点击均值不等式的4个层次

均值不等式√ab≤a＋b/2（a≥0,b≥0）,其中a＋b/2称为a、b的算术平均数，√ab称为a、b的几何平均数，因而该定理又可叙述为：2个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，其中等号成立的前提是a=b．     

应用均值定理求最值的错解及分析

（a+b）/2≥ab^1/2（a,b∈R⁺,当且仅当a=b时取"="号）,（a+b）/2为a,b的算术平均数,ab^1/2为a,b的几何平均数.此不等式即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的均值定理.应用均值定理时,需满足正（a,b均大于0）、定（a,b的和或积为定值）、等（a=b可以成立）三个条件.但是一些学生在应用解题时,常会出现貌似合理的解法,却造成矛盾或错误的结果等现象,究其原因,往往是对均值不等式中的"="的理解出现误区所致.实际上,均值不等式本身有其双重性.一方面,     

利用平均不等式求函数的最值

均值不等式的定理: 如果a,b是正数,那么a b/2≥ab(当且仅当a=b时取"="号),我们称a b为a,b的算术平均数,称√ab为a,b的几何平均数.     

由教材例习题引发的思考

“如果a ,b∈R ,那么a2 b2 ≥2ab(当且仅当a =b时取“=”号)”,这是高中数学一个非常重要的定理,有着广泛的应用.如果限定a ,b∈R ,则得到a b2 ≥ab ,其中a b2 、ab分别称为正数a、b的算术平均数与几何平均数.对此,《教师教学用书》要求:“掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的应用.”教材在编写上也不涉及三个正数的情形,对于出现含三个正数的不等式,则是建立在两个正数的基础上,运用不等式的性质相加得到的,不属于三个正数平均值范畴.纵观不等式全章,我发现在所提供的两个正数不等式中,有…     

失之交臂话“平均”

已知两个正数a、b,如果c=a＋b^——a^2＋b^2，称c为a、b的平方平均数；     

均值不等式链的统一性证明探究

我们知道，对于正数a、b而言，√ab被称为几何平均数，a＋b/2为算术平均数，     

a~2+b~2≥2ab的五个重要推论及应用

如果a,bR,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号).该结论利用作差法极易证明.下面给出其推论及应用.推论1如果a,b是正数,那么a+b2≥ab√(当且仅当a=b时取“=”号).这个定理又可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.其应用极其广泛,常用于求最值、比较大小、求取值范围和证明不等式等.例1若实数a,b满足a+b=2,则3a+3b的最小值是A.18B.6C.23√D.234√解3a+3b≥23a·3b√=23a+b√=6(当且仅当a=b=1时取“=”号).即3a+3b的最小值为6.选B.推论2如果a,bR,那么a2+b2≥2｜ab｜(当且仅当｜a｜=｜b｜时取“=”号).证明∵a2+b2=…     

为什么不一样?

定理如果a、b是正数,那么3^-a＋b≥√ab,当且仅当a=b时取“=”号。     

关于“平均数”的认识

在日常生活中人们经常运用平均数来解决实际问题．若对于两个数a、b，我们把a＋b/2生尹叫做a和b的算术平均数，简称为平均数．但在有些情况下，上述平均数的概念不适用，而必须运用加权平均数或样本平均数．     

均值定理之巧思妙构

不等式在高考试题中占有重要的地位,特别是对均值不等式内容的命题已成为一个重点．二元均值定理：a＋b≥2√ab（a,b∈R^＋）,当且仅当a=b时取“=”,此时a＋6有最小值;当a,b都为正数,且a＋b为定值时,     

高考不等式基础试题考点解析

数学科《考试说明》要求学生:1理解不等式的性质及其证明;掌握简单不等式的解法;掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式.2掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理及其应用.3理解不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.下面介绍高考不等式基础试题考点及解析.考点1　均值不等式定理简单应用例1　(1999年全国高考题)若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是.解析:运用均值不等式求和的最小值或积的最大值时,必须具备三个条件:各数为正;和或积为定值;等号应能成立.解:由均值不等式定理得ab=a+b+3≥2ab+3.即(ab+1)(…     

一个均值不等式链的几何证法

命题 已知a〉0,b〉0,求证：max{a,n}≥√a^2＋b^2/2≥a＋b/2≥√ab≥2ab/a＋b≥min{a,b},当且仅当a=b时,等号成立．这是一个4类平均数的重要不等式即均值不等式链,     

2010高考数学大盘点——不等式

考点阐释 （一）考点 1．理解不等式的性质及其证明． 2．掌握两个或三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理及其变形,并会简单的应用．     

利用绝对值不等式定理求解有关物理问题

某些物理问题。往往牵涉到两个物理变量之间的关系,利用绝对值不等式定理来求解,显得方便简捷。定理:①若a、b为任意两正数,并且a+b=定值,则其乘积ab仅当a=b时为极大;②若a、b为任意正数,并且ab=定值,则其和a+b仅当a=b时为极小。下面举例说明: 例1、如图1电路,证明:当R=r时,电源输出功率最大。 [证]∵U+U_r=ε为定值。由定理①可知,U=U_r时,即IR=Ir,或R=r时,U·U_r,有极大值。     

巧用不等式 速解物理题

不等式定理之一:如果a、b都为正数,那么(a b)/2≥ab~(1/ab)(当且仅当a=b时,取“=”号)。该不等式表明:变量a、b,当a＞0,b＞0时,若a b=常数,则在a=b     

均值不等式应用的错解剖析及对策

高中数学第二册上§6.2均值不等式定理:如果a、b是正数,那么a+b/2≥ab~(1/2)(当且仅当a=b时取“=”号),它有如下推广:如果a1,a2,…,an(n ∈N),n≥2)均为正数,那么(当且仅当a1=a2=…=an时取“=”号).     

立足课本 探求本质 引领教学--2010年高考数学湖北卷理科第15题亮点

题目：设a〉0,b〉0,称2ab/a＋b为a,b的调和平均数．如图,C为线段AB上的点,且AC=a,CB=b,O为AB的中点,以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D,连结OD、AD、BD．过点C作OD的垂线,垂足为E．则图中线段OD的长度为a、b的算术平均数,线段___的长度是a、b的几何平均数,线段___的长度是a、b的调和平均数．     

用七法证(a+b)/2≥(ab)(1/2)(初二、初三)

定理如果a,b均为正数,那么(a b)≥(ab)/(1/2)(当且仅当a=b时,取“=”号)。现行教材对该定理已作了证明,本文再介绍几种别的证法以拓宽思路。证法1用二次根式的性质     

高考不等式考点解析与试题集粹（上）

数学科《考试大纲》要求学生：①理解不等式的性质及其证明；掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；掌握简单不等式的解法．②掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理及其应用．③理解不等式|a|-|b|≤|a b|≤|a| |b|。下面介绍高考不等式基础试题考点及解析。     

一组不等式的推广及应用

高级中学数学第二册(上)第六章一组不等式: 1.如果a,b∈R,那么a2 b2≥2ab(当且仅当a=b时取"="号)(P9性质定理). 2. 已知a,b是正数,且a≠b. 求证a3 b3＞a2b ab2(P12例3). 3. 如果a,b是正数,且a≠b是正数,求证a6 b6＞a4b2 a2b4(P16习题2).