巧用均值不等式解题

~~巧用均值不等式解题$安徽省萧县黄口中学@王冠中~~     

均值不等式小析

文[1][2]先后给出形如y=f(x)+1/f(x)(f(x)>0)的函数最值的两种求法,且指出若f(x)=1/f(x)无解,则不能应用均值不等式来确定f(x)=1/f(x)的最小值.笔者认为这一方法可以推广至更复杂的情形.现举数例予以说明,同时给出此类问题的较为一般的结论.     

巧用均值不等式证明一类分式不等式

若x、y∈R+ ,则x +y≥ 2 xy　 ( ) ,这是众所周知的均值不等式。本文利用不等式 ( )给出一类难度较大的分式不等式的简捷证明 ,相信能够引起众多中学生的浓厚兴趣。例 1　已知a>1 ,b>1 ,求证　 a2b-1 +b2a -1 ≥ 8。(第 2 6届独联体数学奥林匹克试题 )证明　据不等式 ( )得a2a -1 =(a -1 ) +1a -1 +2≥ 4,同理有　 b2b-1 ≥ 4,∴ a2b-1 +b2a-1 ≥ 2 a2b-1 · b2a-1 ≥ 2 4·4=8。例 2　设α、β、γ为锐角 ,且sin2 α +sin2 β +sin2 γ =1 ,则有　sin3αsinβ +sin3βsinγ+sin3γsinα≥ 1。( 1 994年《数学通报》第 1 0期问题栏 91 2…     

在均值不等式中的巧用

我们可把实数x表示为x=x·1·1·1·…·1,也可将正整数x表为x=1 1 … 1.基于这个事实,就可巧妙用“1”来解决均值不等式中的证明与求最大值、最小值等一系列问题.     

运用均值不等式解题误区例析

均值不等式在解题中应用十分广泛,但部分同学对利用均值不等式求最值的条件(一正、二定、三相等)认识不足,导致解题失误.本文举例说明应用均值不等式求最值应注意的问题.     

例谈巧用均值不等式的基本策略

<正>均值不等式是最重要而基本的不等式之一,应用极其广泛,巧妙地运用均值不等式常能使许多问题得到漂亮的解决,产生意想不到的效果.均值不等式也是历年来高考和数学竞赛中必不可少的内容.在运用均值不等式时需注意同时满足以下三个条件:(1)各项均为正数;(2)和或积为定值;(3)具有等号成立的条件.但要灵活运用均值不等式,有时还需要熟练掌握一些"诀窍"和"技巧".宋廷福(2004)提出四条均值不等式的常     

用均值不等式证明无理不等式和分式不等式例析

均值不等式是我们证明不等式最有力的基本工具.本文从数学思想的角度,例谈均值不等式在证明无理不等式和分式不等式中的应用.1 换元后使用均值不等式在高考和竞赛中,对分式不等式和无理不等式的证明,命题者往往情有独钟,屡见不鲜,由于分母或根式中是多项式,常常使学生束手无策,往往求助于放     

用均值不等式证明无理不等式和分式不等式例析

均值不等式是我们证明不等式最有力的基本工具．本文从数学思想的角度,例谈均值不等式在证明无理不等式和分式不等式中的应用．[第一段]     

巧用均值不等式证明数学奥林匹克不等式题

<正>均值不等式是一个应用非常广泛的不等式,在证明不等式问题时,为了创设使用均值不等式的条件,常常需要对题中的式子作适当的变形,而变形的出发点又常常是在兼顾所给条件的基础上注意不等式的取等条件．例1 （2022年香港数学奥林匹克试题）     

巧用均值不等式求最值

<正>运用均值不等式是求最值的一种常用方法,但由于其约束条件“苟刻”(一正,二定,三相等),往往不能直接运用,要经过恰当地处理后才能运用.本文就此举例说明.     

巧用均值不等式求最值

文[1]用向量和导数求最值,读后受益匪浅．感觉构造向量和求方程f′（x）=0的根是难点,学生不易把握．均值不等式是高中数学必修内容,是数学中最重要的基本不等式之一,也是人们最为熟悉的不等式．在求最值方面,均值不等式的工具作用应引起师生足够重视．下面用均值不等式结合待定系数法或分母换元解文[1]中的几个例题．     

巧用均值凑数证明一类不等式

高中教材中的基本不等式(a b)/2≥ab~(1/ab)(a≥0,b≥0)是证明不等式时经常要用到的,取等号的条件是“a=b”,我们称之为“元等”。若对于a b＝p(定值)当且仅当a=b＝p/2(定值)时,ab~(1/ab)才取得最大值。利用这一结论,我们可以证明一类不等式:     

例析均值不等式的两种典型应用

均值不等式是高中数学中非常重要的一个不等式类型,要求学生能利用均值不等式a+b≥2√ab,已知a与b的积为定值会求a+b的最值;能充分理解均值不等式的适用条件"一正二定三相等".本文将通过举例来说明如何灵活利用均值不等式求函数的最值.     

运用均值不等式解决最值问题例析

函数的最值问题一直是近几年来高考的热点之一,而利用均值不等式求函数的最值是最为常见、应用十分广泛的方法之一.本文列举数例供参考.一、构造函数,创造运用均值不等式求最值的条件例1(2006年福建省高考题)统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y(升)关于行驶速度     

巧用均值不等式妙解物理极值题

定理 如果ab∈R,那么a^2＋b^2≥2ab．（当且仅当a=b时取等号） 推论 如果ab∈R^＋,那么a＋b/2≥√ab．（当且仅当a=b时取等号） 上述内容在数学中称为“均值不等式定理”,是不等式中的一个重要结论．值得注意的是,在高中物理很多涉及到极值的问题中,都有令人惊奇的妙用．     

巧用均值不等式,妙解数学高考题

均值不等式是高中数学不等式的重要分支,是历年高考的命题热点和重点考查内容之一,题型以选择题、填空题为主,有时候也会出现解答题,新课标高考加大了考查数学思想和方法的力度,使问题的求解有了一定的灵活度和难度,并且经常会推陈出新,给考生留下深刻印象。为此,本文就均值不等式搭桥,妙解数学高考题例谈如下,以飨读者。一、直接套用,简化过程例1（2010年浙江文）若正实数x,y满足2x＋y＋6=xy,则xy的最小值是____。     

巧用均值法证明不等式举隅

均值不等式ab≤a2 b2/2由于其变形灵活,使用时技巧性强,从而成为不等式证明的一大亮点.本文撷取几例,以示其魅力.