也谈关于根式(m+n~(1/2))~(1/2)的化简

《数学教学研究》1984年第1期中马振民同志《关于根式(m+n~(1/2))~(1/2)的化简》的文章(其中m,n为整数(实为正整数),n为不完全平方数。化简指能否化为A~(1/2)±B~(1/2)的形式。其中A、B为正有理数)。证明了一个定理,即形如(m±n~(1/2))~(1/2)的根式能化为A~(1/2)±B~(1/2)的充要条件为m~2-n为一完全平方数。的确为此类根式的化简提供了一个判别准则和化简的一般方法。阅后很受启发。为了做到深知浅出、推而广之,本文也想谈谈此类根式的化简。形如(m±n~(1/2))~(1/2)的根式通常称为复合二     

关于(a±b~(1/2))~(1/2)形式的根式化简

在计算cos15°的值时,学生通常都是利用差角公式求得     

根式(a±b~(1/2))~(1/3)的化简

本文讨论(a,b是有理数,b>0)的化简,先给出下面的 定理:(a、b是有理数,b>0)能用二次根式表示(即)的条件是b>0,a~2-b=c~3[其中c是有理数]且方程组有有理数解。 证明:设已给表达式为,为使成立(x、y为有理数),两边用乘之得。当a~2-b=c~3(c是有理数)时有:x~2-y=c (1) 由,将此式两边立方、化简并整理得:于是,又有:     

二次根式(a~2)～(1/2)的化简

理解和掌握公式,以及运用它进行计算与化简,是二次根式化简中的重点和难点. 首先,公式沟通了算术根与绝对值的联系,反映了二次根式非负的实质,在计算过程中要记住这一中间环节,然后再对不同     

二次根式(a~2)~(1/2)的化简

形如(a~2)~(1/2)的化简,看起来很容易,但同学们做起来确容易出错,解此类型题,总的原则离不开来化简二次根式。一、看条件,定性质,去根号     

(n~2±1)~(1/2)为无理数的几何证明

<正>在学习无理数的过程中,同学们都学过2^(1/2)为无理数的反证法,即假设2(1/2)为无理数的反证法,即假设2^(1/2)是有理数s/r(r,s是互质的正整数),然后可以通过取平方推出矛盾。下面将考虑证明形如(n(1/2)是有理数s/r(r,s是互质的正整数),然后可以通过取平方推出矛盾。下面将考虑证明形如(n²±1)2±1)^(1/2)的实数(这里n∈N,n≥2,而N是所有正整数的集合)都是无理数。对于每一个具体的n,本质上我们也可以用上面处理2(1/2)的实数(这里n∈N,n≥2,而N是所有正整数的集合)都是无理数。对于每一个具体的n,本质上我们也可以用上面处理2^(1/2)的办法     

浅谈根式(a~2)~(1/2)化简中的隐含条件

在《二次根式》一章的学习中,规定如果没有特别说明,根号内被开方数都表示非负数。因此对于一些具体问题,要根据题目特点,以二次根式的概念为依据对字母的取值进行,充分挖掘其隐含条件,现举例说明。例1化简-a1.分析:根据二次根式定义,开方数-1a应是非负的,又分母不能为零,所以根式中隐含着a<0.解:-1a=-aa2=|1a|-a=-1a-a.例2把(x-1)11-x的根号外面的因式移到根号内。分析:a2=a(a≥0)有时我们可反用,即a=a2,使解题更方便,但要注意a≥0这个条件,本题不能随意的将x-1放到根号内,因为题目中有隐含条件即1-x>0,亦x-1<0所以x-1=-(1-x)=-(1-x)2解:(x…     

型如(A±2(B~(1/2))~(1/(A±2(B~(1/2)))根式化简应注意的问题

给出根式(A±2(b~(1/b)))~(1/A±2(b~(1/b)))的化简定理及化简应注意的两个问题.     

例说二次根式a~2～(1/2)的化简

二次根式中主要难点是正确理解与动用公式 :a2 =| a| =a　 ( a≥ 0 )- a　 ( a <0 ) ,实际运用时 ,则要牵涉到对字母取值范围的讨论 .为此在运用时应注意以下几点 :1.公式中的 a可以是任意实数 ,a2是非负数 ,a2也是非负数 ,它是 a2的算术平方根 .2 .在化简时 ,一定要弄清根号内字母 a是正值 ,0 ,还是负值 .3.动用公式 a2化简二次根式的一般步骤 :( 1)去掉根号及被开方数的指数 ,写成绝对值的形式 ,即 a2 =| a| .( 2 )去掉绝对值的符号 ,如果已知 a的符号 ,则根据绝对值的意义化简 ;如果不知道 a的符号 ,就应分 a≥ 0 ,a <0两种情况分别表示 …     

《二次根式(a~2)~(1/2)的化简》教学实录

师：如果把指数“2”请到根号内，＝？生众：（不加思索）＝a。师：试根据你的结论，计算当X=2时，师：请大家看：／三五万一／【五万，但l上一1，请同位相互讨论，出现差错的原因是什么？生。：可能是W不等于。吧！师：Vtax不等于。，它又等于什么呢？这节课我们就来学习“二次根式Vi7的化简”（板书课题）评析：“学起于思，思源于疑。”数学学习离不开思维，“疑”是思维的起点。通过复习、练习，适时设疑，不仅导出本节课要学习的内容，而且激发了学生的求知欲望，造成了获取知识的最佳心理状态。师：好！请同学们作练习，并思考：各…     

√b±2√ac型根式的化简问题

初中数学中,经常会遇到√b±2√ac型根式的化简问题,本文探讨如下：     

二次根式(a~2)/(1/2)化简的常见错误与剖析

运用(a~2)/(1/2)=|α|化简二次根式,既是本章的重点,又是考点.有时直接出题,也有时在二次根式的计算、代数式的化简求值中加以体现,也是考题中学生的易错点,现将常见错误归类     

不等式2((n+1)~(1/2)-n~(1/2))<1/n~(1/2)<2(n~(1/2)-(n-1)~(1/2))的推广

设n∈N,则有这是中学数学中一个熟知的不等式,它的一个熟知的用法是推出     

从求sin15°的值谈[a±b~(1/2)]~(1/2))形式的根式化简

注意:当√b的根系数是2时,若找到两个有理数x和y,能使x+y=a,xy=b,则原式可以用这两个有理数的算术平方根和或差来表示,并且将较大的一个有理数写在前面的一个根式里作为被开方数.     

怎样化简(a~2)~(1/2)

在利用二次根式的性质(a~2)~(1/2)=|a|=(a(a≥0) -a(a<0)) 化简二次根式时,关键是确定a的符号,而这一步判断的准确性依赖于对化简条件的不同形式的正确处理。本文就中考试题中化简条件的一些常用变化形式与判断方法作一些介绍。 1.以不等式形式给出条件     

根式函数ω=n~(1/z)单值性的教学探讨

初等多值函数是复变函数教学的一个难点。初等多值函数包括根式函数、对数函数、反三角函数、一般幂函数与一般指数函数,关于这部分内容的教学,对于师范专科学校,重点是讨论根式函数和对数函数,而在讲解根式函数和对数函数时,要求学生掌握支点、支割线的概念及作支割线方法,以及要求学生能分出具有单个有限支点的根式函数与对数函数值单解析分支。在此基础上对反三角函数、一般幂函数与一般指数函数作介绍,现谈谈我对根式函数单值性的教学处理。     

n~(1/2)是有理数还是无理数

马继英[1]用初等方法证明:如果n不是完全平方数,则是无理数.[1]的证法较繁,且不易推广到的讨论,我们给出一个适用于一般情况的简单的初等证明n不是完全平方数,则是无理数证:n不是完全平方数,则n=P_1~(a1)P_2~(a2)…P_t~(at),且其中必有某一α,为奇数,不妨设     

怎样化简a~2~(1/2)

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(a±b~(1/2))~(1/3)的化简与三次方程的求解

３ａ±ｂ的化简与三次方程的求解王明军（甘肃省兰化一中７３００６０）形如ａ＋ｂ的二次根式用配方法容易达到化简的目的,比如１９－８３＝１６－２·４·３＋３＝（４－３）２＝４－３．但能否用类似方法来化简三次根式３ａ±ｂ呢？例如１２＋１２７３３＝１＋２３７３...     

函数f(x)=(a±bx)~(1/2)±(c±dx)~(1/2)的最值

函数f(x)=a±bx±c±dx(a,b,c,d>0,定义域非空,下同)的最值可分为以下三类.第一类型如f(x)=a-bx+c-dx,f(x)=a-bx-c+dx的函数在定义域内单调递减;型如f(x)=a+bx+c+dx,y=a+bx-c-dx的函数在定义域内单调递增.故只要求出其定义域,根据单调性就可求出这类函数的最值.(1)f(x)=a-bx+c-dx无最大值,只有最小值,最小值是f[min(ba,cd)],即[f(x)]min=f[min(ab,dc)].(2)f(x)=a-bx-c+dx既有最大值又有最小值,分别为[f(x)]max=f(-dc),[f(x)]min=f(ab).(3)f(x)=a+bx+c+dx在定义域内单调递增,只有最小值,无最大值,最小值是f[max(-ab,-dc)],即[f(x)]min=f[max(…