证明线段比例式(或等积式)的思路分析

证明线段比例式（或等积式），特别是证明圆中的线段比例式（或等积式）是全国各省市中考命题的重点和热点．因此，同学们学习因这一意时，要系统掌握这类命题的证题思路．证明这类命题的基本思路是：1．利用相似三角形．2．利月圆幕定理（相支弦定理、切割线定理和割线定理统称国幕定理）．3利用平行线分线段成比例定理或其推论．其中用得最多的是相似三角形．下面举例说明，供参考．例1已知：如图1，四边形ABCH内接于00，过点D的切线HP／／AB，DP与AC的延长线相交于点P．求证：CD‘一CB·CP．（1996年河北省中考题）分析欲证CD’…     

运用相似三角形证明圆中线段比例式或等积式

证明圆中线段比例式（或多积式）是初中平面几何的重点知识．运用相似三角形去证明是最常见的方法,也是近几年来各省市中考命题的重点和热点．下面介绍运用相似三角报证明圆中线段比例式或等积式的基本思路,供参阅．一、直接定相似三角形去证例1已知：如图亚,四边形ABCD内接于①O,过点D的切线DP／／AB,DP与AC的延长线相交于点P．求证,CD。＝CB·CP．分析要证CDZ＝ce·or。g＝g。。。。,。。。。。。段分别在凸DBC和凸PDC中,故只须征西DBC。凸PDC＜＝／l＝LZ,／P＝Z3．由条件可知,／l＝ZZ…·DP／AB,…／P＝／…     

证明线段比例式的思路分析

在《相似形》这一章中,证明线段比例式（或等积式）是必须掌握的基本技能之一．那么,证明线段比例式（或等积式）有哪些基本思路呢？一、利用相似三角形证明利用相似三角形的对应边成比例是证明线段比例式的基本思路之一．例且如图l,在凸Me中力是跟上一点,且AC’。＿。＿＿、＿ABBC。AB·AD．求证：s二失．－‘一‘——”－”’——”AC－CD“分析由相似三角形的定义可知,相似三角形的＿＿＿＿,。＿＿,,。。、＿用肥＿＿、＿＾．＿＿对应边成比例,因此,欲证兰一9．只须证凸ABC一’”————————”“’——一’—“一…     

怎样确定相似三角形

证明比例线段或等积式,都会遇到确定相似三角形的问题．一般地,确定相似三角形h以下几种方法：一、由比例式或等积式运用“三点定形法”确定相似三角形例1（1997年无锡市中考试题）如图1,AD、CE是△ABC的高且它们相交于H．求证：AB·CD＝AD·CH．分析要证AN·CD＝AD·CH,只须证ABAD＿＿＿＿＿＿＿＿,,＿。＿示一天．AN、AI）和CH、CD分SIJ是凸ABDCHCD“—”‘——”一、v～／,／J,J。－。—一和西CHD的两条边,因而只须证凸W＿。。。r＿。,ABADI、、、,。ABCHm凸CHD．由于生一失也可写作生一兰,因—“…     

圆中线段比例式(或等积式)的证题思路

（一）国中线段比例式（或等积式）的证明，是一类综合性较强的几何证明题．证明这类问题，要综合应用相似形和圆的有关知识和方法．它能有效地考查学生综合应用所学知识和方法解决问题的能力．因此，它是全国各省市中考命题的又一个热点．同学们在中考复习中一定要加强这方面的训练，牢固掌握圆中线段比例式（或等积式）的证题思路和证题方法．证明圆中的线段比例式（或等积式）的基本思路有：1．利用相似三角形的性质给出证明；2．利用国幂定理（即相交弦定理、切割线定理和割线定理）给出证明；3．利用平行线分线段成比例定理给出证明．…     

圆中线段比例式(或等积式)的证明途径

圆中线段的比例式或等积式的证明，通常是应用平行线分线段成比例定理、射影定理、相似三角形的性质、相交弦定理及推论、切割线定理及推论来解决．例1已知，如图1，△ABC是圆O的内接三角形，圆O的直径BD交AC于E．AF⊥BD于F，延长AF交BC于G。求证：AB2＝BG·BC．（1993年北京市中考题）分析要证明AB2＝BG·BC，只须证这显然是要证明△ABG∽△CBA·由题意知BH是圆O的直径，且AF⊥BD，故连结AH可得∠1＝∠D．又∠D＝∠C，所以∠C＝∠1，并且∠ABG＝∠CBA是公共角．于是△ABG∽△CBA结论得进．（证明过程略）例2如图…     

圆中线段比例式(或等积式)的证法

一、复习要点 圆中线段比例式（或等积式）的证明，能有效地考查学生综合应用相似形和国的有关知识分析、解决问题的能力，因而它成为全国各省市中考数学命题的一个热点．切实加强这方面知识的复习与训练，全面掌握这类问题的证明思路和方法，对每个同学都非常重要． 证明圆中线段比例式（或等积式）的基本思路有： １．利用相似三角形给出证明． ２．利用圆中有关定理（相交弦定理及推论、切割线定理及推论）给出证明． ３、利用平行线分线段成比例定理及推论给出证明． ４．利用面积或三角函数给出证明． 其中最常用的是思路１． 例１　如…     

证明线段成比例的方法与技巧

涉及线段成比例的问题大多与相似三角形的性质有关,其解题思路灵活,运用的定理较多,辅助线的添加亦很巧妙．1．三点定形法由要求证明的比例式(或等积式转化的比例式)寻找相似三角形,是证明线段成比例问题最基本的方法之一．一般是先找到以有关的线段为边的两个三角形,再证明这两个三角形相似．     

截三角形三边成比例线段问题例析

一条直线截三角形三边（或延长线）如图１，关于此图形的有关成比例线段的证明题目比较多，具体的分析思路、证明方法也有多种，但有些思路不易寻求，现对这个问题进行分析，以求解决问题的最佳方法．在图１中，共有１２条线段、６个点，它们分别在４条直线上，这是此类问题的共同特征．这类题目中出现成比例线段问题，可考虑相似三角形或平行于三角形一边的直线等有关知识．显然图形中没有相似三角形和平行线，因此需构造相似问题，最常用的方法就是作平行线寻求成比例线段．例１已知，如图２，一条直线截△ABC的三边（或其延长线），交…     

怎样寻找相似三角形

利用相似三角形的性质证明线段的比例式或等积式，需要寻找相似三角形．寻找相似三角形，常从以下几方面考虑．一、三点定形法所谓三点定形法，就是在所要证明的比例式中，直接找到几个点，证明它们组成的两个三角形相似．例１如图１，Ｅ是ＡＢＣＤ的ＣＤ边上的任意一点，ＡＥ与ＢＣ延长后交于Ｆ，求证：ＡＢ·ＥＡ＝ＡＦ·ＥＤ．（９２南京中考题）简析　将ＡＢ·ＥＡ＝ＡＦ·ＥＤ改写为于ＡＢ／ＡＦ＝ＥＤ／ＥＡ，Ａ、Ｂ、Ｆ可组成△ＡＢＦ，Ｅ、Ｄ、Ａ三点可组成△ＥＤＡ．要证结论成立，只须证△ＡＢＦ∽△ＥＤＡ即可．证明在△ＡＢＦ与…     

《几何》相似形一章比例线段的证明

比例线段的证明在相似形一章中占有重要的位置 ,是否灵活掌握 ,直接影响到后继课程“有关圆的比例线段”的学习 ,所以我们应给以足够的重视 .下面介绍一些常用的作法以供参考 .1　“三点定形法”找出相似三角形找出比例式中 (乘积线段可先化成比例线段 ) ,四条线段所在的两个相似三角形 ,利用相似三角形的性质 (对应边成比例 )得出比例式 .例 1　如图 1 ,己知D是△ABC的边AC上的一点 ,∠ 1 =∠C .求证 :(1 )AB·BD =AD·BC .(2 )AB2 =AC·AD .分析　 (1 )要证AB·BD =AD·BC ,即证 ABAD =BCBD,只须证明两比前项 (分子 )两条…     

三角形角平分线性质的证法及应用

本文介绍三角形角平分线性质的证法及在解题中的应用，供参考．一、三角形角平分线的性质及其证明在△ABC中，若AD是角平分线，则BD∶DC＝AB∶AC．在此，我们给出四种证法：（1）我们知道，证明线段成比例的基本途径是利用平行线分线段成比例定理或其推论和相似三角形，但给定图形中既无平行线又无相似三角形，因此，要证结论成立，需要添加辅助平行线，构成平行线分线段成比例定理或其推论的基本图形，或构成相似三角形．为此，作DE∥BA交AC于E（如图1），则（2）我们也可以这样作辅助平行线：作CE∥DA交BA的延长线于E（如图2）…     

证明圆中线段比例式(或等积式)的思路分析

（一）在全国各省市每一年的中考命题中,几乎都有关于圆中线段比例式（或等积式）的证明题．这是因为这类命题具有较强的综合性．证明这类命题,要综合应用相似形和圆的有关知识和方法．它能有效地考查学生综合应用所学知识和方法分析问题、解决问题的能力．因而它成为全国各省市中考命题的一个热点．同学们在中考总复习中,要加强这方面的复习与训练,牢固掌握这类命题的证明思路和证明方法．证明圆中线段比例式（或等积式）的基本思路有：1．利用相似三角形给出证明;2．利用圆幂定理（即相交弦定理、切割线定理和剖线定理）给出证明;3…     

怎样寻找相似三角形

证明线段的比例式（或等积式）的常用方法是利用相似三角形，但不少同学证题时，不会寻找相似三角形，特别是当图形比较复杂时，更感到眼花缭乱，无从下手．为帮助同学们正确快速寻找相似三角形，本文介绍几种常用策略．一、三点定型法基本方法就是找出与结论中的线段有关的两个三角形，然后证明这两个三角形相似，利用“相似三角形对应边成比例”推出结论．例１如图所示，AD是直角三角形ABC斜边上的高，DE⊥DF，且DE和DF分别交AB、AC于E、F．求证：AFAD＝BEBD．（２００２年安徽省中考试题）分析横找：这两个比的前项中的线段A…     

证明圆中线段等积式的基本思路

证明圆中线段等积式 (或比例式 )是一类综合性较强的几何证明题 .证明这类命题要综合应用相似形和圆的有关知识和方法 ,同时还要作适当的等量代换 .下面介绍证明这类命题的基本思路 .一、应用相似三角形的性质证明应用相似三角形的性质证明线段等积式 ,应先把线段等积式变形为线段比例式 ,然后再证其中四条线段所在的两个三角形相似 .例 1　已知 :如图 1,四边形ＡＢＣＤ是⊙Ｏ的内接四边形 ,Ａ是ＢＤ的中点 ,过Ａ点的切线与ＣＢ的延长线交于点Ｅ .( 1)求证 :ＡＢ·ＤＡ =ＣＤ·ＢＥ ;( 2 )略 .( 2 0 0 0年北京市海淀区中考题 )分析　 ( 1)要…     

圆幂定理在几何证明中的应用

相交弦定理和切割线定理以及它们的推论统称圆幂定理．在许多涉及国的证明题中可以直接应用它或借助它进行转化获得解决．举例说明如下：一、证明线段相多例回如图1,已知AD、BE、CF分别是凸ABC三边上的高,H是垂心,AD的延长钱交凸ABC的外接圆于点C．求证：DH＝DC．（1997年甘肃省中考题）分析由相交弦定理知DG·DA＝BD·DC．欲证DH＝DC,只须证DH·DA＝BD·DC．为此,只领证凸ABD。凸CHD．由已知易证／BAI）＝／HCD,而LADB。／CDH二印,所以凸ABD。凸CHD．从而结论可证．证明略．二、证明线段比例式（或等积式…     

巧用相似三角形证线段倍半关系

证明线段倍半关系是常见的几何证明．常用的方法是；作一线段等于短线段（或长线段）的2倍（或一半），然后证明这条线段等于长线段（或短线）．这样的一类问题如果利用相似三角形去解，可使证明方法更简便．例1在凸ABC中，AB—ZAL？，AD平分，————‘＿，＿＿。＿、＿＿＿l＿＿／BAC，P是AD的中点．求证：PC一青BD．———““—”“——““—”“’‘””””“”“”—－2——一分析若用全等三角形来证，可以将线段折半．取BD的中点E（见图1）证凸PEDgy凸ACP来完成．或过P作PE斤BD交AB于E（见图2），通过证凸APE公凸…     

代换法证明比例式

证明比例式或等积式的一般途径是证明比例式或等积式中的四条线段所在的两个三角形相似。而当所证的比例式或等积式中的四条线段不在两个相似三角形中时 ,则需一中间量作媒介 ,进行等量代换 ,举例说明如下 :1　借助相等线段代换例 1　如图 1,在△ＡＢＣ中 ,ＡＢ =ＡＣ ,ＡＤ为中线 ,Ｐ为ＡＤ上一点 ,过点Ｃ作ＣＦ∥ＡＢ ,延长ＢＰ交ＡＣ于Ｅ ,求证ＢＰ2 =ＰＥ·ＰＦ。[分析 ]　由于ＰＢ ,ＰＥ ,ＰＦ在同一直线上 ,不能组成两个相似三角形 ,故应考虑等量代换。连结ＣＰ ,易证△ＡＢＰ≌△ＡＣＰ ,所以ＣＰ =ＢＰ。故可用ＣＰ代替等积式中的Ｂ…     

比例在几何证题中的应用

学习了《相似形》一章后，我们可以借助比例来证明很多类型的几何题．一、证明两线段相等例1如图1，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN都是等边三角形，AN交CM于E，BM交CN于F．求证：CE＝CF．证明　由已知易得二、证明两角相等例2　已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC求证：∠B＝∠C．证明　　延长BA、CD交于点E（如图2）．三、证明线段不等例3　在△ABC中，AB＝AC，D是BC延长线上一点，E是AB上一点，DE交AC于点F．求证：AE＜AF．证明　　过B作BG∥EF交AC延长线于G（如图3），则AG＞AC＝AB．四、证明线段和…     

例谈等积式问题的证明

证明等积式一般先将它恰当地化成比例式。若比例式中的四条线段构成有关相似三角形对应边的比 ,则问题较易解决。否则 ,应考虑添加辅助线 ,构成有关的相似三角形 ,以助问题的解决。　　例 1.在△ ABC中 (AB>AC)的边 AB上取一点 D,在边 AC上取一点 E,使 AD=AE,直线 DE和BC的延长线交于点 P,求证 BP∶ CP=BD∶ CE。证明 :过点 C作CF∥ AB交 PD于F,则 BPCP=BDCF。∵AD=AD,∴∠ 1=∠ 4 ,∴∠ 3=∠ 4 ,∴ CE=CF,∴ BPCP=BDCE。　　说明 :这是过分点 C作平行线 ,过 C还可作 CG∥ PD交 AB于 G(如上图 )。另证 :过 B作…