已知梯形的四边长求面积

若已知三角形的三边长为a、b、c,求三角形的面积,则可用海伦公式 S=√p（p-a）（p-b）（p-c）（其中p=2^-a＋b＋c）,在梯形中,若已知四边长,也可求出梯形的面积．现介绍如下：     

从一道竞赛题谈起

1999年 1 2月第十四届江苏省初中数学竞赛中有一道试题 ,该题内容新颖 ,构思巧妙 ,解法多样 ,思路宽广 ,富有启发性 ,很受参赛者和辅导老师的欢迎 .该题是 :已知 :a,b,c,d是四个不同的有理数 ,且 (a c)(a d) =1 ,(b c) (b d) =1 ,那么 (a c) (b c)的值是 .本文先介绍该题的五种不同解法 ,再从解法中得到新的启示 ,剖析该题的进一步的性质 .解法 1　因 (a c) (a d) =1 ,1(b c) (b d) =1 . 2由 1 - 2可得(a2 - b2 ) (a- b) (c d) =0 ,又因 a≠b,可得 a b c d=0 ,即 a c=- (b d) .0于是(a c) (b c) =- (b d) (b c) =- 1 .解法 2　因是填空题 ,…     

勾股定理与面积公式的完美结合

设Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,记三角形的半周长为p,即p=12(a b c),△ABC的面积为S,则由勾股定理及直角三角形面积公式,可得S=p(p-c)=(p-a)(p-b).(*)公式(*)成立的理由是:S=21ab=41×([a b)2-(a2 b2)]=41[a b)2-c2]=14(a b c)(a b-c)=41×2p×2(p-c)=p(p-c);另一方面,由海伦公式S=#p(p-a)(p-b)(p-c)得S2=(p-a)(p-b)(p-c)=S(p-a)(p-b),故S=(p-a)(p-b).公式(*)结构和谐优美,简单易记,与海伦公式相比较体现了直角三角形的特殊性,在解直角三角形有关问题时,运用公式(*)别具一格,富有情趣。例1已知直角三角形…     

2002年天津市中考数学一试题的探索

题目 :已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O .若S△AOB=4 ,S△COD=9,则S四边形ABCD的最小值为 (　　 ) .(A) 2 1　 (B) 2 5　 (C) 2 6　 (D) 36我们给出如下解法 ,对试题与解法进行探索 .图 1解 :如图 1 ,过点A、C作BD的垂线 ,垂足分别为F、E .设AF =h1,CE =h2 ,BD =a ,OD =x .那么 ,OB =a -x .由已知条件可得12 (a -x)h1=S△AOB=4 ,12 xh2 =S△COD=9.从而 ,h1=8a -x,h2 =1 8x.①又S四边形ABCD=S△AOB+S△COD+S△BOC+S△AOD=S△BOC+S△AOD+1 3.于是 ,求四边形ABCD面积的最小值问题转化为求y =S△BOC+…     

一道中考题的面积解法

题目:(2001年无锡市27题)如图1,已知在梯形ABCD中,AD//BC,BC=3AD,E是腰AB上的一点,连结CE,(1)略.(2)设△BCE和四边形AECD的面积分别为S1和S2,且2S1=3S2,试求BE/AE的值.     

对2002年天津市中考数学一试题的分析

20 0 2年天津市中考试卷第一题的第 1 0小题为 :已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O ,若S△AOB =4 ,S△COD =9,则四边形ABCD的面积S四边形ABCD 的最小值为A 2 1　B 2 5　C 2 6　D 36图 1我们给出如下解法 ,对试题给出分析与评价 .解　如图 1 ,过点A、C作BD的垂线 ,垂足分别为F、E .设AF =h1,CE=h2 ,BD=a ,OD=x ,则OB=a -x .由已知条件可得12 (a-x)h1=S△AOB =4 ,12 xh2 =S△COD =9.从而 ,h1=8a-x,h2 =1 8x. ( 1 )又S四边形ABCD =S△AOB S△COD S△BOC S△AOD =S△BOC S△AOD 1 3.于是 ,求四边形…     

分割三角形的一个面积公式

问题 如图，△ABC的面积为△，AF/AC=1/b，CE/CB=1/a，BD/BA=1/c(a、b、c为正实数)．求ΔGHM的面积S．     

“三角形正切、余切公式”的应用

在△ ABC中 ,角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,S是△ ABC的面积 ,由半角公式tan α2 =1 - cosαsinα 及余弦定理易得一组正切公式 :tan A2 =a2 - ( b- c) 24 S ,tan B2 =b2 - ( c- a) 24 S ,tan C2 =c2 - ( a- b) 24 S .由余弦定理可得一组余切公式 :cot A=b2 + c2 - a24 S ,cot B=c2 + a2 - b24 S ,cot C=a2 + b2 - c24 S .这两组公式结构对称 ,易于记忆 ,作用类似于正弦定理、余弦定理 ,用于解一些三角题可达到事半功倍的效果 .本文精选几例 ,以飨读者 .例 1　设 a,b,c是三角形的三条边 ,α,β,γ是这三条边的对角 ,如果 a2 + b2 …     

四边形的面积公式

定理　已知 (凹或凸 )四边形ABCD中 ,AB =a ,BC =b ,CD =c,DA =d ,p为半周长 ,pa=p -a ,等等 .则面积S =papbpcpd-abcdcos2 A +C2 .证明 :S =12 (adsinA +bcsinC) .4S2 =a2 d2 sin2 A +2abcdsinAsinC +b2 c2 sin2 C=a2 d2 +b2 c2 -a2 d2 cos2 A -b2 c2 cos2 C+2abcdcosAcosC -2abcdcos(A +C)=a2 d2 +b2 c2 -[adcosA -bccosC]2-2abcdcos(A +C)=a2 d2 +b2 c2 -14(a2 +d2 -b2 -c2 ) 2-2abcdcos(A +C) ,1 6S2 =4(a2 d2 +b2 c2 ) -(a2 +d2 -b2 -c2 ) 2　 +8abcd -1 6abcdcos2 A +C2=4(ad +bc) 2 -(a2 +d2 -b2 -c2 ) 2-1 6abcdcos…     

有关三角形内切圆的几个公式

公式１如图１，△ABC的内切圆I分别切BC、AC、AB于D、E、F，若BC＝a，CA＝b，AB＝c，则AE＝AF＝１２（b＋c－a），BF＝BD＝１２（a＋c－b），CD＝CE＝１２（a＋b－c）．证明：由切线长定理知，AE＝AF，BD＝BF，CD＝CE．∴AE＋AF＝（AB＋AC）－（BF＋CE）＝（AB＋AC）－（BD＋CD）＝c＋b－a．∴AE＝AF＝１２（b＋c－a）．同理可得另外两个公式．公式２△ABC的三边长分别为a、b、c，其面积为S，内切圆半径为r，则r＝２Sa＋b＋c．证明：如图２，连结IA、IB、IC．则S＝S△ACI＋S△BCI＋S△IAB＝１２r·AC…     

用字母表示数时应注意的几个问题

1.在同一问题中,不同的数量要用不同的字母表示如,在梯形的面积公式S=1/2(a+b)h中,S表示梯形的面积,a、b表示两个底,h表示梯形的高.切不可既用a表示上底,又用a表示下底或高.在乘法分配律m(a+b+c)=am+bm+cm中,当a、b、c、m各取定一数值后,左、右两边的a、b、c、m必须取同一数值.     

有趣的错问与"妙答"--剖析一道题目及解答

在某市一份高考模拟卷上,有这样一道题:已知△ABC的外接圆半径为6,它的边a、b、c,角B、C和面积S满足条件S=a2-(b-c)2,且sinB+sinC=4/3,求△ABC面积S的最大值参考答案给出如下解答:     

对一道解三角形题常规解法的新思考

题目已知△ABC的边a,b，c和面积S满足关系式：S=a^2-（b-c）^2，且b＋c=8。求△ABC面积的最大值。     

巧用整式的乘除解竞赛题

一、用于求值^例1已知a=1999x 2000,b=1999x 2001,c=1999x 2002,则多项式a2 b2 c2-a b-b c-c a的值为()A.0B.1C.2D.3(2002年全国竞赛题)解题思维:由已知与所求式的结构特点,把所求式配方成(a-b)2 (b-c)2 (a-c)2的形式解之.解:由已知可得a-b=-1,b-c=-1,a-c=-2,所求式=21(2a2 2b2     

对一道习题错解的剖析

有这样一道题:已知外接圆半径为6的△ABC的边长是a、b、c,内角B、C和面积S满足条件: ①sinB sinC=4/3,②S=a2-(b-c)2 (1)求sinA (2)求△ABC的面积S的最大值. 为利于剖析,摘录解答过程如下:     

1989年上海市初三数学竞赛试题及解答

一、填空题 1.若存在实数a,A和正数x’使等式、侧一云二了月成立.则A”____。:.有一辆车,其前轮周长为。兵米, 1‘后轮周长为,1、,,b,布叫术 j贝巧前进米,才能使前轮回转次数比后轮回转次数多99次。 3.在梯形ABCD中,已知下底BC=1991,上底AD=1989夕M在下底BC上,且S△幼,,:S梯形AM。D=1:1989,则CM的长是_ 4。若关于x的二次方程护一Px十口二0的两根的差为1,用P来表示q,则q二_。.已知x=1092亿元一召丁 2,=l。92叼顽士述I,则(:一,) Z 侧牙厂分y一粉2 ,俩值是_. 6.已知三个非负数a,吞,c满足条件: 3a Zb c二5,2口 右一3c=1。记S=3a b一7…     

一道赛题的拓展与简证

题目:圆内接凸四边形 ABCD 的面积记为S,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,证明:(1)S=((p-a)(p-b)(p-c)(p-d))~(1/2),其中 p:(a b c d)/2;(2)如果四边形 ABCD 同时具有外接圆和内切圆,则 S=abcd~(1/2).(2005年北京市高一赛题)本题可作如下拓展:定理:任意凸四边形 ABCD 的面积是 S=     

数列综合题中的思想

一、函数与方程思想例1已知三个实数a、b、c成等比数列,且a+b+c=m(m为正常数),求b的值的集合。分析:由已知可设三个数为b/x、b、bx,则由a+b+c=m,可得b(1+x+1/x)=m,从而b=m/1+x+(1/x)。将b看做x的函数,于是转化为求这个函数的值域。     

推导梯形面积公式的活动课

活动内容：通过剪拼、割补将梯形转化成长方形、正方形、三角形，推导其面积计算公式。目的要来：通过梯形面积计算公式的推导，使学生初步认识组合图形，培养学生思维的灵活性。学具：①任意、等腰和直角梯形各2个（每组梯形要完全相同）。②3个等腰梯形。教具：小黑板2块。活动过程：一、让学生事出第一组学具（每一小组红、白色各一个〕动手操作，推导出梯形面积的计算公式。1任意梯形3、直角梯形S梯=S2＝（a＋b）×h2梯形面积的计算公式是2个完定一样的梯形颠倒排成已知图形推导的。那么，用一个梯形能不能转化成已知图形呢？这就是今…     

解直角三角形及其应用

[知识要点]1 在Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,那么(1)三边之间的关系:　　　;(2)两锐角之间的关系:　　　;(3)边角之间的关系: sin A=　　　,cos A=　　　,tan A=　　　;(4) 面积S=　　　　　或S=12ch(h是斜边上的高) 2 解直角三角形的四种类型: (∠C=90°)(1) 已知两直角边a、b,则c=　　,tanB=　　,∠A=　　 (2) 已知一直角边和一锐角(a,∠B),则∠A=　　　, b=　　　,c=　　　　 (3) 已知斜边和一直角边(c, a),则 b=　　　,sin A=　　　,∠B=　　　 　　(4) 已知斜边和一锐角( c,∠A),则∠B=　　　, b…