求函数最值的常规方法与技巧

例.已知0相似文献   

向量与三角函数交汇题的解题策略

当今高考数学命题注重知识的整体性和综合性,重视知识的交汇性.向量是新课程中新增的内容,具有代数与几何形式的双重身份,它是新、旧知识的一个重要交汇点,成为联系这些知识的桥梁.向量与三角函数的交汇是当今高考命题的必然趋势,以下几例,重在为备考中的考生总结题型规律,探究解题策略.一、向量与三角函数性质的交汇例1已知向量a=(cos3x2,sin3x2),b=(cosx2,-sinx2),且x[0,π2].求:(1)a·b及｜a+b｜;(2)若f(x)=a·b-2λ｜a+b｜的最小值是-32,求λ的值.解(1)a·b=cos3x2·cosx2-sin3x2·sinx2=cos2x.｜a+b｜=(cos3x2+cosx2)2+(sin3x2-sinx2)2…     

利用向量解代数三角问题

用向量方法求解数学问题的操作程序为下列流程框图 :　　 问题的条件 　综合法　 　问题的结论　　　　 　 翻译 　　　　　　　　　　 　 解释　　向量关系式 　向量运算　 另一向量关系式　　这一流程框图即从题设条件出发 ,选取基本向量 ,把这些条件翻译为向量关系式 ,再通过一系列的向量运算 ,得出新的向量关系式。这个新的向量关系式的具体解释就是所解决的问题的结论。本文以代数、三角问题举例说明。例 1　求函数 y =x2 +x +1 -x2 -x +1 的值域。解　 y=x2 +x +1 -x2 -x +1=(x +12 ) 2 +( 32 ) 2 -(x -12 ) 2 +( 32 ) 2构造向量 (注…     

数学换元 妙不可言

<正>换元是数学中的基本思想方法,通过换元,可以将问题简化.本文从高中数学的不同内容探讨换元的绝妙之处.一、函数中的换元例1已知函数f(x)=2x-m/x-ln x(m为常数).当m≥14时,求证:对任意正数a,b,λ,μ恒有f(((λa+μb)/(λ+μ))~2)-f((λa)~2+(μb)~2)/(λ+μ)≤((λa+μb)/(λ+μ))~2-(λa)~2+(μb)~2/(λ+μ).     

数形结合的几种基本途径

数与形是初等数学中研究的主要对象 ,数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考 ,使抽象思维和形象思维结合 ,通过“以形助数”或“以数解形” ,使复杂问题简单化 ,抽象问题具体化 ,从而起到优化解题途径的目的 .数形结合包含两方面内容 :从几何角度看代数问题 ,或从代数角度看几何问题 .数形结合在解题过程中应用十分广泛 ,本文介绍数形结合的几种基本途径 .(1)代数式 (x-a) 2 +(x -b) 2 表示点 (x ,y)到点 (a ,b)的距离 .例 1　求函数 f(x) =x2 +15 -x2 - 6x +13的最大值 .解　f(x) =(x - 0 ) 2 +(0 - 15 ) 2 -(x- 3) 2 +(0 …     

向量考题的三个交汇点

向量及其运算是高中教材的新增内容 ,它融数、形于一体 ,具有代数形式和几何形式的“双重身份” ,使它成为中学数学知识的一个交汇点 ,成为联系多项内容的媒介 .下面举例说明向量与三角函数、解析几何、立体几何的交汇 .一、向量与三角函数的交汇例 1　已知 ,a=cos32 x ,sin32 x ,b=cos x2 ,-sin x2 且x∈ 0 ,π2 .( 1)求a·b及 ｜a +b｜ ;( 2 )求函数 f(x) =a·b -4 ｜a +b｜的最小值 .解　 ( 1)按向量运算的意义 ,有a·b=cos32 xcosx2 +sin 32 x　· -sin x2=cos 32 x +x2=cos 2x .a+b =cos32 x+cos x2 ,sin32 x-sin x2 ,｜a +b｜ =cos32 …     

分类讨论思想在求二次函数最值中的应用

<正>一、讨论二次项的系数例1已知x²-x≤0,a>0,求函数f(x)=-x2+2ax的最值。解:由x2-x≤0,a>0,求函数f(x)=-x2+2ax的最值。解:由x²-x≤0得0≤x≤1。f(x)的对称轴为x=a,f(x)=-(x-a)2-x≤0得0≤x≤1。f(x)的对称轴为x=a,f(x)=-(x-a)²+a2+a²。1(1)02,当x=1时,f(x)_(min)=2a-1。     

函数y=f(x)的解析表达式的几种求法

画函数的图象、求函数的极值、判断函数的奇偶性、确定函数的单调区间等,一般都要以解析式y=f(x)为基础。因之,求出f(x)是必要的。下面介绍几种求法。一待定系数法例1.已知:f(x)为有理整函数且 f(2x)+f(3x+1)=13x~2+6x-1 求:f(x) 解:设f(x)=ax~2+bx+c 则f(2x)+f(3x+1) =13ax~2+(6a+5b)x+a+b+2c ∵ 13ax~2+(6a+5b)x+(a+b+2c) =13x~2+6x-1比较系数得则f(x)=x~2-1。二换元法例2若:f[f(x)]=(x+1)/(x+2)求:f(x)     

导数应用中的四个误区

导数作为一种工具,在解决数学问题时应用极为方便,尤其是利用导数可以求函数的单调性、极值、最值以及曲线的切线.在学习的过程中,概念不清导致导数应用错误的情形时常发生.本文拟对导数应用中常见的误区进行简单剖析.一、对极值的条件理解不清例1函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,求a,b.误解由题意知f'(x)=3x2+2ax+b,且f'(1)=0,f(1)=10,即2a+b+3=0,a2+a+b+1=10.解得ab==4-,11,或ab==-33,.剖析本题误把f(x0)为极值的必要条件当成充分条件.要保证f(x0)为极值,还需验证f'(x)在x0两侧附近符号是否相异.当a=4,b=-11时,f'(x)=(3x+11)(x-1)在…     

数学竞赛中的“三个二次”问题

(本讲适合高中 )一元二次方程、一元二次不等式与二次函数简称“三个二次” ,它们互相联系、互相渗透组成了一个特殊的“知识板块” ,这个“知识板块”的内容异常丰富 ,技能、技巧变化多端 .因此它成了高考命题的难点 ,也是近年数学竞赛命题的热点 .1　基础知识1.1　二次函数的单调性 ,闭区间上的最值与图象对称轴位置的关系 .1.2　二次函数的几种特殊表示形式1.2 .1　顶点式 :f(x) =a(x -k) 2 +h .1.2 .2　零点式 :f(x) =a(x -x1) (x -x2 ) .1.2 .3　三点式 :f (x ) =(x -x2 ) (x -x3 )(x1-x2 ) (x1-x3 ) f (x1) +(x -x1) (x -x3 )(x2 -x3 …     

高考新热点——导数的应用

导数是高中数学新教材引入的新内容 ,它为函数的研究开辟了新途径 ,从而成为高考的新热点 .下面举例说明 ,希望能够引起重视 .【例 1】　 ( 2 0 0 3年高考题 )设a>0 ,求函数 f(x) =x-ln(x+a) (x∈ ( 0 ,+∞ ) )的单调区间 .解析 :求导得 f′(x) =12x -1x +a(x >0 ) .据题设 ,a >0 ,x >0 ,于是f′(x) >0 x2 +( 2a -4 )x+a2 >0 ,f′(x) <0 x2 +( 2a-4 )x +a2 <0 .因二次三项式x2 +( 2a -4 )x+a2 的判别式Δ =( 2a -4 ) 2 -4a2 =16( 1-a) ,∴ ( 1)当a >1时 ,对所有x >0 ,有x2 +( 2a -4 )x+a2 >0 ,即 f′(x) >0 ,此时 f(x)在 ( 0 ,+∞ )内单调…     

两个取值问题的错解与正解

例 1　已知x >0 ,求函数 y =2x2 +3x的值域 .错解　∵y=2x2 +3x=2x2 +1x +2x≥ 33 2x2 ·1x· 3x=3 3 6.故所求函数的值域为 [3 3 6,+∞ ) .剖析　由于方程 2x2 =1x =2x 无解 ,即等号不能成立 ,故求解错误 .正解　y=2x2 +3x=2x2 +32x+32x≥ 33 2x2 · 32x· 32x=323 3 6.故所求函数值域为 323 3 6,+∞ .例 2　已知 1≤a+b≤ 5 ,-1≤a-b≤ 3 ,求 3a -2b的取值范围 .错解　∵ 1≤a+b≤ 5 ,①-1≤a-b≤ 3 ,②∴ 0 ≤ (a +b) +(a-b)≤ 8,∴ 0≤a≤ 4,③∴ 0 ≤ 3a≤ 12 ,又∵ 1≤a+b≤ 5 ,　　 -3≤-a +b≤ 1,∴ -2 ≤ (a +b) +( -a+b)≤ 6,∴ -…     

平面向量的应用及思考

平面向量是高中新教材的新增内容,它是新的思想方法和数学工具,在许多领域中有着广泛应用.巧妙地运用平面向量解数学问题往往更简捷、更明了、更易被学生理解.因此,只有加强应用的训练,注意把向量与函数、三角、几何等内容联系起来,形象思维与逻辑思维相结合,学生才会构建出自己的知识系统,具有应用的意识.应用举例例1:求函数y=!x2+a+!(c-x)2+b的最小值,其中a、b、c∈R+.解:∵!x2+a=｜(x,!a)｜,!(c-x)2+b=｜(c-x,!b)｜,且｜(x,!a)｜+｜(c-x,!b)｜≥｜(x,!a)+(c-x,!b)｜=｜(c,!a+!b)｜,∴!x2+a+!(c-x)2+b≥c2+(!a+!b)2!=!c2+a+b+2!ab.即函数…     

向量与三角的全方位沟通

当今高考数学命题注重知识的整体性和综合性,重视知识的交汇性,向量是新课程新增内容,具有代数与几何形的双重身份·它是新旧知识的一个重要的交汇点,向量与三角的交汇是当今高考命题的一个热点·一、向量与三角函数性质的沟通向量的坐标形式中,我们可以用三角函数来表示,这是向量和三角沟通的一个渠道,此时通过向量的数量积和模我们可以构造三角函数,从而解决三角函数的性质·例1已知向量→a=(cos32x,sin32x),→b=(cos2x,-sin2x),且x∈[0,π2],求:①→a·→b及|→a →b|;②若f(x)=→a·→b-2λ|→a →b|的最小值是-23,求λ的值·分析:①→a…     

等差数列的两个命题在解题中的运用

下面是等差数列中的两个极其平凡的命题 :命题 1　若 a +c=2 b,则三数 a,b,c成等差数列 ;命题 2　若三数 a,b,c成等差数列 ,设公差为 d,则 :a =b - d,c=b +d.如果我们能适时地引导学生运用上述两个命题 ,不仅可以解决等差数列自身的若干问题 ,而且更重要的是拓宽或推广其它学习过的数学问题 ,对培养学生的创新意识和激发学生的学习积极性和主动性都是大有裨益的 .一、求函数的值域与实数的范围例 1　求函数 f ( x) =x +1+10 - 3x的值域 .解 :函数 f ( x)的定义域为 [- 1,103] ,且 f ( x) >0 .∵ x +1+10 - 3x =f ( x)∴三数 x +1,f ( x )2 ,…     

细嚼一个一元二次不等式恒成立题组

含参的一元二次不等式恒成立问题是高中阶段最简单最常见的恒成立问题,它具有一元二次(不等式、方程和二次函数)的最基本特点,又是研究恒成立问题的最典型的例子.下面通过一个题组来看在新课标条件下,此类题目又有什么新的特点.【题组】(1)对任意x∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,则a的取值范围是.(2)对任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,则x的取值范围是.(3)对任意x∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a+a2的值恒大于零,则a的取值范围是.(4)对任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a+a2的值恒大于零,则x的取值范围是.解决问题的基本方法应该是利用二次函数的判别式,根与系数的关系和对称性,通过对其图像位置的讨论得到参数满足的关系式.例如题(1):函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的对称轴为x=-a-24=42-a.①当42-a&lt;-1,即a&gt;6时,f(x)的值恒大于零,等价于f(-1)=1+(a-4)&#215;(-1)+4-2a&gt;0,解得a&lt;3,故有a∈.②当-1≤4-2a≤1,即2≤a...     

《高等数学(1)》自测模拟试题

一、填空题1.函数f(x)=11n(x+2)+4-x2的定义域是。2.函数f(x)=1nx+11-x的定义域是。3.若函数f(x)=5exx<03x+ax≥0在点x=0处连续,则a=。4.设f(x)=exx≥0xk+1x<0在x=0处可导,则k=。5.已知f(x)在x=0处可导,则limx→0f(2x)-f(0)x=。6.若y=xx,则dydx。7.若连续函数f(x)在区间a,b内恒有f′(x)<0,则此函数在a,b上的最大值是。8.设f(x)=x2-3x+2,则f(f′(x))=。9.极限limx→0∫x0costdtx=。10.limx→0∫x0sintdtx2=。11.∫exf′exdx=。12.已知函数f(x)的一个原函数是arctan2x,则f(x)=。13.根据定积分的几何意义,∫3-39-x2dx=。14.广义积分∫+∞adxxpa…     

函数奇偶性在解题中的运用

函数奇偶性是函数的主要性质,在解题中运用很广泛,现就常见的几种类型举例如下: 一、利用奇偶性求值例1 已知f(x)=x5+ax3+bx-8,f(-2)=10,求f(2)的值. 解:∵定义域为R,设g(x)=x5+ax3+bx,因g(-x)=(-x)5+a(-x)3+b(-x)=-(x5+ax3+bx)=-g(-x).     

导数应用 高瞻远瞩

导数是新课标下的新增内容.导数的工具性拓展了导数的学习与研究空间,除了应用导数解决函数的单调性、最值外,在求函数的值域、证明不等式、距离等方面都有广泛的应用,在高考复习时要重视.一、应用导数的定义求函数的极限【例1】已知f(x)=lnx,求极限limx→1f(x)-f(1)x-1的值.解:∵f(x)=lnx,f′(x)=1x,∴limx→1f(x)-1x-1=f′(1)=1.点评:导数定义的等价形式为f′(x0)=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx=limx→x0f(x)-f(x0)x-x0.二、应用导数的工具性求函数的单调区间、最值及值域【例2】求函数f(x)=xcosx-sinx(x≥0)的单调递增区间.解:f′(x)=-xsi…     

数学写作——展现自我的舞台

这是一堂关于函数表达式的习题课,教学对象是高一学生.问题:已知f(2x+1)=x2-2x,求f(x)与f(2x-1)的解析式.学生解法:设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f(2x+1)=4ax2+(4a+2b)x+a+b+c=x2-2x.易得4a=1,4a+2b=-2,a+b+c=0,解得a=14,b=-32,c=54,所以f(x)=14x2-32x+54,f(2x-1)=x2-4x+3.师:为什么可以"设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)"?生1:因为可以推测f(x)一定是二次函数.如果f(x)不是二次函数,则f(2x+1)的解析式也不会是二