立几中的“折”与“展”

在立体几何中有这样的两类问题 ,一类是把平面图形按照一定要求进行折叠或旋转 ,得到空间形体 ,另一类是为解决某些问题 ,需要把空间图形展开为平面图形 .解决这两类问题的关键是要分清楚图形变化前后的位置关系和数量关系的变与不变 ,下面举例说明 .例 1　边长为 2ａ的正方形ＡＢＣＤ ,Ｅ、Ｆ分别为ＡＢ、ＢＣ的中点 ,沿ＤＥ ,ＥＦ ,ＦＤ把图形翻折起来 ,使Ａ、Ｂ、Ｃ重合于一点Ｐ ,求Ｐ点到平面ＤＥＦ的距离 .分析　先画出平面图形与空间图形 (如图 1) ,再比较两图中的位置关系和数量关系 .由ＡＢＣＤ是正方形 ,知ＤＡ ⊥ＡＢ ,ＤＣ⊥ＢＣ…     

一个角与它的射影角的大小关系探索

如图 ,∠ＢＡＣ的两边ＡＢ和ＡＣ分别与平面α相交于点Ｂ、Ｃ ,若ＡＯ⊥α于点Ｏ ,则∠ＢＯＣ叫做∠ＢＡＣ图 (1 )在平面α内的射影角。显然若∠ＢＡＣ所在的平面与α平行或垂直 ,则∠ＢＯＣ =∠ＢＡＣ或∠ＢＯＣ =1 80°。下面将探讨一个角与它的射影角的大小关系。一个角∠Ｂ     

二面角问题的垂面解法

二面角的平面角的作法有定义法 ,三垂线定理(或逆定理 )法和垂面法三种 ,在解决与二面角有关的问题时 ,人们都习惯于采用前两种方法 ,而极少用到后一种方法 ,其实有些关于二面角的问题 ,特别是棱未作出的二面角的问题 ,若用垂面法则更为简捷 .特举数例 ,仅供参考 .例 1　过正方形ＡＢＣＤ的顶点Ａ ,引ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ ,若ＰＡ =ＡＢ ,则平面ＡＢＰ与平面ＣＤＰ所成二面角的大小是 .图 1解　如图 1,由ＰＡ⊥面ＡＢＣＤ ,知面ＰＡＤ⊥面ＡＢＣＤ .又ＡＢＣＤ为正方形 ,有ＡＢ⊥ＡＤ ,ＣＤ⊥ＡＤ ,得ＡＢ⊥面ＰＡＤ ,ＣＤ⊥面ＰＡＤ ,所以面…     

点在平面上的射影位置及其应用

确定点在平面上的射影位置,对于确定空间中的角和距离以及判断线、面垂直都有非常重要的作用,而这正是立体几何教学的重点内容.我们在归纳、总结平时教学的基础上整理出点在平面上的射影四种常用位置关系:1 斜线上一点到平面上的射影,必在这斜线在平面内的射影上2.1 过一个角的顶点引这个角所在平面的一条斜线,若斜线与角的两边夹角相等,则这斜线上的点在平面内     

一题多法 各显其妙

一题多解 (证 )是培养同学们创新思维能力的一条有效途径 .平时做题、解题 ,若每题都能从多角度去分析思考、寻找方法 ,对于拓宽大家的解题思路 ,是颇有益处的 .下面对一道立体几何题给出四种不同的解法 ,供同学们参考 .例　如图 ,△ＡＢＣ是以∠Ｃ为直角的直角三角形 ,ＰＡ⊥平面ＡＢＣ ,ＰＡ =ＡＣ =2 ,ＢＣ =2 ,求二面角Ａ ＰＢ Ｃ的大小 .分析 1:利用三垂线定理作出二面角的平面角 ,然后通过解三角形求出 .解法 1:如图 ,在Ｒｔ△ＡＢＣ中 ,过Ｃ作ＣＨ⊥ＡＢ于Ｈ .因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣ ,所以ＣＨ⊥ＰＡ ,从而ＣＨ⊥平面ＰＡＢ .在Ｒｔ△…     

一个公式的开发与应用

试验修订本 (下Ｂ)第九章第三单元《夹角与距离》开篇这样写道 :已知ＡＯ是平面α的斜线 ,Ａ是斜足 ,ＯＢ⊥α ,Ｂ为垂足 ,直线ＡＢ是斜线在平面α内的射影 ,设ＡＣ是α内的任一条直线 ,且ＢＣ⊥ＡＣ ,垂足为Ｃ ,又设ＡＯ与ＡＢ所成的角为θ1,ＡＢ与ＡＣ所成的角为θ2 ,ＡＯ与ＡＣ所成的角为θ ,则ｃｏｓθ=ｃｏｓθ1·ｃｏｓθ2 ①命题的简洁性与图形结构的特殊性以及涉及知识点的重要性 ,决定了其应用的广泛性 ,该命题在原立几教材中曾作为一道综合复习题。1　变更表述为更好地应用这一结论 ,依据图 1 ,变更其表达方式。图 1已知射线ＡＯ …     

用构造法解立体几何题9例

用构造法解立体几何题９例兰州市二中杜丕伶一、构造长方体例１．如图（１），ＰＤ⊥矩形ＡＢＣＤ，且ＰＤ＝ＡＢ，求平面ＰＡＤ与ＰＢＣ所成的锐二面角。分析：由已知可得线段ＰＤ、ＡＤ、ＣＤ两两垂直，可以此为三度构造长方体如图（２）。显然平面ＰＡＤ、ＰＢＣ各是侧...     

妙用向量解立体几何题

以往在中学 ,解几何问题一般用几何方法 ,如今 ,向量在中学数学中的应用越来越广泛 .用向量知识解立体几何题 ,可以很容易解决平面或空间中的共线、平行、垂直、夹角、长度等问题 .用向量法解立体几何题 ,一般的做法是在平面上确定两个不共线的向量作为基向量 ,在空间确定三个不共面的向量作为基向量 ,然后把平面或空间的任一向量均用基向量表示 .例 1　 (第十一届“希望杯”数学邀请赛 )如图1 ,已知正三棱柱ＡＢＣ -Ａ1 Ｂ1 Ｃ1的所有棱长都相等 ,Ｄ是ＡＡ1 的中点 ,求ＢＣ1 与ＣＤ所成的角 .分析　本题所求的是异面直线所成的角 ,而向量的…     

例说降维转化法解立几问题

所谓降维转化 ,就是将立体几何 (三维 )的问题转化为平面几何 (二维 )的问题 ,也就是将空间的点、线间的关系放到同一平面上讲行分析、研究 ,从而找到解题途径 .转化的常用方法有 :截、展、移、转等 .一、截　所谓“截”就是在能够反映各元素的关系的适当位置作空间图形一个截面 ,在这个截面内集中研究各元素间的关系 ,使空间问题转化为平面问题 .例 1　在三棱锥Ｐ -ＡＢＣ中 ,已知ＰＡ =ａ ,其余各棱长为ｂ,求体积 .分析 :若以△ＡＢＣ为底面 ,求高比较困难 .若以一棱ＢＣ为高 ,即作一个截面ＰＡＥ和棱ＢＣ垂直 ,这样就可把求三维体积转化…     

立体几何中取值范围的求解方法

求解立体几何中取值范围问题和代数中同类问题相比较 ,前者困难较大 .这类问题可以借鉴代数中的方法 ,但由于其几何特性 ,又有特殊方法 .本文介绍立体几何中求解取值范围问题的常用方法 .一、化归方法立体几何解题的基本思路是将空间问题化归为平面问题来解决 ,解取值范围问题也不例外 .例 1　已知矩形ABCD中 ,AB =2 2 ,BC =a ,PA ⊥平面ABCD ,若BC边上存在一点Q ,满足PQ ⊥QD ,求实数a的取值范围 .分析　如图 1,连接AQ .因为PA⊥面ABCD ,故由三垂线定理知 ,要使BC边上有一点Q满足PQ⊥QD ,只需在BC上存在一点Q ,使AQ⊥QD …     

充分发掘课本习题的教学潜能

在中学数学教学中 ,重视课本例习题的探究 ,引导学生多方位、多角度思考问题、分析并提出问题 ,把学习数学的主动权交给学生 ,是培养创新意识和创新能力的重要途径 .本文通过《立体几何》中一道典型习题的研究 (拟编、变形、引伸 ) ,对立体几何中的射影、角和距离、面积和体积等重点和难点内容进行了一次较全面、系统的复习 .原题　《立体几何》(人教版 ,课本 10 3页第 3( 1)题 )已知正三棱锥Ｐ-ＡＢＣ的底面边长为ａ ,侧棱长为ｂ ,求它的体积 .　　　　　图 1分析 1　如图 1,过顶点Ｐ作ＰＯ ⊥底面ＡＢＣ于点Ｏ ,则Ｏ为△ＡＢＣ的中心 .连…     

法向量在立体几何中的妙用

立体几何中经常需要计算有关距离和空间角 ,在解决这一问题时 ,也常常需要作出垂线段和角 ,这是解决问题的难点 ,应用法向量可以解决这一难点 .《人教版高中数学第二册 (下Ｂ)》第 42页对平面的法向量是这样定义的 :如果向量ｎ⊥α ,那么向量ｎ叫做平面α的一个法向量 .课本还给出射影的定义 :已知向量ＡＢ =ａ和轴ｌ,ｅ是与ｌ同方向的单位向量 (图 1 ) .作点Ａ在ｌ上的射影Ａ′,作点Ｂ在ｌ上的射影Ｂ′,则Ａ′Ｂ′叫做向量ＡＢ在轴ｌ上或在ｅ方向上的正射影 ,简称射影 .可以证明Ａ′Ｂ′=ＡＢｃｏｓ〈ａ ,ｅ〉=ａ·ｅ.同样 ,设ｎ是与ｌ同方…     

立体几何中的常用化归方法

立体几何中的空间问题往往化归为平面问题加以解决，本介绍几种常用的化归方法。     

解立体几何综合题的关键及突破口——点在面上的射影位置的确定

高考立体几何综合题设计 ,大多以多面体和旋转体为载体 ,考查角和距离问题 .而角和距离的定义都和点在面上的射影有关 .线面角为斜线和斜线在平面上的射影所成的角 .二面角的平面角常常采用“三垂线法”作或找 ,关键是寻找面的垂线 .至于线面距离 ,面面距离 ,异面直线的距离 ,通过定义和结论均可转化为点到平面的距离 .而点到面的距离往往通过点有一个平面和已知平面垂直 ,利用面面垂直性质 ,转化为平面内一点到交线的距离 ,即点在已知平面上的射影在两平面的交线上 ,把握住这一点就寻找到解立体几何综合题的关键和突破口 .于是在立体几何总…     

对一个特殊四面体性质的研究

有这样一个常见的四面体 (如图一 ) :棱ＰＡ⊥底面ＡＢＣ ,ＡＣ⊥ＢＣ 这个四面体有如下几个已知的性质 :性质 (1 )四面体ＰＡＢＣ中共有四个Ｒｔ△ ,分别是 :Ｒｔ△ＰＡＢ,Ｒｔ△ＰＡＣ,Ｒｔ△ＡＢＣ,Ｒｔ△ＰＢＣ.性质 (2 )四面体ＰＡＢＣ中共有三个面互相垂直 ,分别是 :面Ｐ     

高二数学单元测试(空间直线和平面)

一、选择题1.两条异面直线在同一平面内的射影一定不是 (　　 )　 (Ａ)两条相交直线　 (Ｂ)两条平行直线　 (Ｃ)重合直线　 (Ｄ)以上结论都不正确2 .直线ｌ1 、ｌ2 互相平行的一个充分条件是 (　　 )　 (Ａ)ｌ1 、ｌ2 都平行于同一平面　 (Ｂ)ｌ1 、ｌ2 都垂直于同一平面　 (Ｃ)ｌ1 、ｌ2 分别在两个平行平面内　 (Ｄ)ｌ1 平行于ｌ2 所在的平面3 .空间四边形ＡＢＣＤ中 ,ＡＣ⊥ＢＤ ,Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ分别为边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点 ,则四边形ＡＢＣＤ为 (　　 )　 (Ａ)平行四边形　　 (Ｂ)菱形　 (Ｃ)矩形 (Ｄ)不能确定4.若直线ａ不平…     

面面垂直性质定理的解题功能

一、求线面角的大小 "线角抓射影",如何作出斜线l在平面α内的射影,关键是在斜线l上选一点P(除去斜足O),过P找到或作出一平面β,使β⊥α,设α∩β=m,过P作PQ⊥m,由性质定理得PQ⊥α.     

几何自测试题(一)——立体几何部分

一、填空题 1._的三点确定一个平面。 2.两条_或_的直线确定一个平面。 3.有一个公共点的两个平面相交于通过 点的一条直线。 4.在同一平面的两条直线,只有_、_、_这三种位置关系;空间两条不重合的直线的位置关系有_, 5.如果一条直线和两个相交的平面平行,则和它们的交线—。 6.平面内的一条直线如果和这平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线_;平面内的一条直线如果和这平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在这个平面内的射影_。 7。如果斜线的长为1,它和平面日所成的角为e,那么它在日内的射影是_ 8.过直角三角形的…     

点到平面的距离的几种求法

求点到平面的距离是立体几何教学中不可忽视的一个基本问题 ,是近几年高考的一个热点 .本文试通过对一道典型例题的多种解法的探讨 ,结合《立体几何》(必修本 )中的概念、习题 ,概括出求点到平面的距离的几种基本方法 .例　已知ＡＢＣＤ是边长为 4的正方形 ,Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＤ的中点 ,ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面 ,且ＧＣ =2 ,求点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离 .一、直接通过该点求点到平面的距离1.直接作出所求之距离 ,求其长 .解法 1.如图 1,为了作出点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离 ,延长ＦＥ交ＣＢ的延长线于Ｍ ,连结ＧＭ ,作ＢＮ⊥ＢＣ ,交ＧＭ于…     

三垂线定理应用举例

三垂线定理是立体几何中的重要定理,主要研究直线与直线的垂直关系．本文举例介绍其应用．一、证明两条异面直线互相垂直例１如图（１）,证明正三棱锥Ｓ—ＡＢＣ的对棱互相垂直．证明：作正三棱锥Ｓ—ＡＢＣ的高ＳＯ,连结ＡＯ,则ＡＯ是ＳＡ在面ＡＢＣ上的射影．∵Ｂ...