构造图形巧证不等式一例

本刊于94年第7期上曾讨论了不等式“设X≥0,求证 (2 x)/(1 x)((1/2)(1 x)~2)≥2((1/2)2)。”的几种证法。现通过构造图形再给出两个证法。 证法1 如图,构造边长为2的正方形ABCD,点O是中心,延长BC至点E,设CE=x,过E,O的直线交AB于点N,过点O作OM∥AB,交BC于点M,取EN的中点F,连结BF和BO。易知EM=1 x,EB=2 x,OM=1,OB=(1/2),EO=(1/2)(1 (1 x)~2,BF=1/2EN。∵OM∥NB,∴EM/EB=EO/EN,即(1 x)/(2 x)=((1/2)(1 (1 x)~2))/EN。     

证明带系数等积式的分析思路

证明线段等积式是平面几何的重要内容,也是学习的难点.当等积式中有一项的系数不为1,这就更增加了证明的难度.如何处理式中不为1的系数,这是证题的关键.本文介绍一种根据数字信息,证明带系数线段等积式的方法. 例题已知 PA、PB与⊙O相切于A、B两点,AC是⊙O的直径.求证:AB·AC=2PA·BC. (2002年湖北省襄樊市中考题) 分析:先将求证等积式中的系数“2”作如下变换(转化成     

实验探究一道中考平面几何题的题源

<正>1问题展示问题如图1,正六边形ABCDEF的边长为a,P是边BC上一动点,过P作PM∥AB交AF于点M,作PN∥CD交DE于点N,(1)1∠MPN=°;2求证:PM+PN=3a;(2)如图2,点O为线段AD的中点,连接OM、ON,求证:OM=ON;     

奇妙的“e^2—1”

大家都知道,圆具有如下性质:“如果AB是圆O的任意一条弦,M为AB的中点,那么AB上 OM,用‘斜率’的语言来叙述,即k_(AB·k_(OM)=-1.”其实,一般有心二次曲线均有类似的性质,用命题分述如下: 命题1:如果AB是椭圆x2/a2+y2/b2=1的任意一条弦,O为椭圆的中心,e为椭圆的离心率,M为AB的中点,即k_(AB)·k_(OM)=e2-1. 命题2:如果AB是双曲线x2/a2-y2/b2=1的任意一条弦,O为双曲线的中心,e为双曲线的离心率,M为AB的中点,即k_(AB)·k_(OM)=e2-1. 下面给出命题1的证明(命题2同理可证)     

联系教材中习题解题

几何第二册P·67第20题: 已知:如图1,△ABC中,DE∥BC,BE与CD交于点O,AO与DE、BC分别交于点N、M,求证: AN/AM=ON/OM. 简证:∵ DE∥BC, ∴ AN/AM=AD/AB=DE/BC =EO/BO=ON/OM. 受上题启发可以解某些竞赛题. 例1 四边形两组对边延长后分别相交,且交点的连线与四边形的一对角线平行,证明另一条对角线的延长线平分对边交点连成的线段. (78年全国中学数学竞赛决赛试题) 如图1.已知四边形ADOE的两组对边延长后得     

数学奥林匹克问题

初23.已知CD为Rt△ABC斜边AB上的高,⊙O_1和⊙O_2分别为△ADC,△BDC内切圆,AC切⊙O_1于点P,BC切⊙O_2于点Q,AO_1,B0_2交于点O,OM⊥O_1O_2于点M。求证:∠O_1PM ∠O_2QN=45°。     

一道几何题的联想

已知:如图,△ABC中,DE∥BC,BE与CD交于点O,AO与DE、BC分别交于点N、M,求证: AN/AM=ON/OM(第二册几何67页20题) 简证:∵DE∥BC,∴AN/AM=AD/AB=DE/BC=EO/BO =ON/OM 联想一上题还可得出两个结论:M为BC中     

一道课本例题的演变

人教版几何第三册 72页有这样一道例题 :如图 1 ,点O是∠EPF的平分线上的一点 ,以点O为圆心的圆和角的两边分别交于点A、B和C、D .求证 :AB =CD .证明　分别作OM ⊥AB ,ON⊥CD ,M、N为垂足 ,∴∠MPO =∠NPO ,∴OM =ON ,∴AB =CD .在这个例题中 ,如果把点P看作是运动的点 ,它与圆的位置关系就有三种 :①点P在圆外 ;②点P在圆上 ;③点P在圆内 .因此就可以得到这样一个题目 :点P与⊙O的位置关系有三种 :如图 2、3、4所示 .图中PC经过圆心 ,且∠APC =∠BPC .求证 :PA =PB .分析　本题中的三种位置关系体现了运动变化的观…     

一道课本例题的引申与运用

题目如图1,⊙O1与⊙O2外切于点A,BC是⊙O1和⊙O2的公切线,B、C为切点.求证:AB⊥AC.作两圆的内公切线,即何证明本题.如果把此题作为“基本     

1997年高中联赛二试(1)题另解

题目:如图,已知两个半径不相等的⊙O_1与⊙O_2相交于M、N两点,且⊙O_1、⊙O_2,分别与⊙O内切于S、T两点,求证:OM⊥ MN的充分必要条件是S、N、T三点共线。 证法一:(姜     

数学问题与解答 2011年第8期问题解答

831.△ABC内存在点O,使∠BOC=90°及∠BAO∠BCO,点M和N分别是边AC和BC的中点.求证:∠OMN=90°.(050047河北省石家庄市王玉怀供题)证:设点D是点C关于O的对称点(如图1).由条件OM和MN分别是△ADC和△ABC的中位线,所以OM//DA,MN//AB.由此知∠OMN=∠BAD.     

构造法解(证)不等式

构造法就是根据某种需要 ,把题设条件或求解结论设想在某个模型上 ,通过对新设想模型的研究推出求解结论的解题思想方法 .本文通过范例说明构造法在解 (证 )不等式中的巧妙应用 .1　构造图形许多数学问题从形式上看 ,条件与结论间的关系不易寻求 ,若能针对题目特点 ,构造相关的图形 ,则问题往往变得直观易解 .例 1　若x1和x2 的绝对值≯ 1 ,求证1 -x21 1 -x22 ≤ 2 1 - ((x1 x2 ) /2 ) 2 .证　作单位圆x2 y2 =1 (如右图 ) ,x1=OM1,x2 =OM2 ,则1 -x21=|M1N1|,1 -x22 =|M2 N2 |.取M1M2 的中点M ,则 (x1 x2 ) /2 =OM ,1 - ((x1 x2 ) /2 …     

一道高考压轴题的源与流

<正>题目(2016年四川高考题)已知椭圆E:x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P(3~(1/2),12)在椭圆上.(1)求椭圆E的方程.(2)设不过原点O且斜率为1/2的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM与椭圆E交于C,D,求证:MA·MB=MC·MD.这是一道文科数学高考题,第(2)问表述非常平和朴实,亲切自然,以学生熟悉的直线和椭圆相交为载体,考查椭圆中相关问题的证明.着重考查学生对解析几何本质的理解,     

中考几何题的新动向

纵观 2 0 0 2年江苏各地的中考试题 ,出现了一大批富有时代气息的几何试题 .这些试题构思独特 ,结构新颖 ,既利于初中数学教学 ,又利于为高一级学校选拔人才 .加强这些试题的研究 ,对于指导中考复习 ,能起到事半功倍的作用 .下面选取几个试题以飨读者 .1　方程和方程组在几何中的应用图 1例 1　已知 :如图 1,⊙ O1 与⊙O2 相交于点 A,B,过点 A的直线分别交⊙ O1 ,⊙ O2于点 C,D.E为AC上一点 ,直线 BE交⊙ O2 于点 F,交 AC于点 G.(1)求证 :CE∥ FD;(2 )若 E为 AC的中点 ,求证 :△ ECG∽△EBC;(3 )在“(2 )”的条件下 ,当 GFDF…     

一个不等式的推广

本刊1984年第1期在一个不等式的讨论,一文中对吧知a>。,b>。,且叶b司,求证{叶粤丫 一,-一--一、O/ /.1、2_25…_._、__‘~‘_ (“ 言)一》管’作了推广·木文打算对‘已知0>0,,、‘一.,‘、、~/.1、/,.!、_25.b>”,且。 b一l,求证戈“十刻又“十言)》了这道流行题目作一般的推广. 命题,已知山>0(i司,2,…,的,且艺山司, .,1这里”是自然数,求证二(nZ 1),。2十:{ 了(nZ”,).》(”2 1).,勺丽确平二一(·十静.用类似的方法可以证明命题2已知。>“(‘二‘,2,·,n),且习。,一S .fl(·汁会)》(· 青)’,这里。是自然数,S是常数,求证证明…。>“(…     

一道全国初中几何赛题的四种证法

1996年全国初中数学联合竞赛第二试第2题为:“设凸四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M,过点M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F,交BC的延长线于点O,P是以O为圆心OM为半径的圆上一点(位置如图所示),求证:∠OPF=     

赛题研究

题目如图1,⊙O1、⊙O2在⊙O内滚动且始终保持与⊙O内切,切点分别为P、Q,MN是⊙O1和⊙O2的外公切线．已知⊙O1、⊙O2、⊙O的半径分别为r1、r2、R．求证：MN2/PQ2为定值．     

一题多解,活跃思维

例直线l:y=-1/2x 2与椭圆(x2)/(a2) (y2)/(b2)=1交于A、B两点,O为坐标原点,M为线段AB的中点.若|AB|=5~(1/2),直线OM的斜率为1/2,求椭圆的方程.     

一个数学问题的简证

问题：⊙O1、⊙O2内切于P，⊙O1的弦AB切⊙O2于C，设⊙O1、⊙O2的半径分别为R、r，求证：AC^2/AP^2=R-r/R。     

数学教学中的变式与创新

“新”与“旧”是相对的,创新要以一定的旧知识、方法和能力为前提,没有“旧”也就没有创新。因此,在教学过程中,教师应注重有关知识、方法、能力和数学思想的复习,选准“新”的生长点,利用“变式”为创新做好铺垫。例1(1)如图1所示,AB、AC是⊙O的两条弦,OA平分∠BAC。求证:AB=AC。(2)如图2所示,点A是⊙O外任意一点,过A作直线AB、AC,两直线分别交⊙O于D、B和E、C,且使OA平分∠BAC,求证:BD=CE。(3)如图3所示,点A是⊙O内任意一点,过A作直线AB和AC分别交⊙O于B、E和C、D,并使OA平分∠BAC。求证:BE=CD。利用上面这组变式…