调和级数敛散性的判别

对于调和级数敛散性的判别,教材上采用的或者是定义法或者是反证法,这里利用比较审敛法来判别.     

任意项级数的D-C审敛法

一个任意项级数，各项取绝对值即可化为正项级数，这个正项级数收敛，则任意项级数也收敛(绝对收敛)．所以数学分析中无不重视正项级数的讨论．其中D′Alembert比式法和Cauchv根式法是正项级数中既简单又实用的审敛方法．实际上，对于任意项级数，灵活运用D′Alembert和Cauchv审敛法，我们同样可以判别出其敛散性．     

比值审敛法与根值审敛法的一般关系

利用数列的上下极限概念论述了正项级数的比值审敛法与根值审敛法的一般关系.     

关于级数∞∑n=2[1-α/π(n)]n的敛散性

本文借助对数判别法,素数定理及函数π(x)的一个不等式完全解决了级数∑n=2[1-α/π(n)]n的敛散性.     

正项级数的审敛法中基准级数的选取

正项级数审敛法的存在种类多、技巧繁琐等问题,在所有判别法中尤其以比较审敛法较为困难,关键在于寻找合适的基准级数。本文总结了几种选取基准级数的方法并给出具体实例。     

使用莱布尼兹审敛法证明交错级数敛散性的几种注记

给出了使用莱布尼兹审敛法时需要注意的几个问题，归纳了如何使用该定理证明交错级数的敛散性，并在莱布尼兹审敛法失效时，提供了判定交错级数敛散性的方法．     

正项级数审敛法探讨

本文讨论了正项级数审敛法,用正项级数收敛和发散速度的快慢揭示各审敛法的有效性。     

数学教学中关于判定P级数敛散性的几种方法

在数学教学中利用级数的性质和正项级数的比较审敛法判断P级数的敛散性。     

函数级数一致收敛的Gauss判别法与对数判别法

基于将正项级数审敛法推广到函数级数一致收敛上去的思想,类比正项级数的Gauss判别法、对数判别法、拟对数判别法以及它们的极限形式,得到了函数级数一致收敛的相应判别法,丰富了函数级数一致收敛审敛法.     

正项级数两种新的比值审敛法

本文给出正项级数两种较D’Alembert审敛法更强,并与之形成一组连贯的、渐强的审敛法。     

广义积分的一种判敛法

本文给出了广义积分的一种判敛法——对数判敛法,并举例说明了仑比柯西判别法的优越之处。     

关于正项级数比较审敛法极限形式的讨论

对正项级数比较审敛法极限形式进行了进一步分析,利用等价无穷小,判断正项级数的敛散性,提供了快速判别通项为分式的正项级数的敛散性的方法。     

广义积分敛散性的一个判别准则

运用定义及比较审敛法在判断广义积分的敛散性时,会由于被积函数不存在初等函数的原函数或用来比较的函数较难选择而产生困难,为解决该问题,从无穷小与无穷大出发,研究广义积分的敛散性,得到一个比较实用的判定准则。     

指数函数e^x的两个应用

1　在级数审敛中的应用利用指数函数 ex的幂级数展开式 ,即 ex=1+ x+ x22 !+… + xnn!+… ,| x| <+∞ (参见 [1 ] )可以判断某些通项为 n的指数函数的级数的敛散性。例 1　判别级数Σ∞n=1 e-n 的敛散性。解　根据指数函数的幂级数展开式 ,有e n =1+ n + (n ) 22 !+ n323 !+ n24!+…于是 e n >n22 4　　　 (n=1,2 ,…… )故 e-n <2 4n2 　　　 (=1,2 ,…… )从而据正项级数比较判别法知 ,Σ∞n=1 e-n收敛例 2　判别级数 Σ∞n=1 (n1n2 + 1 -1)的敛散性。解 :因为an =n 1n2 + 1 -1=elnnn2 + 1 -1由于　　　　 limn→∞anlnnn2 + 1=limn→∞el…     

关于级数∑n=2^∞[1—α／π（n）]^n的敛散性

本文借助对数判别法，素数定理及函数π（x)的一个不等式完全解决了级级∑n=2^∞[1-α/π(n)]^n的敛散性。     

正项级数敛散性判别法新探

以比较判别法为基础,拿广义调和级数∞∑n=1 1/np作标准,得到了一些比柯西根值法更细致的正项级数敛散性判别法.     

正项级数对数判别法的极限形式

给出了判别正项级数敛散性的一种对数判别法的极限形式.     

关于级数sum from n=2 to ∞[1-α/(π(n))]~n的敛散性

本文借助对数判别法 ,素数定理及函数 π( x)的一个不等式完全解决了级数 ∑∞n=2 [1 - απ( n) ]n的敛散性     

级数绝对收敛的高阶导数判别法

对于级数∑∞n=1un是否绝对收敛,我们可以用比较判别法、比值或根值判剐法及它们的极限形式对∑∞n=1|un|的敛散性来进行判定,文献[1]给出了用导数判别级数绝对收敛的方法,本文对文献[1]的结论做了进一步的推广,给出了利用高阶导数判定级数绝对收敛的方法.     

常数项级数审敛法探讨

本文针对常数项级数的一般审敛法作出讨论。