二次函数在闭区间上的最值问题

二次函数在闭区间上的最值问题,尤其是含有参数的二次函数在闭区间上的最值问题是各级各类考试的热点.一般地,对于二次函数f(x)=a(x-h)~2+k(a>0)在区间[m,n]上的最值,有如下结论:(1)当h相似文献   

一类区间上二次函数最值问题的求解与推广

<正>一、与参数有关的区间上二次函数最值问题关于二次函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0)在[m,n]上的最值问题,解答时可通过置放二次函数图象的对称轴或所给区间,截取相应区间的图象获得最值,主要类型有以下三种:1.区间确定,对称轴位置待定例1求函数f(x)=2x2+bx+c(a≠0)在[m,n]上的最值问题,解答时可通过置放二次函数图象的对称轴或所给区间,截取相应区间的图象获得最值,主要类型有以下三种:1.区间确定,对称轴位置待定例1求函数f(x)=2x²-2ax+1在[-1,1]上的最小值.     

闭区间上三次函数的最值

函数在闭区间上的最值问题本质上是一个数学规划问题 .高中教材中讨论了二次函数在闭区间上的最值问题 ,现在导数进入了中学教材 ,使得对三次函数最值的讨论成为可能 .本文讨论三次函数 y( x) =x3+ ax2 +bx+ c在闭区间 [α,β]上的最值问题 .记导函数 y′( x) =3x2 + 2 ax+ b的判别式为 Δ.当Δ≤ 0时 ,y( x)没有极值点 ,是单调增函数 ,所以 y( x)在 [α,β]的端点处达到最大、最小值 .当Δ >0时 ,y′( x)有两个零点 ,记为 x1和 x2 ( x1 相似文献   

求可化y=x a/x b型函数的最值

对于求函数y=x a/x b(a>0,a、b均为常数)的最值,当x>0时,可利用均值不等式求其最值,当条件不具备时,可利用函数y= x a/x b的单调性求最值.我们利用函数单调性定义或导数知识可知该函数在(-∞,-a~(1/2)]与[a~(1/2), ∞)上为增函数,在[-a~(1/2),0)与(0,a~(1/2)]上为减函数,该数学模型渗透在多种求函数的最值问题之中,在高考题中较为多见,下面     

函数综合问题例析

同学们在学习函数的过程中,要注重函数基本概念的理解,注重函数思想与函数方法在解题中的应用,注重函数渗透力的学习.1.分段函数的最值问题求分段函数的最值,应分别求出函数在各段上的最值,然后加以比较,其中最大(小)者就是分段函数在整个定义域上的最大(小)值.利用函数图象所表示的几何意义,借助于几何图形的直观性是求分段函数最值问题常用的策略之一.例1已知13≤a≤1,若函数f(x)=ax2-2x+1在区间[1,3]上的最大值为M(a),最小值为N(a),令g(a)=M(a)-N(a).(1)求g(a)的函数表达式;(2)判断函数g(a)在区间[1,3]上的单调性,并求出g(a)的最小值.…     

数学竞赛初级讲座 三角函数的最值

求三角函数的最值 ,在知识上 ,除涉及三角函数的所有知识外 ,还用到了二次函数、不等式等其他重要的知识点 ;在解题的方法上 ,具有较强的综合性 .因此 ,求三角函数的最值能综合考查学生分析问题、解决问题的能力 ,所以它也就成为各级数学竞赛中的一个热点内容 .一、基础知识求三角函数的最值的常用方法有 :1 .通过适当的三角变换 ,把所求的三角式化为 ｙ=Ａｓｉｎ(ωｘ φ) ｂ的形式 ,利用正弦函数的有界性求其最值 .2 .把所求问题转化为给定区间上的二次函数的最值问题 .3 .利用数形结合的方法求最值 .4 .利用基本不等式求最值 .5.利用三…     

浅谈二次函数在闭区间上的最值求法

<正>二次函数在闭区间上的最值求解,通常是利用配方法和数形结合法,先画出二次函数的图像(一般在草稿纸上作出大致图像),根据题中所给的区间观察图像的单调区间,再利用函数的单调性求得最值。而求二次函数在闭区间上的最值又有定轴定区间、动轴定区间、定轴动区间三种类     

非有限闭区间上连续函数最值的存在性

在现实生活及各个领域中经常涉及到非有限闭区间上连续函数的最值问题,因此有必要讨论非有限闭区间上连续函数最值的存在性.以区间[a,b)、[a, ∞)、(a,b)和(-∞, ∞)为例给出并证明了半开区间、开区间和无穷区间上连续函数存在最大值、最小值的条件.     

函数y=x+a/x(a≠0)的最值问题

函数y=x a/x(a≠0)的最值问题是高中数学学习的重点内容之一,下面从几个方面做一探讨。一、a<0时,函数y=x a/x(a≠0)最值的求法当a<0时,函数y=x a/x(a≠0)上是增函数,在(0, ∞)上也是增函数,那么可以利用函数单调性求最值。     

求二次函数最值的几种类型

<正>求二次函数的最值问题,归纳起来主要有四种类型:(1)轴定区间定;(2)轴定区间动;(3)轴动区间定;(4)轴动区间动.一般来说,讨论二次函数在区间上的最值,主要看区间是落在二次函数的哪一个单调区间上,从而用相应的单调性来求最值.下面通过例子具体谈一谈上述几种类型的探求方法.     

例设求分段函数的最值

对于一个函数,若在定义域的不同范围内要用不同的解析式来表示,那么我们通常称这样的函敏叫分段函数.求分段函数的最值的解题要点是:(1)分段函数的最值有两种求法,一种是分别求出每个分段区间上的最值,其中最大(最小)者就是函数在整个定义域上的最大(最小)值;另一种方法就是具体作出图象,直接从图上找出最大值或最小值.(2)特殊情形,如果各段表达式都是一次或常值函数,则只要比较分段区间端点处的函数值即可.     

恒成立问题的几种解法

解决一元二次不等式在实数集R上恒成立问题常用判别式法解题;一元二次不等式在实数集R的某一真子集(即某一区间)上恒成立问题,我们采用的是分离参数法;分离参数后函数y=g(x)最值的求解方法常常利用导数判断函数单调性进而求出最值;利用均值不等式求解或是对号函数单调性求最值对于不能分离参数或分离参数后求最值或确界较困难的问题用分类讨论的思想。     

中考几何中的最值问题

几何最值问题是中考考查的一个重点,也是学生学习的难点.研究近年的中考试题,本文总结一些解决几何最值问题的方法.一、利用"垂线段最短"求最值例1(2009年山东省)如图1,点A的坐标为(-1,0),点B在直线y=x上运动,当线段AB最短时,点B的坐标为     

用“退化”的观点求两动点间距离的最值

中学生对求一定点到二次曲线上的动点间距离的最值问题,还觉得有章可循,但对求两动点间距离的最值问题,往往束手无策。笔者在教学中引导学生用“退化”的观点去考察这类问题,收到良好的效果,特别当其中一点在圆周上移动时,问题得到圆满的解决。现将一般解法综述如下。设点P在曲线y=f(x)上移动,点Q在圆周(x-x_0)~2+(y-y_0)~2=r~2上移动,求点P、Q间距离的最值。当圆的半径很小时,距离|PQ|与|OP|近似相等。当半径逐渐缩短到0,圆退化为一点,此时|PQ|=|OP|。问题转换成求定点O到动点P的距离的最值。现在再回到原来的问题,寻找|PQ|的最值与|OP|的最值问题间的联系,容易猜测,     

基本目标函数的几何意义(高二、高三)

实际中有不少问题可归结为线性规划问题(即求线性目标函数在线性约束条件下的最值),其实质是利用几何背景求二元一次函数的可行域上的最值。如何解决二元函数的最值问题呢?本文说明:理解目标函数几何意义,是关键所在。     

平面区域型最值问题的解法

当点(x,y)在平面上一个区域F上变动时。求二元函数f(x,y)的最值,这类问题称之为平面区域最值问题。本文以竞赛题为例说明这类问题的解法。 例1 若实数x、y满足|x| |y|≤l,求z=x~2-xy y~2的最小值和最大值。(1975年苏联大学生竞赛题)     

区间上的"三个二次"问题解法

一、一元二次函数在区间上的极值(值域)问题 我们都知道:二次函数y=ax2 bx c在R上,当x=-b/2a时最值是4ac-b2/4a,但如果把自变量限制在一个区间内,则最值就有可能发生变化.     

“两面三刀”线的“自吹”

高中所研究的函数性质中,单调性最重要.很多函数都没有奇偶性(特殊的对称性)或周期性可研究,奇偶性和周期性都是函数的整体性质;但绝大多数函数都有单调性可研究,单调性是函数的局部性质,是最能反映函数关系本质的性质.研究函数的单调性有两个基本的工具:单调性的定义,单调性与导数的关系.其中后者因为使用起来方便,所以更为常用.函数的最值点(和最值)可由单调性得出,最值点(和最值)的应用十分广泛,而且求最值点(和最值)的工具不止单调性这一个(因此在本刊本版2010年第2期上,将会专门安排关于最值的文章).至于函数的极值点,它不就是连续的不同的单调区间的分界点吗!     

二次函数在闭区间上的最值求法

在某个给定的闭区间上二次函数的最值,除了出现在顶点上,还有可能出现在端点上,尤其是二次函数的对称轴是变量时,最值的确定要分类讨论。一求解方法对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0). 1.定义域为R,当a>0时,此函数的最小值为(4a-b2)/4a;当     

分类例说立体几何中的最值问题

在立体几何中,涉及最值的问题主要有三类:一是距离(长度)的最值问题;二是面(体)积的最值问题;三是在最值已知的条件下,确定参数(其它几何量)的值.下面举例说明.