题是一道与有理数和无理数有关的开放性试题,答案不唯一,只要符合小于-1这一要     

狄利克莱函数在分析中的应用

狄利克莱函数是著名数学家狄利克莱提出的一个函数 :D (x) =a,x为有理数 ;b,x为无理数 .其中 a,b为实数 ,a≠ b.在数学分析教学中 ,这个函数有着很独特的性质 ,在实际中有特殊的应用 .1　 D(x)是周期函数 ,任意有理数都是它的周期 .证 :设 T是任一有理数 ,则有x T=有理数 ,x为有理数 ;无理数 ,x为无理数 .从而 f (x T) =a,x为有理数 ;b,x为无理数 =f (x) .证毕 .此性质说明 ,周期函数中不存在有最小正周期的函数 .2　定义在全实轴 .在任意小的局部区间上都不具有单调性 .它在任意小的局部区间上总有无限多次 (在有理点处 )取值为 a,也有无…