△巧解因式分解题

上海市1985年初中数学竞赛出了一道这样的题:x~2y—y~2z+z~2x—x~2z+ y~2z+z~2y—2xyz因式分解后的结果是( ) (A)(y—z)(x+y)(x—z), (B)(y—z)(x—y)(x+z), (C)(y+z)(x—y)(x+z), (D)(y+z)(x+y)(x—z). 现在收到两位作者的来稿,用不同的方法解了这道题,现逐一介绍如下.     

关于5／121的猜想的证明

文[1] 猜想 51 2 1 =13 3 +11 2 1 +13 63 是 51 2 1 的第二类好表法 ,即其化为三个不同单位分数之和 ,其最大分母至少是 3 63 .本文予以证明 .引理 1　若 (m ,n) =1 ,且 nkm =1x +1y ,则m|xy .引理 2　若 (m ,n) =1 ,m为素数 ,nkm2 =1x +1y ,则m2 |x或m2 |y .猜想的证明 :用反证法 ,设有自然数x ,y ,z <3 63 ,使 51 2 1 =1x+1y +1z .①( 1 )若x ,y ,z中至少一数不被 1 1整除 ,不妨设为x ,则 ( 1 1 ,x) =1 ,从而 ( 1 1 ,5x -1 2 1 ) =1 ,可是由①得5x -1 2 1x -1 2 1 =1y +1z ,由引理 2知 ,1 2 1 |y或 1 2 1 |z ,不妨设 1 2 1 |y <3 63 ,则 …     

分式通分的技巧

例l计算击+击+丽2+面4一霄8.解:原式=去+南+丽4一霄8=霄4+面4一霄8=霄8一_88=0二、先分组后通分例2计算jX-r击+击一击.解:原州击一击)+(击一i2)=面4一再4=丢杀.三、先拆项后通分例3化简孟而一丽6+高.解:原削去一击)一(去一六)+(击一鬲1)10. Ⅱ一)n—l 俨,Ⅱ+1 驴l叶l四、先变序后通分例4计算赢+南+1j而·解:原式。乏筝(面十二再y丽+南:一!I!兰!一-+一 _y(!!! + 兰!苎二1 2(z-y)(y呵)0叫)’@了)(y叶)(z叫)。(z了)(y-~)(z-x)一叫(烨)70叫)叶(％-y)一n (z一',)(y-:)(Z-X) 一五、约简后通分例5黼硒丽x3-1一了x2+2丁x+l+鬲x-1解:原式=研(x-l丽)…     

学习乘法公式三注意

学好乘法公式的前提是掌握乘法公式的结构特征和理解公式中字母的广泛含义.此外,还要注意如下三点: 一、认准a、6,对号入座,正确运用公式例1 计算(—2x—y)(2x—y)。分析两因式中的—y完全相同,而—2x与2x是互为相反数,因而可运用平方差公式计算。—y是公式(a+6)(a-b)=a~2—b~2中的a,而2x则是公式中的b。     

美国《数学杂志》问题1714的再推广

美国《数学杂志》2005年二月问题征解1714:设m,n,x,y,z∈R+,且x+y+z=1,证明:44()()()()x ymx+ny my+nx+my+nz mz+ny421()()3()z+mz+nx mx+nz≥m+n.(1)文[1]将其推广为:设λ,ai∈R+(i=1,2,n),且1niia=∑=1,an+1=a1,则当k≥4或k≤0时,有321(1)(1)(1)nk kii i i i ia naλa aλaλ?=++∑++≥+.本文在文[1]的基础上对(1)式进行再推广:命题1设m,n,x,y,z∈R+,且x+y+z=1,α,β,γ∈R+,且α?(β+γ)=2,则()()()()x ymx ny my nx my nz mz nyαα+β+γ++β+γ1()()3()zmz nx mx nz m nα++β+γ≥+β+γ.命题2设m,n,x,y,z∈R+,且x+y+z=1,β,γ,l∈…     

用待定系数法探索不等式问题的解题思路

在解不等式问题时 ,调整系数、拆项、补项是常用技巧 .但调整系数、拆项、补项时 ,既要考虑不等式的结构 ,又要符合相关要求 ,难以直接确定 .此时若用待定系数法 ,就可兼顾几方面要求 ,只需求出待定系数就行了 .例 1　已知 :1≤ 3x+2 y≤ 3,2≤ x+3y≤5 ,求 5 x+8y的取值范围 .分析　用 3x+2 y及 x+3y将 5 x+8y表示出来是解题的关键 .设 5 x+8y=m(3x+2 y) +n(x+3y) =(3m+n) x+(2 m+3n) y(m,n为待定系数 ) .由 3m+n=5 ,2 m+3n=8,解得 m=1,n=2 .解　 5 x+8y=(3x+2 y) +2 (x+3y) ,∵ 2≤x+3y≤ 5 ,∴ 4≤ 2 (x+3y)≤ 10 .又 1≤ 3x+2 y≤ 3,∴ …     

spq多项式在数学竞赛中的应用

<正>令s=x+y+z,p=xy+yz+xz,q=xyz,则三元轮换对称式f(x,y,z)都可以用s,p,q表示。本文举例说明spq代换在数学竞赛中的应用。1一组常见的spq恒等式(1)x²+y²+z²=s²-2p;(2)(x+y)(y+z)+(y+z)(z+x)+(z+x)·(x+y)=s²+p;(3)x³+y³+z³=s³-3sp+3q;(4)(x+y)(y+z)(z+x)=sp-q;(5)xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)=sp-3q;(6)x²(y+z)+y² (z+x)+z² (x+y)=sp-3q;(7)x²y²+y²z²+z²x²=p²-...     

巧用乘法公式解计算题

乘法公式是初一代数中的重要内容之一 ,应用十分广泛 .现向大家介绍如何应用这些公式的一些常用的技巧和方法 .一、套用分清题目中那些数或式可以看作公式中的字母 ,对号入座 ,套用公式 .例 1　计算 :( 5x2 + 3 y2 ) ( 5x2 -3 y2 ) .分析　将 5x2 与 3 y2 分别看作为平方差公式中的a、b,直接套用平方差公式 .解　原式 =( 5x2 ) 2 -( 3 y2 ) 2=2 5x4-9y4.二、选用有的题目能用几个公式计算 ,这就需要仔细观察 ,全盘考虑 ,合理选用公式 ,才能使运算简便 .例 2　计算 :(x-1 ) (x+ 1 ) (x2 -x+ 1 ) (x2 +x+ 1 ) .分析　若先用平方差公式计算 ,则…     

二元一次方程组

二元一次方程组及其解法A组1.若 xm- 1- 8yn+ 1=- 1是二元一次方程 ,那么 m= ,n = .2 .验证x =2y =312和x =3y =2 12是不是方程 3x +2 y =13的解 .3.在方程组 ax - 3y =52 x + by =1里 ,如果 x =12y =- 1是它的一个 ,那么 3( a - b) - a2 的值为 (　　 )( A) 4 .　 ( B) 2 .　 ( C) - 4.　 ( D) - 2 .4 .若 5x2 ym与 4 xn+ m - 1y是同类项 ,则 m2 - n的值为 (　　 )( A) 1.　　　　 ( B) - 1.( C) - 3. ( D)以上答案都不对 .5.在下列方程组中 ,只有一个解的是 (　　 )( A) x + y =1,3x + 3y =0 .　　 ( B) x + y =0 ,3x + 3y =- 2 .( C…     

用化齐次法简证几道不等式

题目:设x+y+z=xyz,(x>0,y>0,z>0)求证:2(x2+y2+z2)-3(xy+yz+xz)+9≥0文[1]中用三角函数知识来证明,且证明繁琐,文[2]用换元的方法,然后利用第25届IMO试题的结论:若x≥0,y≥0,z≥0,且x+y+z=1,则xy+yz+xz-2xyz≤727来证明也是不简单,实际上利用拙文[3]中提出的证明不等式化齐次的策略可简单地给出证明.证明:因x+y+z=xyz,原不等式等价于2(x2+y2+z2)(x+y+z)-3(x+y+z)(xy+yz+xz)+9xyz≥02(x3+y3+z3)+2x(y2+z2)+2y(x2+z2)+2z(x2+y2)-3x(y2+z2)-3y(x2+z2)-3z(x2+y2)-9xyz+9xyz≥02(x3+y3+z3)-x(y2+z2)-y(x2+z2)-z(x2+y2)≥0(x+y)(x-y)2+(y+z)(y-z…     

例谈内切圆代换下的不等式证明

△ABC的内切圆、外接圆半径分别为r,R,大家知道有著名的Euler公式:R≥2r. 上述公式证明方法有多种,本文将给出△ABC中内切圆代换下的证明. 为此,我们先给出有关内切圆的一些基本知识点,这些在不等式证明中时是极其有用的. 如图1,设a=x+y,b=y+z,c =z + x,△ABC的内切圆、外接圆半径分别为r,R,面积为S,半周长p=a+b+c/2=x+y+z,由海伦公式知S=√p(p-a)(p-b)(p-c) =√xyz(x+y+z),注意到S=pr=a+b+c/2 r,故r=S/P=√xyz/x+y+z,而S=1/2absinC=abc/4R,故R=abc/4S=(x+y)(y+z)(z+x)/4√xyz(x+y+z),故=R/2r=(x+y)(y+z)(z+x)/8xyz≥8xyz/8xyz=1,故R≥2r.     

提取公因式易犯的八种错误

■一、有公因式不提例1 分解因式8x3 - 32xy.错解:原式=x(8x2- 32y).例2 分解因式4x2yz + 16y2.错解:原式=4(x2yz+ 4y2).评析:提取公因式时,既要提取相同字母的最低次幂,也要提取各项系数的最大公约数,因为公因式包括公因数,否则,都是不正确的.正解:1.原式=8x(x2- 4y).2.原式= 4y(x2z + 4y).■二、公因式提不尽例3 分解因式3x(m - n) - 6y(n - m).错解:原式=3[x(m -n) - 2y(n - m)]=3(mx - nx - 2ny + 2my).评析:公因式既可以是单项式也可以是多项式,n - m可变形为- (m - n),因此,上题中的公因式应为3(m - n).正解:原式=3x(m - n) + 6y( …     

乘法公式的巧用

乘乘法公式是由形式特殊的多项式相乘总结出来的规律,共有两种:1.平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2.2.完全平方公式(1)完全平方(和)公式(a+b)2=a2+2ab+b2.(2)完全平方(差)公式(a-b)2=a2-2ab+b2.利用乘法公式进行计算可大大提高运算速度,它的应用非常广泛.下面举例说明乘法公式的巧妙运用.一、巧换位置例1计算(-3t+4)2.解:原式=(4-3t)2=16-24t+9t2.二、巧变符号例2计算(-2a-3)2.解:原式=[-(2a+3)]2=(2a+3)2=4a2+12a+9.三、巧变系数例3计算(2x+6y)(4x+12y).解:原式=2(x+3y).4(x+3y)=8(x+3y)2=8(x2+6xy+9y2)=8x2+48xy+72y2.四、巧变指数例4计算(a+1)…     

多项式x~3 y~3 z~3-3xyz的分解及其应用

多项式护 y“十z“一3xyz分解方法如下: x“ y3=(x Jr)3一3xy(x y) (x y)3 23=(x y z)〔(x y)2一(x y)z 22〕 故有x3 y3 23一3xyz=(x y)3一3xy(x y) 23一3xyz =(x y z)〔(x y)2一(x y)z 22〕一3xy(x y z) =(x y z)(xZ yZ 22一xy一yz一xz) 即:x3七y3 23一3xyz=(x 了 z)(xZ yZ 22一xy一yz一xz) 如在复数范围内还可继续分解为: x3 y3 23一3xyz=(x y z)(x 。y 。22)(x 。Zy 。z) .。是1的三次虚根(1)式是个很重要的公式,应用广泛,现仅举几例说明之。 1.因式分解 公式(1)中如果x y z=0,则(1)式变为 x3 y3 23二3xyz(3)式说明:任意三数之和如为0…     

“根式大小比较”的非常规方法例谈

初中数学竞赛中根式大小比较的非常规方法主要有以下几种 :1　恰当放缩例 1　比较 2 3x+ 5- 2 3x与 53x 的大小 .( 1999年重庆市初中数学竞赛题 )导析　因为 2 3x + 5- 2 3x =( 2 3x+ 5- 2 3x) ( 3x+ 5+ 3x)3x+ 5+ 3x =103x + 5+ 3x <103x + 3x =53x,所以 23x + 5- 2 3x <53x.2　巧取特殊值例 2　已知a >b>c >d >0 ,且x =ab+cd ,y =ac +bd ,z =ad +cd ,则x、y、z的大小关系为 (　 )(A)x 相似文献   

例说换元法分解因式

对于比较复杂的多项式分解因式,运用换元法可使多项式中的数或式的关系明朗化,使问题化难为易、简洁清晰.例1 分解因式(x~2+x+3)(x~2-6x+3)+12x~2.解设 x~2+3=y,则原式=(y+z)(y-6x)+12x~2=y~2-5xy+6x~2=(y-2x)(y-3x)=(x~2-2x+3)(x~2-3x+3).例2 分解因式(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)-120.解由于(x-1)(x-4)=x~2-5x+4,(x-2)(x-3)=x~2-5x+6,     

一道竞赛题的推广及简证

文 [1]用函数性质证明了第 31届西班牙数学奥林匹克第 31题 :如果 (x+x2 +1) (y+y2 +1) =1,那么 x+y=0 .该题可作如下的推广 :如果 (x+x2 +m) (y+y2 +m) =m,其中 m∈ (0 ,+∞ ) ,那么 x+y=0 .下面用构造法给出简证 .思路 1——构造对偶式证明 1　由已知 ,m>0 ,(x+x2 +m ) (y+y2 +m) =m,1令 (x- x2 +m) (y- y2 +m) =n,21× 2得 (- m) (- m) =mn,∴ n=m,即有 (x- x2 +m) (y- y2 +m) =m.3由 1得 x+x2 +m=my+y2 +m=- (y- y2 +m) . 4由 3得 x - x2 +m =my- y2 +m=- (y+y2 +m) . 54 +5得 2 x=- 2 y,∴x+y=0 .思路 2——构造等比数列证明 2　 m >0 …     

代数式(之七)

代数式之3:练习 1.三位自然数的百位上的数字是x,十位上的数字是O,个位上的数字是5. (l)用a的代数式表示这个三位数; (z)根据公式(a+b)2,写出这个三位数的平方的表达式; (3)现察(2)的结果有什么规律?然后根据这个规律直接写出以下三个平方数的结果: 2052;3052;8052. 2.各设计一个图形,分别说明以下的等式: (l)(m+。)(a十b)=、+赫+、+动; (2)(m+n)(m一n)=mZ一nZ; 3.计算(a一b)“一(a3一b3)+3ab(a一b). 4.当m~854,n一848时,求下面代数式的值: m3一3mZn+2n2(m一n)+mnZ十n3. 5.将下面的代数式写成最简单的形式: (l)9一6a+aZ=; (2)l+3x+3x2+x3…     

数学系列知识竞赛(9)

1.已知a=2,6=3,则( ).A.ax3y2和6m3n2是同类项B.3xny3和bx3y3是同类项C.6x(2n+1)y4和ax5y(b+1)是同类项D.5m2bn(5n)和6n(2b)m(5a)是同类项2.已知x和y满足2x+3y=5,则当x=4时,代数式3x2+12xy+y2的值     

整式的乘除

基础篇课时一　整式的乘法诊断练习一、填空题1.210.(-0.5)10=.2.(-2.4x2y3)(-0.5x4)=.3.a3.a3+(a3)2=.4.(-2a)(3-a)=.5.(a+2b)(a-3b)=.二、选择题1.10m.10n等于(　　)(A)100m+n.　　　　(B)100mn.(C)10m+n.(D)10mn.2.计算(x4)2+(x5)3得(　　)(A)2x8.　　　　　　(B)x23.(C)x8+x15.(D)2x15.3.(-an-1)2等于(　　)(A)-a2n-1.(B)a2n-1.(C)a2n-2.(D)-2an-1.4.单项式8a3b3与(-2ab)3的积是(　　)(A)-16a6b6.(B)16a6b6.(C)-64a6b6.(D)-48a6b6.三、解答题1.计算:(1)(-35a2x)(-23bx5)2.(2)5x(x2+3x-1)-(2x+3)(x-5).2.化简并求值:(y-1)(y2-6y-9…