一道清华大学自主招生试题的证明与推广

题目设x,y∈R＋,且z＋y=1,求证：x^2n＋y^2n≥2^2n-1^-1（2009年清华大学自主招生试题）． 题目是条件不等式的证明,由于条件是二元一次方程,所以,代入消元就化为一元不等式的证明,而一元不等式的证明都是求函数的值域,故题目并不难,且证明方法较多,本文一般地给出题目的证明并推广．     

一道自主招生不等式问题的加强及证明

2010年浙江大学自主招生试题中有如下一道不等式证明题： 有小于1的正数x1,x2,…,xn且x1＋x2＋…＋xn=1,     

用函数观点证明几何定值问题

用函数的观点证明初等几何的定值问题,(特别是定值问题的定值未知时)是一种很有效的方法,既简明扼要,又有规律可循,其基本思路是将对应关系逐层析出,找出数量变化关系,将要解决的问题转化为证明函数为某一常数。     

一道自主招生北约联考题的猜想与证明

2014年自主招生北约联考数学题第4题如下： 题目 设f（a＋2b/3）=f（a）＋2f（b）/3,且f（1）=1,f（4）=7,则f（2014）=（ ）．     

关于一类函数方程的周期解问题

本文给出了一类函数方程的通解和部分周期解。     

浅谈复合函数的周期

对复合函数的周期性作了进一步讨论。     

周期函数与函数的周期

本文将在高中数学教材的基础上,对周期函数的定义域,最小正周期以及周期函数的复合进行一些发掘,以期抛砖引玉。定义1 函数y=f(x)是定义在数集D上的函数。如果存在非零常数T,使得对任意x∈D,总有f(x T)=f(x),我们就把y=f(x)叫作D上的周期函数,T叫这个函数的周期。     

利用函数性质证明不等式

不等式是数学中不可缺少的工具之一．有许多不等式在数学研究中有着重要的作用．在中学数学中证明不等式的方法有许多种．但用初等数学知识证明不等式比较困难本文将不等式问题转化为函数问题．利用函数性质．如单调性．微积分中值定理．函数的极值和最值性来研究、解决不等式问题．利用函数性质来研究．解决不等式问题,使学生掌握不等式证明的函数思想方法,从而提高学生的分析问题与解决问题的能力．     

抽象函数的周期问题探析

抽象函数已逐渐成为近几年高考的热点，而确定其周期又是一个难点，必须充分运用题目条件，寻找问题的切入点，把握问题的关键点．针对此问题笔者结合教学实践特撰拙文．[第一段]     

借助函数的性质证明不等式

不等式是中学数学中重要的基础知识，教材中有关不等式的证明重点介绍了比较法、综合法、分析法、数学归纳法及反证法，其实，函数作为中学数学的轴线，它与不等式更有着千丝万缕的联系，因此借助函数的性质证明不等式也是一种重要的思考途径。 １ 运用二次函数的性质推证 当不等式含有某字母的二次项时可构造二次函数，利用二次函数的性质推证不等式。 例１　设Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π且ｘ、ｙ、ｚ∈Ｒ，求证： 证明 注 高中代数（下册）第１５页习题７、８、９、１０均可利用二次函数性质推证。 例２ 设ｆ（ｘ）＝其中 α∈（０，１］，证明 ２ｆ…     

函数与其导函数周期相同的充要条件

本文得到函数与其导函数周期相同的一个充分必要条件     

函数图象的对称性和函数的周期

大家知道,余弦函数 y=cosx 是周期函数,又是偶函数.它的图象关于y轴对称.y轴是它的一条对称轴.那么它有几条像y轴这样,垂直于x轴的对称轴呢?从图象上可以明显地看到,直线x=kπ(k∈Z)都是它的对称轴.它有无限多条垂直于x轴的对称轴.余弦函数图象的这种性质,有没有一般性?是不是周期函数都有垂直于x轴的对称轴?如果有,有几条? 反过来,如果一个函数,它的图象有垂直于x轴的对称轴,那么它一定是周期函数吗?     

巧用√x^2=│x│求一类函数的周期

函数Y=│sinx│ │cosx│的最小正周期T=x／2,使许多学生困惑不已．若用函数周期性的定义来证明,则显得复杂。下面采用恒等式√x^2=│x│,通过适当的等价变形。求解此类函数的周期。     

函数图象判断极小周期点的存在性

在文「１」中介绍了Ｓａｒｋｏｖｓｋｉｉ定理，留给人们一个疑问：如何从图象判断极小周期点的存在？本文先把复杂函数的图象转化为单调连续的折线，然后根据区间的变化确定极小周期点的存在性。     

关于内能是状态函数的证明是循环证明吗?

本讨论了热力学第一和第二定律教学中，两个学生质疑产生的原因，指出全面理解可逆过程的特点是问题的关键。     

自主招生五校联合考试的一道样题

2009年,清华、上海交大等五所高校联合自主招生可以说是招生改革的一项重要事件。在考试前,学生、家长、教师都在猜测,自主招生究竟考啥？2010年1月10日,五校公布了国家教育考试中心所出的自主招生考试样题和参考答案。看后考生和老师纷纷感叹：题很活,想考好不容易。而笔者对于物理试题的评价是一个字：高!     

用函数方法证明不等式的新视角

许多不等式实际上是函数内容的引申。因此，在处理一些不等式的证明问题时，可以将审题的角度放大，以函数的观点来看问题，充分考虑不等式的函数背景，这样往往能得到一些巧妙的证明方法。     

周期函数的周期与其导函数的周期

可微分的周期函数与其导函数的周期只有满足一定的条件才能相同。本文给出了它们相同的一个充分条件。     

函数一致连续性的几个证明方法

本文给出了函数一致连续性的几个证明方法，以及在函数一致连续性的条件下得到的几个重要结论。