圆锥曲线焦点弦的一个简洁性质的证明及应用

圆锥曲线中焦点分弦成比例问题是一类常见问题.若焦点为弦的中点,则弦为通径,问题易解;如成其他比例关系,常规解法是由比例关系,把两交点坐标代入圆锥曲线方程,联立方程组,通过求出一交点的坐标等方法解题.由于此方法计算量较大,笔者在解题中发现,运用圆锥曲线的定义可以得到一组简洁性质,方便解题过程.     

两个特征点与离心率的关系

本文经作者在圆锥曲线弦的中点轨迹方程及对称点问题的解法上的多年探索,在圆锥曲线上求解对称点问题时牵涉到对称轴方程,发现圆锥曲线弦的中点坐标、弦的中垂线和焦点所在对称的交点坐标、曲线的离心率三者间有一个重要关系,在此提出与同行们探讨。     

椭圆焦半径定比的一个性质及应用

圆锥曲线焦点弦问题中涉及定比分点，常规解法是把比例关系坐标表示，计算量较大，借用定义很容易得出离心率、倾斜角与定比的一个性质，应用性质解焦点弦问题，事半功倍.     

双参数法与弦中点轨迹

求满足一定条件的圆锥曲线的动弦中点轨迹是解几中的难点,通常的解法是将动弦参数方程与圆锥曲线方程联立,消去x(或y),得到关于y(或x)的一元二次方程,再利用韦达定理求出动弦中点坐标,最后消去参数,即得所求动     

聚焦通性通法 领悟本质核心——“点差法”在解析几何问题中的几种典型应用

<正>在处理解析几何问题,特别是直线与圆锥曲线有关问题时,经常运用如下解法：设弦的两个端点坐标分别为(x₁,y₁),(x₂,y₂),代入圆锥曲线方程后相减,然后利用弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系求解,这种方法通常称为“点差法”.本文结合具体例题,探析“点差法”的几种典型应用.     

“点差法”在解析几何题中的应用

在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时,我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）,代人圆锥曲线得两方程后相减,得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系,然后加以求解,这即为“点差法”,此法有着不可忽视的作用,其特点是巧代斜率．本文列举数例,以供参考．     

中点弦问题的解法思考

中点弦问题就是当直线与圆锥曲线相交时,得到一条弦,进一步研究弦的中点的问题.中点弦问题是解析几何中的重点和热点问题,在高考试题中常常出现.解决圆锥曲线的中点弦问题,点差法是一个行之有效的方法,点差法顾名思义是代点作差的办法.其步骤可简要地叙述为:①设出弦的两个端点的坐标;②将端点的坐标代入圆锥曲线方程相减;③得到弦的中点坐标     

“点差法”,差在哪?

中点弦问题是解析几何中的重点、热点问题.解圆锥曲线的中点弦问题,很多学生习惯于用所谓“点差法”:首先设出弦的两端点坐标,然后代人圆锥曲线方程相减,得到弦中点的坐标与所在直线的斜率的关系,从而求出直线方程.但是,有时候符合条件的直线是不存在的,这时使用“点差法”便会走入“误区”.下面问题中便有学生经常掉入“陷阱”.题目:已知双曲线 x~2-y~2/2-1,问是否存在直线 l,使 M(1,1)为直线 l 被双曲线所截弦 AB 的中点.若存在,求出直线 l 的方程;若不存在请说明理由.错误解法1:(点差法)设直线与双曲线两交点 A、B 的坐标分别为(x_1,y_1),(x_2,y_2),M 点的坐标为(x_M,y_M).由题设可知直     

圆锥曲线和过焦点的直线相交问题的解法探究

圆锥曲线与过焦点的直线结合是一种常见的高考出题方式.圆锥曲线定义的特殊性决定着这类问题解法的多样化,常见的解法有常规法、弦长公式法、数形结合法、参数方程法等.探究圆锥曲线和过焦点的直线相交问题的解法具体有实际意义.     

圆锥曲线中点弦定理及其应用

本文证明了圆锥曲线方程无xy项的曲线中点弦的一个定理.并举例说明定理在求中点弦方程,求弦的中点坐标,求与中点弦有关的圆锥曲线方法和有关对称性的问题等四方面的应用.     

圆锥曲线中点弦问题的解题方法

<正>解析几何中与圆锥曲线的弦的中点有关的问题,我们称之为圆锥曲线的中点弦问题,这是一类很典型、很重要的问题.一、方法介绍解圆锥曲线的中点弦问题的常见方法有以下几种.方法 1联立消元法,即联立直线和圆锥曲线的方程,借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解.方法 2点差法,即设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2),     

高考中有关圆锥曲线焦点弦问题的一种统一解法

经过圆锥曲线焦点被圆锥曲线截得的线段叫焦点弦.它是一个非常重要的几何量,是各类考试的重点和热点.下面介绍有关圆锥曲线焦点弦问题的一种统一解法,然后用高考题举例说明.定理:经过横向型圆锥曲线的焦点F作倾斜角为θ的直线,交圆锥曲线于A、B两点,若离     

极坐标法解焦点弦问题

极坐标的应用十分广泛,涉及圆锥曲线焦点弦的有关问题,可建立焦点极坐标系,利用椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程ρ=ep/1-ecosθ,或建立直角坐标系,运用坐标关系x=ρcosθ y=ρsinθ,把问题转化为极坐标,用极坐标法解.此法使问题化难为易、化繁就简,具有解法新颖巧妙、过程简单等特征. 一、求值问题:求圆锥曲线焦点弦长,与焦点弦有关的角、线段、点线距离、图形面积等,用极坐标法解,可避免解方程组求交点坐标、运用直标公式作繁琐运算. 例1 椭圆长轴|A_1A_2|=6,焦距     

对双曲线“点差法”的思考

<正>在求解圆锥曲线一类问题时,若题目中给出直线与圆锥曲线相交被截得线段中点坐标的时候,把直线和圆锥曲线的两个交点坐标代入圆锥曲线的方程,然后将两个等式作差,得到一个与弦的中点坐标和斜率有关的式子,从中求出直线的斜率,然后利用中点求出直线方程。通常我们将与圆锥曲线的弦的中点有关的问题称之为圆锥曲线的"中点弦问题",把这种代点作差的方法称为"点差法"。"中点弦问题"如果能适时运用点差法,     

与中点弦有关的几个重要结论

高中数学解析几何中"直线和圆锥曲线的位置关系"是高考考查的重点和热点,在此类问题中常常会遇到直线和圆锥曲线相交弦的中点的有关题目,我们称之为圆锥曲线的中点弦问题.解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是:联立直线和圆锥曲线的方程,借助于一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解.     

例谈圆锥曲线中的定比点差法

直线与圆锥曲线相交弦涉及定比分点问题，常规解法是把比例关系用坐标表示，计算量较大，如果涉及的定点并非中点，是否还能运用点差法呢?本文对定比点差法的应用进行了一些举例与拓展探究.     

用导数求圆锥曲线弦中点的轨迹方程(高二、高三)

求直线与圆锥曲线的交弦的中点轨迹方程的解法很多.本文介绍如何用导数去求. 命题1 如果圆锥曲线的平行弦的斜率为     

一道2022年全国数学联赛题的探究与思考

本文从不同的思维角度探究一道数学联赛题的解法,并从解法中揭示出圆锥曲线的特殊结论,基于探究结论可以认识到圆锥曲线中过定点相交弦蕴藏着特殊的定值与定圆性质.     

破解椭圆中有关面积最(定)值问题的新视角

<正>求解与椭圆有关的三角形面积的最值或者定值是圆锥曲线中的热点问题之一.这类问题往往综合性强,常规解法是直角坐标法：先运用椭圆的弦长公式表示三角形的底边长,借助点到直线的距离公式表示三角形的高线长,再运用三角形面积公式表示面积.这种解法运算量大,推理过程复杂,容易出错.本文另辟蹊径,运用直线参数方程、椭圆参数方程和坐标伸缩变换破解几道与椭圆有关的面积问题,以期对同学们求解圆锥曲线问题起引导作用.     

用点差法解圆锥曲线的中点弦问题

与圆锥曲线的弦的中点有关的问题,我们称之为圆锥曲线的中点弦问题.解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是:联立直线和圆锥曲线的方程,借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解.若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂）,将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为"点差法".一、以定点为中点的弦所在直线的方程例1过椭圆x²/16+y²/4=1内一点M（2,1）引一条弦,使弦被M点平分,求这条弦所在直线的方程.