运用对偶思想巧解问题

对偶思想是指,在求解数学问题时,根据题目中一个式子的结构特征,构造一个与之地位完全相伺,彼此间存在内在联系的对偶式,通过二者的协同作用,从而使问题获得巧妙解答.下面介绍几种常用方法,供参考.一、倒序对偶.把已知式的各部分施以倒序调节,所得式子称为已知式的倒序对偶式,再把它们对应部分相加(或相乘),促使问题解决.例1.证明:C_n~1 2C_n~2十3C_n~3十… nC_n~n=n·2~(n-1)证明:设M=C_n~1 2C_n~2 3C_n~3 … (n一1)C_n~(n-1)十nC_n~n,其倒序对偶式为:M’=nC_n~n (n-1)C_n~n (n-2)C_n~(n-2) … C_n~1两式相加得2M=nC_n~n nC_n~(n-1) nC_n~(n-2) … nC_n~1 nC_n~n=n(C_n~n C_n~1 C_n~3 … C_n~n)=n·2~n,∴M=n·2~(n-1).例2.求M=(1 tg1°)(1 tg2°)……(1 tg44°)的值解:注意到1° 44°=2° 43°=…=45°可构成M的倒序对偶式M’,M’=(1 tg44°)(1 tg43°)……(1 tg2°)(1 tg1°),两式相乘得:     

三角形两个性质的一般性推广

文[1]和文[2]对三角形的重心和内心进行了探究,得到了优美的性质.笔者在此基础之上进行了一般性的推广,写成下文,供同行们参考.性质1如图1,已知点O是△ABC内一点,且满足λ_1 (?) λ_2 (?) λ_3 (?)=O,过O作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点,且(?)=m(?),(?)=n(?),则λ_2/m λ_3/n=λ_1 λ_2 λ_3.     

用Sn=an~2+bn解等差数列问题(高一、高二、高三)

若等差数列{an)的前n项和为Sn,公差为d, 则Sn=na1 1/2n(n-1)d =d/2n2 (a1-d/2)n. 令a=d/2,b=a1-d/2,于是Sn=an2 bn(n=1,2,…). 例1 等差数列的S10=20,S20=60,则S30的值是____. (第四届93年“希望杯”高二1试) 解设前n项和Sn=an2 bn,由题设有(?)20=100a 10b,60=400a 20b.解得(?)a=1/10,b=1. 所以S30=900×1/10 30=120. 例2 已知数列{an)为等差数列,若     

第2类Stirling数Bernoulli数与Euler数的解析表示式

本文给出第2类Stirling数,Bernoulli数与Euler数的解析表示式: s_2(m+1,n)=(-1)~n/n1 sum form j=1 to n(-1)~j(?)_j~(-m+1) B_n=sum form k=1 to n 1/(k+1) sum form j=1 to k (-1)~j(?)_j~(-n) E_(2n) =1/(2n+1)[sum from p=0 to n-1 sum from k=1 to 2(n-p) sum from j=1 to k (-1)~(j-1)/(k+1)·(?)(?)(4j)~2(n-p)+4n+1]因此解决了它们的计算问题。     

递推式求数列通项公式常见类型及解法

对于由递推式所确定的数列通项公式问题,通常可通过对递推式的变形转化成等差数列或等比数列,也可通过构造把问题转化.下面分类说明. 一、an 1=an f(n)型例1 在数列{an}中,已知an 1=2n 1·an/an 2n=1,a1=2,求通项公式. 解:已知递推式化为1/an 1=1an 1/2n 1,即     

说说径弦三角形

1.径弦三角形释义例1如图1,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图1中(?),点0是(?)的圆心)其中CD=600m,E为(?)上一点,且OE⊥CD,垂足为F,EE=     

一个有用的向量命题

命题:在△ABC中,设D是BC的中点,则(?)=1/2((?) (?)).证明:如右图所示.由(?)=(?) (?),(?)=(?) (?),得2(?)=(?) (?) (?) (?).又D是BC中点,得(?) (?)=0.     

一道例题条件的补充

统编教材高中数学第四册p.87,例5: 求证当n为实数时, (x~n)′=nx~(n-1)。其证明如下: ∵x~n=(e~(n(?)n))~n=e(n(?)nx), ∴y=(e~(n(?)n)=e~(n(?)n(?))(nlnx) =e~(n(?)n(?)·n·1/x, =x~n·n·x~(-1)=nx~(n-1)。即(x~n)=nx~(n-1)。由于此例缺少一个必不可少的条件,因而上面的证明就使人难以置信。问题就出在x~n=(e~((?)nx)~n上,这里利用了对数恒等式:     

有变阻器的电路分析

[例1]电路如图(1)所示当P向左滑动过程中,电压表(?),电流表(?)的示数如何变化?分析:定值电阻R和滑动变阻器R’是串联的,电压表(?)测R两端电压U’,电流表(?)测串联电路中电流.由于P向左滑动使R’变小.R与R’串联,所以总电阻也变小.根据欧姆定律I=U/R,U是不变的(电源电压),总电阻变小,所以电流变大,即(?)变大.由于R始终不变,所以根据U=IR知U变大。即(?)变大。     

数学审美与解题

一、对称美的利用 例1.求sin10°sin30°sin50°sin70°的值。 考虑到sinαcosα=1/2sin2α,可用它的对称式(对偶式)助解:令x=sin10°sin30°sin50°     

简讯

按照国家质量技术监督检验检疫总局、教育部的要求,本刊将率先使用 国家新增数学标准符号.这些新增的数学符号是:1.圆弧的度量符号.规 定圆弧AB的度数记作(?),弧AB的长度记作(?).2.二面角、n面角符 号.分别规定(?)为二面角符号、(?)为n面角符号,如二面角α-α-β,记为     

巧用对偶式妙解难题

数学上有些题目初看上去很难,但只要有针对性的巧用对偶式,就可迎刃而解。一、巧用共轭构造是指利用共轭根式、共轭复来构造起对偶式例1.已知a>0,b>0,且a b=1,求证:!2a 1 !2b 1≤2!2解:令A=!2a 1 !2b 1,构造其共轭对偶式B=!2a 1-!2b 1,则有A2≤A2 B2=4(a b) 4=8A≤!8所以A≤2!2     

Mitrinovic-Dj okovic不等式的进一步推广

引言在[1]中,Mitrinovic与Dj okovic建立了如下不等式sum from i=1 to n (x_1+1/x_1)~a≥(n~2+1)~a/n~(a-1)其中x_1,…,x_(?),a＞0,x_1+…+x_n=1．在上式中令a=2、n=2,即得到Hardy的一个不等式     

导数应用中的五个误区

导数作为一种工具,在解决数学问题时应用极为方便.尤其是利用导数可以求导数的单调性、极值、最值以及曲线的切线.但在学习的过程中由于概念不清而导致错误的情形也时常发生.本文拟对导数应用中常见的误区作一个简单的剖析.一、极值的条件理解不清例1函数f(x)=x~3+ax2+bx+a~2在x=1处有极值10,求a、b.误解f′(x)=3x~2+2ax+b,由题意知(?),即(?),解得(?),或(?)     

构造对偶式解题的七种途径

构造对偶式解题是一种常用的方法 ,是指挖掘出题目中潜在的对称性 ,充分利用对称原理 ,就能在纷繁的困惑中 ,求得简捷的解法 .下面例谈构造对偶式解题的若干途径 ,供参考 .一、互倒构造是指利用倒数关系构造对偶式 .例 1　若ｘ、ｙ、ｚ∈ (0 ,1 ) ,求证 11 -ｘ ｙ 11 -ｙ ｚ 11 -ｚ ｘ≥ 3 .证明　设Ｍ =11 -ｘ ｙ 11 -ｙ ｚ 11 -ｚ ｘ,构造互倒对偶式Ｎ =(1 -ｘ ｙ) (1 -ｙ ｚ) (1 -ｚ ｘ) ,则Ｍ Ｎ =11 -ｘ ｙ (1 -ｘ ｙ) 11 -ｙ ｚ (1 -ｙ ｚ) 11 -ｚ ｘ (1 -ｚ ｘ) ≥ 2 2 2 =6.而Ｎ =3 ,故Ｍ≥ 3 .即　 11 -ｘ ｙ 11 -ｙ …     

欧几里得空间的超二次曲面

通常,R~n表示实的n维向量空间,(?)=(v_1,v_2,…,v_n)是它的元素即向量.R~n中两向量(?),(?)按熟知方法定义内积(?)·(?),就得n维欧几里得空间,仍用R~n表示之,井也称n—实数组(X_1,X_2,…,X_n)为R~n中点的笛卡尔坐标.R~n中的超二次曲面是     

解数列题应掌握的8种解题思想

一、方程思想. 例1 等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10=30,a20=50. (Ⅰ)求通项an; (Ⅱ)若Sn=242,求n. 解析(Ⅰ)由an=a1+(n-1)d,a10=30, a20=50,得方程组(?)a1+9d=30,a1+19d=50. 解得a1=12,d=2.所以an=2n+10. (Ⅱ)由Sn=na1+(n(n-1))/2d,Sn=242 得方程12n+(n(n-1)/2×2=242. 解得n=11或n=-22(舍去). 二、函数思想.     

放出容易收回难克服定势寻它法

例1 （2009年全国高考陕西卷文21变式）已知数列{an}的前n项和为Sn,满足a1=1,a2=2,Sn＋2=Sn＋3an＋1＋an/2,n∈N^＊.     

不等式Пi=1^n（1/xi-xi）≥（n-1/n）^的一般化和初等证明

文[1]提出一个猜想:设xi>0(I=1,2,…,n),n≥3,n∑I=1xi=1,则∏n I=1(1/xi-xi)≥(n-1/n)n①. 文[2]用逐步调整法证明了①式.文[3]细致地探讨了①式的证明策略,用拆项法和磨光变换对①式给出了两种初等证明.     

分式拆项技巧归纳

学习了分式的加减运算,我们可以验证以下等式的正确性,即m+n/mn=1/n+1/m,1/n（n+1）=1/n-1/n+1,m/n（n+m）=1/n-1/n+m,2/n（n+1）（n+2）=1/n（n+1）-1/（n+1）（n+2）,n/2ⁿ=2（n+1）-（n+2）/2ⁿ=n+1/2^n-1-n+2/2ⁿ.熟练运用以上恒等式及平方差公