一道习题的证明引申及应用

很多教辅资料上都有这样一道习题: 在锐角△ABC中,求证tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC. 这是一道很平常的题,证法如下:因为△ABC为锐角三角形,所以tanA,tanB,tanC,tan(A+B)都有意义.又因为A+B=π-C,所以tan(A+B)=-tanC,所以tanA+tanB+tanC     

与两个正切、余切恒等式相关的锐角三角形等效条件及其应用

下面介绍与两个正切、余切恒等式相关的锐角三角形等效条件及其应用.一、三角形的正切恒等式在非直角三角形ABC中,存在这样的正切恒等式:tan A+tan B+tan C=tan A tan B tan C.我们有以下结论:定理1设x、y、z为正数,满足:x+y+z=xyz,则必存在锐角三角形ABC,使x=tanA,y=tanB,z=tanC.证:因x、y为正数,故有锐角A、B,使     

关于三角形的一个正切公式及其应用

在三角形中刻画边角关系最重要的定理是正弦定理和余弦定理.但在近几年高考数学试题中经常出现三角形中角的正切问题.为此我们向读者介绍下面的一个正切公式:定理设非直角△ABC的三个内角A、B、C所对的边为a、b、c,S为其面积,则有:tanA=b2+4c2S-a2;tanB=a2+4cS2-b2;tanC=a2+4bS2-c2.证明由余弦定理cosA=b2+2cb2c-a2及面积公式S=12bcsinA得:tanA=csionsAA=b22+bccsi2n-Aa2=b2+4c2S-a2.同理可证其它两式.这个公式刻画了三角形(非直角三角形)的三个角正切值与其面积、三边的关系.在解有关三角形正切问题中有着很广泛的应用.现举几例予以说明.例1(2005年天津卷理17题)在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c,设a、b、c满足条件b2+c2-bc=a2和bc=21+3,求∠A和tanB.解由余弦定理得:cosA=b2+2cb2c-a2=bc2bc=21.故∠A=3π.由正切公式得:tanB=a2+4cS2-b2=4×21bcsin3πa2+c2-b2=2c23-bcbc=2c3-bb=2.bc3-1=3...     

一个三角命题的证明及应用

命题:(新教材高一下册P42第15题的特例)若A、B、C为非直角三角形的三个内角,则tanA tanB tanC=tanA·tanB·tanC.证明:在△ABC中,A B C=π,A B=π-C.     

三角形中的边角问题

原初中数学教材中的“解斜三角形”,现已编入高中代数第三章:“两角和的三角函数,解斜三角形”中,因此,三角恒等变形和正(余)弦定理的综合应用、立体几何计算题中的解三角形问题,应引起足够的重视。在解题中常用的三角形ABC中的边角关系有: (1)三角形的三个内角和为π,即A B C=π. 作用:三角形的三个内角(或它们的三角函数)之间的相互转化. (2)正弦定理:a/(sinA)=b/(sinB)=c/(sinC)=2R(R为三角形ABC外接圆半径); 余弦定理:c~2=a~2 b~2-2abcosC(当c=π/2时,勾股定理). 作用:三角形的边和角的正(余)弦之间的相互转     

三角形中一对弦不等式

在斜ΔA BC中有熟知的结论tan A+tan B+tanC=tan A tan B tanC,那么三角形中三内角的正弦(或余弦)的和与积又有怎样的联系呢?本文给出三角形中正弦和余弦的两个优美不等式,供参考.     

一道高考数学试题的解题策略

<正>2012年全国高校统一招生试题(第17题):△ABC中,内角A、B、C成等差数列,其对边a、b、c满足2b2=3ac,求A.命题意图:本试题主要考查了解三角形的运用.分析:因为,A、B、C成等差数列,且A+B+C=π.所以,B=π/3,A+C=2π/3.策略一:运用正弦定理及二倍角公式和辅助角公式     

三角中一个代换公式

定理:已知△ABC中,必存在一个锐角三角形△A′B′C′,使满足2A′ A=π,2B′ B=π, 2C′ C=π.     

高考三角函数基础试题考点解析

数学科《考试说明》要求考生:1掌握三角函数定义、图象、性质及其应用,会用“五点法”画正弦、余弦函数和正弦型函数的简图,并能解决与之有关的实际问题;2能推导并掌握同角函数关系式,诱导公式,两角和、两角差、二倍角的正弦、余弦、正切公式;能正确地运用上述公式化简、求值和恒等式证明;会由已知函数值求角并能用反三角表示;3掌握正弦定理、余弦定理及其推导过程,并能运用它们解斜三角形.下面介绍三角函数基础试题考点及其解析.考点1　求三角函数周期、振幅例1　(2001年新课程卷高考题)函数y=3sin(x2+π3)的周期、振幅依次是(　　)(A)4π…     

关于对两角和与差的正切公式的教材处理

两角和与差的正切公式是:tg(α±β)=(tgα±tgβ)/(1(?)tgα·β)教材对上述公式的推导过程中有这样一段话:在两角和与差的正切公式中,α、β的取值范围应该是都存在的那些值,即α、β、α±β都不能取(π/2) nπ(n∈Z).     

斜三角形中的最值问题

斜三角形的最值问题都是带有约束条件的,如对三角形内角在(0,π)内的限制.解决这类问题,往往要结合正、余弦定理,综合利用三角形中的边角关系,面积公式及两角和与差的三角函数关系在三角形中的变形公式.下面举例说明.     

三角形面积公式的一种新的证明

本文利用一个三角恒等式证明三角形的面积公式b,c为△ABC的三边长,p=1/2(a+b+c)是半周长,S是面积. 证明:如图1,⊙I是△ABC的内切圆,半径为r.在Rt△IFA中.tan A/2=IF/FA=r/(p-a)同理tanC/2=r/(p-b), tanC/2=r/(p-c). 证明中要用到三角恒等式tanA/2·tanB/2     

谈正弦、余弦定理与面积相关的问题

一、利用正弦、余弦定理结合面积公式求三角形的面积 例1(2012年高考江西理18)在△ABC中,角A,B,C的对应边分别为a,b,c.已知A=π/4,并且bsin(π/4+C)-csin(π/4+B)=a. (1)求证:B-C=π/2; (2)若a=√2,求△ABC的面积. 解析:(1)已知由bsin(π/4+C)-csin(π/4+B)=a,应用正弦定理得: sin Bsin(π/4+C)-sin Csin(π/4+B)=sin A.     

例析三角形中的三角函数

一、求值例1 在△ABC中,已知tanA,tanB是方程3x2+8x- 1=0的两根,求tanC的值. 解由韦达定理得∵A+B+C=180°∴C=180°-(A+B). ∴tanC=tan[180°-(A+B)]=-tan(A+B)=-(-2)=2. 例2 已知△ABC的三个内角满足:2B=A+C,     

解斜三角形

☆基础篇诊断检测一、选择题1.在△ABC中,B=60°,b=76,a=14,则角A的值是()(A)75°.(B)45°.(C)135°或45°(D)30°2.三角形的三边之比为3∶5∶7,则其最大角为()(A)π2.(B)2π3.(C)3π4.(D)5π6.3.在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边依次为a,b,c,若cosAcosB=ba,则△ABC是()(A)等腰三角形.(B)等边三角形.(C)直角三角形.(D)等腰或直角三角形.二、填空题1.若三角形三个内角之比为1∶2∶3,则这个三角形三边之比是.2.在△ABC中,已知角A,B,C成等差数列,且边b=2,则此三角形的外接圆R=.3.在△ABC中,S△=a2+b2-c243,则角C=.4.已知锐角三角…     

一个三角形性质的应用

<正> 在△ABC中,A+B<π,则0cos(π-B).∴ cos A+cos B>0. (*)(*)式说明△ABC中任两角的余弦之和均大于零,利用三角形的这一性质解一类三角求值问题,既可以避免繁烦的角的范围讨论,又可以防止增解,达到迅速解题目的.下面举例说明.     

高考数学中的三角形

1.三角形内角和定理及诱导公式由三角形内角和定理A+B+C=π及诱导公式如下表:     

关联三个外接圆的不等式

定理　设△DEF为锐角△ABC的垂足三角形 ,BC =a ,CA =b ,AB =c,△AEF、△BDF、△CDE的外接圆分别为⊙O1(R1)、⊙O2 (R2 )、⊙O3(R3) ,则有aR1 bR2 cR3≥ 63 .证明 :由于B、C、E、F共圆 ,∠AEF =∠B ,∠AFE =∠C ,从而△AEF∽△ABC(如图 ) .　∴ EFBC=AEAB=cosA ,　∴EF =acosA .同理　DF =bcosB ,DE =ccosC .由正弦定理得EF =2R1sinA .∴acosA =2R1sinA ,从而aR1=2tanA .同理 bR2=2tanB ,cR3=2tanC .由于△ABC为锐角三角形 ,tanA >0 ,tanB >0 ,tanC >0 ,∴ tanA tanB tanC33≥tanAtanBtanC=tanA ta…     

一道调研试题的讲评与反思

1 试题呈现 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知acos B=bcosA,边BC上的中线长为4. (Ⅰ)若A=π/6,求c; (Ⅱ)求△ABC面积的最大值. 这是浙江省2015年高三调研测试卷理科第16题,旨在考查正弦定理,余弦定理,三角形面积公式等基础知识,以及运用上述知识进行三角变换和运算求解的能力.     

三角形中一个简单结论的应用

三角形中一个简单的结论：在△ABC中,cosA＋cosB〉0. 证明：在△ABC中,由A＋B〈π知A〈π-B,∵A∈（0,π）,π-B∈（0,π）,∴cosA〉cos（π-B）,即cosA〉-cosB,∴cosA＋cosB〉0.此结论在判断三角形的形状以及与三角形有关的求值等问题中都有着广泛的应用,举例说明如下.