例谈“a＋b≥2√ab”在物理极值问题中的应用

当a〉0，b〉0时，a＋b≥2√ab。此不等式是解决极值问题的重要工具，下面我们以几例来看它在初中物理求极值问题中的应用。     

向量不等式｜a·b｜≤｜a｜｜b｜的妙用

根据向量数量积的定义：a·b=｜a｜｜b｜cosθ ，易得向量不等式｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（当且仅当a,b同向，共线即b=λa（λ〉0）时取等号）。此不等式结构简单，形式优美，内涵丰富，利用它可巧妙地解决一类求函数最值和不等式证明问题。下面举例说明它的一些应用。     

一个均值不等式链的几何证法

命题 已知a〉0,b〉0,求证：max{a,n}≥√a^2＋b^2/2≥a＋b/2≥√ab≥2ab/a＋b≥min{a,b},当且仅当a=b时,等号成立．这是一个4类平均数的重要不等式即均值不等式链,     

均值不等式学习三部曲

均值不等式（a＋b）/2≥（ab）~（1/2）（a〉0,b〉0,当且仅当a=b时取＂=＂）是一个重要的不等式,其在求解函数最值问题中有着广泛的应用,下面对均值不等式进行深层解析,供读者参考.     

二元均值不等式链的两个图形证法

当a〉b〉0时,则有均值不等式链：a〉√a^2＋b^2/2〉a＋b/2〉√ab〉2ab/a＋b〉b     

例谈应用均值不等式求最值的解法

最值问题是中学数学的重要内容之一,它分布在各个知识板块.学生在学到＂均值不等式的应用＂时,常感觉到＂均值不等式a＋b2≥ab/2/1（a〉0,b〉0,当且仅当a=b时等号成立）＂这一知识极易理解,但在解题过程中却往往不知道如何运用.在教学中,我整理了均值不等式求最值的解法,以解除学生的学习困惑.     

均值不等式定理的常见错误及解决方法

不定式的应用是高中数学的重点、难点,在高中数学（必修5）第三章《不等式》第4节中,均值不等式定理：a＋b/2≥√ab（a〉0,b〉0）,当且仅当a=b时等号成立．它是高中数学的重点内容,通常涉及不等式的证明,求函数的值域或最值,还常常起到工具的作用．同学们由于对公式的理解不够透彻,所以在解题中常常出现错误的解法,表面上正确,实际上是错误的．以下是我在学习均值不等式定理时的点滴体会,希望与大家共享．     

运用基本不等式必备的变形技巧

基本不等式a＋b/2≥√ab（a〉0,b〉0,当且仅当a=b时等号成立）在不等式的证明、求解或者解决其他问题中都起到了十分重要的工具性作用。在利用基本不等式求解函数最值问题时,有些题目可以直接利用公式求解,有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。下面介绍一些常用的变形技巧。     

“配”中求活——不等式a^2＋b^2≥2ab的活用

不等式a^2＋b^2≥2ab（或a＋b≥2√ab，a〉0,b〉0）是—个最基本的不等式，但它的应用却十分灵活广泛，在高考及竞赛中经常出现．应用这个不等式常常需要作适当的“配”才能见效，体现了这一基本不等式应用的灵活性，本从几个方面探究“配”的技巧．[第一段]     

如何利用基本不等式求最值

基本不等式√av≤a＋b/2（a〉0,b〉0）是高中数学的重要内容,也是高考的一个热点。它形式简单,但其运用灵活,特别是利用基本不等式求最值问题更是如此,那么如何正确地用好基本不等式呢？本文从三个方面的应用来举例说明,供大家参考。     

利用单调性解题

设实数a〉1〉6〉0，问：a、b满足什么关系时，不等式lg（a^x-b^x）〉0的解集是（1，＋∞）？     

有关不等式同向可加性的错解剖析

不等式的同向可加性即：若a〉b、c〉d，则a＋c〉b＋d．此不等式的性质只具有单向性，即a〉b、c〉d是a＋c〉b＋d成立的充分条件，而不是必要条件．     

不等式链的几种几何证明

不等式链√a^2＋b^2/2≥a＋b/2≥√ab≥2ab/a＋b（a〉0,b〉0）是高中数学重要内容之一，在高考中屡“试”不鲜，下面笔者就2010年湖北省高考理科卷第15题的解题及其反思过程，给出该不等式链的三种几何证明．     

一道最值问题的多种解法

已知5/a＋3/b=1（a〉0,b〉0）,求a＋b的最小值. 解法一 （1的代换与均值不等式） （5/a＋3/b）（a＋b）=5＋3＋3a/b＋5b/a=8＋3a/b＋5b/a≥8＋2√15, 当且仅当3a/b=5b/a即a=5＋√15,b=3＋√15时,等号成立.     

情理之中与意外发现

笔者在进行不等式证明教学时，布置了这样一道作业题：设a〉b〉0，求证：√a^2-b^2＋√ab-b^2〉√a（√a-√b）. 当时的想法是：由于不等式两边均大于零，两边可以平方，因此，用分析法可直接证得．     

利用不等式求最值的归类评析

一、利用均值不等式求最值仅当 如果a,b〉0,则√a^2＋b^2/2≥a＋b/≥√2/1/a＋1/b,当且 a=b时等号成立． 这组关系集中反映了两个正数的平方和、和、积、倒数和，这四种形式的量的不等关系．当其中一个量为定值，其它量伴随着产生最值；要使其中一个量有最值，只要使它左邻右舍的其它三量中有一定值即可．     

“变式”与最值

将基本不等式a2＋b2≥2ab中的a和b分别用n/ma和m/nb（这里m〉0,n〉0）替换,之后两边再加上a2＋b2,整理后得到一个新的不等式     

均值不等式几种几何模型归类解析

均值不等式即√ab≤a＋b/2（a〉0,b〉0,a,b∈R）是必修五第三章内容,是学生必须掌握的一个重点知识,应用广泛。     

2006年高考数学省市卷百题解答思路分析（续）——不等式

试题1（江西卷，理科第3题）若a〉0，b〉0，则不等式-b〈1/x〈a等价于（ ）．     

Jacobsthal不等式的变式及其应用

Jacobsthal不等式（见文[1]）设a,b〉0,则na~（n-1）b≤（n-1）a~n＋b~n,仅当a=b时等号成立.只要将上述不等式的左右两边同时除以（n-1）b~n,再移项得（a/b）~n≥n/（n-1）（a/b）~（n-1）-