抽象函数解读

Ⅰ.正比例函数f(x)=kx(k≠0,x∈R)的抽象函数的特征式为:(1)f(x+y)=f(x)+f(y);(2)f(x-y)=f(x)-f(y);(3)f(xy)=k1f(x)f(y),特别地当k=1时,有f(xy)=f(x)f(y).例1:定义在R上的函数f(x),恒有f(x+y)=f(x)+f(y),若f(16)=4,那么f(2003)=.解法1(基本解法):令x=y=0,得f(0)=2f(0),∴f(0)=0.令y=-x,得f(x-x)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数.令y=x,得f(2x)=2f(x),f(22x)=f(2·2x)=2f(2x)=22f(x),…,f(2nx)=2nf(x).又∵f(16)=4,∴f(1)=41.∵f(2003)=f(211-25-23-22-1),∴f(2003)=f(211)-f(25)-f(23)-f(22)-f(1)=(211-25-23-22-1)·f(1)=20403.…     

常见抽象函数题的解法

一、几种常见的抽象函数1.一次函数型抽象函数:f(x+y)=f(x)+f(y),f(x-y)=f(x)-f(y).对应函数模型:f(x)=kx(k≠0).2.二次函数型抽象函数:f(a+x)=f(a-x).对应函数模型:f(x)=k(x-a)2+m(k≠0).3.指数函数型抽象函数     

二阶变系数线性微分方程的一类通解

文章利用待定函数法,把二阶变系数线性微分方程y″+p(x)y′+q(x)y=f(x)降为一阶线性微分方程,从而推导出二阶变系数线性微分方程的一类通解为y=(x+k)∫1/(x+k)~2e~(-∫p(x)dx) [∫(x+k)f(x)e~(∫p(x)dx)dx+C_1]dx+C_2(x+k),其中C_1,C_2为任意常数,k为常数,并证明该通解存在的充要条件是p(x)+(x+k)q(x)=0,同时还得出特殊情形的相应结果.     

反函数的应用(高一)

例1 方程x+lgx=3和方程x+10x=3的根分别为α、β,求α+β. 解因为lgx=3-x,10x=3-x. 没f(x)=lgx,则 f-1(x)=10x. 分别作出函数f(x)、f-1(x)和直线y=3-x的图象,y=f(x)与Y=3-x的交点A(α,3-α),y=f-1(x)与y=3-x的交点为B(β,3-β).而     

联想函数模型解抽象函数题

一、正比例函数模型例1 若f(x+y)=f(x)+f(y)对任意实数x、y都成立,且f(x)不恒等于零,试判断f(x)的奇偶性. 联想因为k(x+y)=kx+ky,所以得出f(x)的模型函数为f(x)=kx. 分析正比例函数必过点(0,0),即f(0)=0,这是问题的突破口。     

一道高考题的解答探究与推广

题目 (2016年全国卷二理科12)已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=x+1/x与y=f(x)图像的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则m∑i=1(xi+yi)=(). (A)0 (B)m (C)2m (D)4m 1 一题多解 本题条件中f(x)(x∈R)为抽象函数,且满足f(-x)=2-f(x),而题目要求我们求y=f(x)与y=x+1/x交点横坐标与纵坐标的和.那么我们就要弄清它们交点之间的关系,显然y=x+1/x这个反比例型函数自身关于点(0,1)中心对称,这时我们就要由f(x)(x∈R)的条件f(-x)=2-f(x)判断其是否也关于点(0,1)中心对称,这样就必须熟悉抽象函数的对称性.基于选择题的特点,那么方向不外乎两个:一是利用两函数的对称性理论求解;二是利用选择题答案的唯一性可构造特殊函数求解.     

求“多项式数列”的和数问题

定义设P(x)为m次多项式,则以a_n=P(n)为项的数列称为m次多项式P(x)的数列。问题设a_n为m次多项式P(x)的数列,问如何求和sum from k=1 to n(a_k)=sum from k=1 to nP(K)。为此我们先给出引理1 设f(x)为m次多项式,则一阶差分Δf(x)=f(x+1)-f(x)为m-1次多项式,命题是显然成立的,故证略。引理2 若P(x)=a_mx~m+…+a_1x+x_0,α_m≠0为一m次多项式。则有f(x)=β_m+1x~(m+1)+…+β_1x,使得Δf(x)=P(x)。证明时只要算出Δf(x)=f(x+1)-     

一类分式函数求值域的基本方法

方法一:反函数法根据反函数的性质,一个函数若存在反函数,那么反函数的定义域就是原函数的值域.这样,从原函数表达式y=f(x)中,解出自变量x来,得到一个以y为变量,x为函数的新函数x=f-1(y),这个函数自变量y的取值范围,就是原函数y=f(x)的值域.这个方法一般适用于分子、分母都是一次式的分式函数.例1.求函数y=1-x2x+5的值域.分析:因为y=1-x2x+5=-12+722x+5图象为以点(-52,-12)为中心,平行于x轴,y轴两条相交线为渐近线的双曲线.从自变量x到函数y是一一映射,存在反函数.解:由y=1-x2x+5得x=1-5y2y+1,这个函数中,自变量y的取值范围是y≠-12.所以,原…     

《高等数学(1)》自测模拟试题

一、填空题1.函数f(x)=11n(x+2)+4-x2的定义域是。2.函数f(x)=1nx+11-x的定义域是。3.若函数f(x)=5exx<03x+ax≥0在点x=0处连续,则a=。4.设f(x)=exx≥0xk+1x<0在x=0处可导,则k=。5.已知f(x)在x=0处可导,则limx→0f(2x)-f(0)x=。6.若y=xx,则dydx。7.若连续函数f(x)在区间a,b内恒有f′(x)<0,则此函数在a,b上的最大值是。8.设f(x)=x2-3x+2,则f(f′(x))=。9.极限limx→0∫x0costdtx=。10.limx→0∫x0sintdtx2=。11.∫exf′exdx=。12.已知函数f(x)的一个原函数是arctan2x,则f(x)=。13.根据定积分的几何意义,∫3-39-x2dx=。14.广义积分∫+∞adxxpa…     

妙用函数奇偶性解题

函数的奇偶性不只给函数的作图和研究函数的其他性质带来方便,而且在解题中还有奇妙的作用。 [例1] 已知:实数x,y满足(3x+y)~5+x~5+4x+y=0。求证:4x+y=0。证明:已知的等式即是(3x+y)~5+3x+y=-(x~5+x), ①设f(x)=x~5+x,则①式化为f(3x+y)=-f(x)。显然,f(x)是奇函数,从而由上式得f(3x+y)=f(-x)。②又f(x)在R上单调上升,且对应法则f是R到R的一一对应,故②式等价于3x+y=-x。∴ 4x+y=0。 [例2] 解方程     

利用取对数方法求导应注意的问题

对一个可导函数进行求导的方法多种多样 ,但当函数的解析式形如 y=f1 (x)f2 (x)……fm (x)时 ,一般教材都是采用了两侧取对数的方法 ,比如求函数 y=(2 x-1 ) 3 3 x 2(5x 4) 2 3 1 -x的一阶导数 ,就是如此 .解 :取所求函数的对数得 :lny=3 ln(2 x-1 ) 12 ln(3 x 2 ) -2 ln (5x 4) -13 ln (1 -x) .两边分别对 x进行求导知 :y′y=32 x-1 · 2 12 · 33 x 2 -2· 55x 4 13 (1 -x) ,从而可得 :y′=(2 x-1 ) 3 3 x 2(5x 4) 2 3 1 -x 〔 62 x-1 32 (3 x 2 ) -1 05x 4 13 (1 -x) 〕 .这是一道从任何教材都可以看到的例子和解法 ,显…     

关于一类抽象函数的对称问题

进入高中,同学们对形如y=f(-x+a)与y=f(x+a)等一类抽象函数的对称问题比较模糊,特别容易混淆y=f(x)满足条件f(-x+a)=f(x+a)的情况下,y=f(x)的对称性同两个函数y=f(-x+a)与y=f(x+a)的图象对称性的区分,不少同学总是把它们看成是具有相同的对称轴,本文就此作一些比较性探索.     

一题多解话成因

例:已知x2+y2=4,求3x+4y的最大(小)值。分析1:按常规思路,讨论一个函数的最大(小)值,首先可以考虑化为单元函数,然后用配方等方法进行讨论。此题可从x2+y2=4入手,解出x或y,代入3x+4y,再用导数的方法求出最大(小)值。解法1:由x2+y2=4!y=±4-x2",代入3x+4y可得,3x+4y=3x±4-x2",令f(x)=3x±44-x2",则f′(x)=3±-4x4-x2".令f′(x)=0,解之,可得驻点:x±56.讨论可知:当x=56时,3x+4y可取得最大值10,当x=-56时,3x+4y可取得最小值-10。评析:分析的方法是研究函数的有力工具,用导数对函数的性态进行讨论是非常常用的,它可以解决很多问题,如单调性、极…     

解析几何训练与检测

第一章坐标法、曲线与方程一、基础训练 (一)选择题 1.点P(a,b)关于直线y=k的轴对称点的坐标为( ) (A)(-a,-b) (B)(a,k+b) (C)(a,k-b) (D)(a,2k-b) 2.点P(a,b)关于点(h,k)中心对称的点的坐标为( ) (A)(-a,-b) (B)(-b,-k) (C)(a+h,b+k) (D)(2h-a,2k-b) 3.曲线f(x,y)=0关于直线x=-2成轴对称的曲线方程是( )(A)f(4-x,y)=0 (B)f(-4-x,y)=0     

《经济数学基础》(旧教材)期末复习指南

一、复习内容简介第一章 函数理解函数概念,记住基本初等函数的性质.会求y=(4-X)~(1/2)/ln(x_1)的定义域,判断y=e~x-e~(-x)/z的奇偶性,已知(x)=x+1/x,求f〔f(x)〕.     

抽象函数的两个性质

性质一一个偶函数的图象若关于直线x=a(a≠0)对称,则这个函数为周期函数,且2a为它的周期. 证明设f(x)是偶函数,因其图象关于y轴对称,所以,如果点(x,y)在图象上,则点(-x,y)也在图象上,即f(-x)=f(x).又因其图象关于直线x=a对称,所以点(x+2a,y)也应在图象上,即f(2a+x)=f(-x),于是f(x)=f(-x)=f(x+2a)对于一切x都成立,f(x)为周期函数,2a为它的周期.     

一类分段函数解析式的求法

若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同 ,可用几个式子来表示函数 ,这种形式的函数叫分段函数。已知一个分段函数在某一区间上的解析式 ,求此函数在另一区间上的解析式 ,这是分段函数中最常见的问题。由于给出条件的不同 ,常有如下一些题型。1　分段函数关于直线对称的情形例 1　设函数 y =f(x)的图像关于直线x =1对称 ,若x≤ 1时 ,y =x2 +1。求x >1时 f(x)的解析式。解　设x >1 ,则 2 -x <1 ,由已知条件 ,得f( 2 -x) =( 2 -x) 2 +1 =x2 -4x +5。因为函数y =f(x)关于x =1对称 ,故 f(x) =f( 1 -(x -1 ) ) ,即 f(x) =f( 2 -x) ,所以当x >1…     

“对号”函数的应用及推广

函数f(x)=x+x/k(k>0)是渐近线为y=x和y轴的双曲线,掌握它的性质对解决与之相关的问题十分有效,且将函数推广为f(x)=xn+k/xn(k>0)得出它的单调性.     

运用导数解决三次函数问题

正三次函数及其相关的问题,近年来在各级各类考查试卷中经常出现,其中大部分题型都可利用导数法来求解.本文介绍几种常见类型的求解方法,供参考.一、三次函数的切线例1已知函数f(x)=x3-x+2,试求过点P(1,2)的曲线y=f(x)的切线方程.解析设切点P0(x0,y0),由f'(x)=3x2-1,则f'(x0)=3x20-1,过点P0的方程为y-y0=f'(x0)(x-x0),即y-(x30-x0+2)=(3x20-1)(x-x0).又切线过点P(1,2),则2-(x30-x0+2)=(3x20-1)(1-x0),分解因式得(x0-1)2(2x0+1)=0,解之得x0=1或x0=-12.则f'(-12)=-14,f'(1)=2.故所求的切线方程为y-2=-14(x-1)和y-2=2(x-1).     

利用图象的平移解决对称问题

关于函数图象的自对称和互对称,在考试中经常遇到,也有很多结论,由于这些结论比较多,又抽象,容易混淆,所以同学们记不住它们,在解决对称问题时往往力不从心,畏惧函数图象的对称问题.一、函数图象的自对称先理解两个复合函数的结论:若函数y=f(x+a)是偶函数,当且仅当f(-x+a)=f(x+a);若函数y=f(x+a)是奇函数,当且仅当f(-x+a)=-f(x+a).偶函数关于y轴对称,奇函数关于原点对称.即如果函数对定义域内的任意x,都有