一个分式不等式链及其证明

文[1]提出一个猜想：若正数a,b,c满足abc≥1,则（a/b＋b/c＋c/a）（b/a＋c/b＋a/c）≥（a＋b＋c）（1/a＋1/b＋1/c）,文[2]将猜想的条件扩大为a,b,c为正数,并提出几个结构类似的不等式,笔者在学习文[1]和文[2]的基础上,利用柯西不等式及其推广给出文[1]中的猜想及其几个形似不等式的证明.     

对一个猜想的否定及改进

肖赣华老师在文[1]最后提出了一个猜想： 猜想 若a,b,c为正数,则a^2/b＋c＋b^2/c＋a＋c^2/a＋b≥1/2（bc/a＋ca/b＋ab/c）     

IM042—2猜想的再推广

在文[1]中宋庆老师将42届第二题加强并猜想：若0、b、c为正数,λ≥2,则√a^2＋λ（b＋c）^2--a^＋√b^2＋λ（c＋a）^2--b＋√c^2＋λ（a＋b）^2--c≥√4λ＋1--3.猜想已被文[2]证明,本文将其再推广为：     

一个猜想的推广及证明

在文[1]中,陈宇老师证明了文[2]提出的猜想： 若a,b,c为满足abc=1的正数,则√a^2＋1＋b^2＋1＋√c^2＋1≤√2（a＋b＋c）,并提出新的猜想：     

瓦西列夫不等式的指数推广

瓦西列夫不等式如下：命题A设a,b,c∈R＋,且a＋b＋c=1,则a^2＋b/b＋c＋b^2＋a/a＋b≥2.文[2]通过类此,得到：命题B 设a,b,c∈R＋,且a＋b＋c=1,则a^3＋b/b＋c＋b^3＋c/b＋a＋c^3＋a/a＋b≥5/3.另外,文[2]还提出如下猜想：命题C 设a,b,c∈R＋,     

Klamkin 不等式的改进

文[1]给出了关于三角形三边的Klamkin不等式：a/b＋b/c＋c/a≥1/3（a＋b＋c）（1/a＋1/b＋1/c）（1）的如下一个逆向形式：a/b＋b/c＋c/a≤1/3（a＋b＋c）（1/b＋c-a＋1/c＋a-b＋1/a＋b-c）（2）     

一类分式不等式的一般推广

文[I]提出了如下分式不等式： 命题1设a,b,c∈R＋,且a＋b＋c=1,则a2＋b3/b＋c＋b2＋c3/c＋a＋c2＋a3/a＋b≥2/3（1）     

一个猜想的证明

文[1]提出如下猜想,笔者探究发现这个猜想是正确的． 猜想 若a〉0,b〉0,c〉0,且a＋b＋c=3,λ=≥3/2,刚1/λ＋a^3＋b^3 ＋ 1/λ＋c^3＋b^3 ＋ 1/λ＋a^3＋c^3≤3/λ＋2①     

一个猜想的简证

文[1]在文末提出猜想：f（x）=a/cos^nx＋b/sin^n（0〈x〈π/2,a，b为大于0的整数，n∈N^＋。）当且仅当z=arctan n＋2√b/a时取最小值（2/an＋2＋2/bn＋2）n＋2/2．文[2]用相当长的篇幅且繁琐的方法证明了文[1]提出的猜想是正确的，本文将直接运用均值不等式给出文[1]猜想的一个简单的初等证明．[第一段]     

函数f（x）=a/cos^nx＋b/sin^x最小值猜想的简证

文[1]在文末提出猜想：f（x）=a/cos^nx＋b/sin^x（0〈x〈π/2,a、b为大于0的常数，n∈N^＊当且仅当x=arctan n＋2√b/a时，取最小值（2/an＋2＋2/bn＋2）n＋2/2,文[2]用相当长的篇幅且非常繁杂的方法证明了文[1]提出的猜想是正确的．本文将直接运用均值不等式给出文[1]猜想的一个简单漂亮的初等证明．     

几个猜想的修正与证明

文[1]介绍了一些新的代数不等式,同时提出5个猜想,本文对上述猜想给出证明或修正后再给出证明,文中∑P（a,b,c）均指∑P（a,b,c）=P（a,b,c）＋P（b,c,a）＋P（c,a,b）．     

一道奥林匹克竞赛题研究的新进展

赛题已知a、b、c≥0，a＋b＋c=1，求证√a＋1/4（b-c）^2＋√b＋√c≤√3……（1） 这是2007年女子数学奥林匹克竞赛的一道试题．文[1]给出了该题的新证法；文[2]对此给出了如下一个加强式：     

对一个不等式猜想的再研究

在文[1]中,宋庆老师提出如下不等式猜想：若a,b,c为正实数且满足abc=1,则a^2/2＋a＋b^2/2＋b＋c^2/2＋c≥1.文[2]作者证明了此猜想,对比上述不等式,笔者证明了一些相类似的不等式.首先给出一个引理。引理x1,y1∈R^＋,i=1,2,…n,     

一个优美不等式的简证加强和推广

题目 已知a,b,c∈R＋,求证（a2＋ ab＋b2）（b2＋ bc＋c2）（a2＋ac＋c2）≥（ab＋bc＋ac）3. 文[1][2]用构造三角形中的费尔马点,再利用三角形面积,余弦定理转化为三角形不等式证明．文[3]利用代换和三元均值不等式给出了证明．     

一个优美不等式的又一简证及探究

题目设a,b,c是正实数,且a＋b＋c=1,则有（1/b＋c-a）（1/c＋a-b）（1/a＋b-c）≥（7/6）^3（1） 文[1][2][3]给出了不同的证明方法,笔者对这个优美的不等式再给出一个简单的初等证明,并对不等式（1）做一些探究．     

一个不等式的简证及推广

文[1]给出如下不等式猜想：若a,b,C是正实数,且满足abc=1,则a~2/2＋a＋b~2/2＋b＋c~2/2＋c≥1.很多数学杂志给出了这个不等式的证明,下面笔者再给出一个简单的证明,证法1：由二元均值不等式得a~2/2＋a＋2＋a/9≥2/3a（？）a~2/2＋a≥5a/9-2/9,同理得到b~2/2＋b≥5b/9-2/9;     

一个优美不等式的再推广与证明

文[1]给出如下一个优美的三元代数不等式： 命题1 设a,b,c∈R^＋,且a＋b＋c=1,求证：a^2＋b^3/b＋c＋b^2＋c^3/c＋a＋c^2＋a^3/a＋b≥2/3.     

关于一对姊妹不等式的推广

文[1]中有这样两道例题：例1（文[1]中的例3）已知a,b,c∈R^＋,且a＋b＋c=1,求证：     

一个不等式的简洁证明

近日,笔者拜读了《中等数学》2011年第3期单蹲老师的《一个函数的最小值》一文,受益匪浅．但发现文[1]中对当0≤a、b、c≤1时,a/1＋b＋c＋b/1＋ca＋c/1＋a＋b＋（1-a）（1-b）（1-c）≥7/8 ①的证明甚长。本文给出一个简洁的证明。事实上,     

一个猜想不等式的推广

文[1]提出如下猜想：若a,b,c为满足a＋b＋c=1的正数,则