分段函数问题简述

※求值问题※例1:已知函数f(x)=x2(x>0),1(x=0)0(x<0)".,求f｛f[f(-3)]｝的值.分析:明确自变量在函数的哪一个段上,是解此类题的关键.解:∵-3<0,∴f(-3)=0,∴f[f(-3)]=1,∴f｛f[f(-3)]｝=f(1)=12=1.※求解析式问题※例2:已知f(x)=x,g(x)=-x+1,!(x)=-12x+2.设f(x),g(x),!(x)的最大值为F(x),求F(x)的解析式.分析:本题的关键是画出图象,求出交点,从而正确地分段,再在各段上写出符合要求的解析式,最后写出分段函数的解析式.解:如图,画出f(x),g(x),!(x)的图象,下面再求交点坐标.!由y=-x+1,y=-21x+2".得yx==3-2,".由y=x,y=-12x+2".得y=34%%%%$%%%…     

确定函数y=Asin(ωx+φ)中φ角的策略

根据函数y=Asin(ωx φ)的图象求解析式是教学中的一个难点问题,困难在于如何根据图象准确地确定角φ的值.本文从不同角度来研究这个问题.问题如图1,试写出图1所示函数y=Asin(ωx φ)(A>0,w>0)的解析式.错解∵A=2,T=1112π--1π2=π,ω=2Tπ=2,∴y=2sin(2x φ).又∵图象经过点-     

一类分段函数解析式的求法

分段函数是定义在不同区间上解析式也不相同的函数 .已知一个函数在某一区间上的解析式 ,求它在另一个区间上的表达式 ,这是分段函数中最常见的问题 .由于给出条件的不同 ,常有如下分类 .1　关于直线 x=a对称若题设中有函数图象关于直线 x=a对称的条件 ,则有 f (x) =f (2 a- x) ,特别地 ,当 a=0时 ,则 f (x) =f(- x) ,即此函数为偶函数 .例 1　已知函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1对称 ,若当 x≤ 1时 ,y=x2 + 1,则当x>1时 ,y=.(1991年上海高考题 )解　当 x>1时 ,则 2 - x<1,依题设有f(2 - x) =(2 - x) 2 + 1.又 y=f (x)的图象关于 x=1对称 ,…     

《确定一次函数表达式》测试题

一、填空题(每小题5分,共20分)1.点A(2,4)在正比例函数的图象上,这个正比例函数的解析式是.2.已知函数y=kx b的图象与y轴交点的纵坐标为-5,且当x=1时,y=2,则此函数的解析式为.3.若正比例函数y=kx与y=2x的图象关于x轴对称,则k的值为.4.写出一个图象经过点(-1,-1),且不··经过·第一象限的函数表达式:.二、选择题(每小题5分,共30分)5.若ab>0,bc<0,则直线y=-ba x-bc经过()A.第一、二、三象限B.第一、三、四象限C.第二、三、四象限D.第一、二、四象限6.已知一次函数y=kx b,当x增加3时,y减小2,则k的值是()A.-32B.-23C.23D.327.已知一次函数y…     

数学单元测试题（一）——二次函数

摇摇一、填空题1.抛物线y=(x-2)2 3的顶点坐标是摇摇摇摇,对称轴是摇摇摇摇.2.请你写出函数y=(x 1)2与y=x2 1具有的一个共同性质摇摇摇.3.已知y=x2-(k-1)x-3k-2与x轴交于A(x1,0),B(x2,0),且x12 x22=17,则k=摇摇摇摇.4.已知抛物线y=x2 bx c的图象如图1所示,则函数y<0时,对应x的取值范围是摇摇摇.5.已知抛物线过A(1,0),B(0,-3),且对称轴为x=2,则解析式为摇摇摇摇.6.如图2,抛物线y=-x2 2(m 1)x m 3与x轴交于A、B,且OA∶OB=3∶1,则m=摇摇摇.7.如图3,边长为1的正方形ABCD中,P是边AB上一动点,QP⊥PD,交BC于点Q,已知AP=x,BQ=y,则y与x的…     

数学单元测试题（一）（反比例函数的图象和性质）

一、填空题1.若点A(7,y1),B(5,y2)在双曲线y=2x上,则y1与y2的大小关系是.2.反比例函数y=kx的图象经过点P(m、n),其中m、n是一元二次方程x2 kx 4=0的两个根,那么点P的坐标是.3.如果一次函数y=mx n与反比例函数y=3n-mx的图象相交于点(12,2),那么该直线与双曲线的另一个交点.4.已知y与x-1成反比例,当x=12时,y=-13;那么当x=2时,y的值为.5.对于函数y=3x,当x<0时,y0(填“>”或“<”),这部分图象在第象限.6.反比例函数y=kx1-2k,当x>0时,y随x的而增大.7.已知点P(1,a)在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上,其中a=m2 2m 3(m为实数),则这个函数的图象在限.…     

巧用对称点解函数题

设P(x,y)是直角坐标系内任意一点,则P (1)关于x轴的对称点为P_1(x,-y); (2)关于y轴的对称点为P_2(-x,y); (3)关于原点的对称点为P_3(-x,-y); (4)关于直线y=x的对称点为P_4(y,x)。由此可得到以下4个相应的结论: 函数y=f(x)的图象(1)关于x轴对称的图象的函数解析式为y=-f(x),即以-y代y; (2)关于y轴对称的图象的函数解析式为y=f(-x),即以-x代x; (3)关于原点对称的图象的函数解析式为y=-f(-x),即同时以-x代x,以-y代y; (4)关于直线y=x对称(y=f(x)有反函数)的图象的函数解析式为y=f~(-1)(x),即从y=f(x)中解出x后,x与y互换。     

数形结合思想在解题中的应用举例

一、解函数题例1.方程lgx+x-3=0的解x0所在区间为以下选项中的哪一个?A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,∞)解析:如图1,先构造函数f(x)=lgx与g(x)=3-x并作出它们的图象,如图1可知可以确定x∈(1,3),但f(2)-g(2)=lg2-1<0,即x=2时,f(x)2.同理:f(3)-g(3)=lg3-0>0,即x=3时,知f(x)>g(x),∴x0<3.∴答案为C.例2.求函数y=x√+1-x√的值域.解析:作y1=x√,y2=1-x√的图象,如图2,由函数图1的定义域为[0,1]和图象知:函数在x=0,x=1时,有最小值1;在x=12时,取最大值2√.(对称性图象)∴函数的值域是[1,2√].二、解不等式例3.求不等式5-4x-x2√≥x解集.图2…     

函数中两个容易混淆的问题

误解1:函数y=f(x)和它的反函数y=f-1(x)的图象的交点在直线y=x上. 教材上例题涉及的函数及我们接触的函数的图象与其反函数的图象的交点大多 直线y=x上,所以不少同学就认为函数若与其反函数不是同一函数,且函数与其反函 的图象有交点,则交点必在直线y=x上,但这种观点是错误的.现举两例,希望同学们 明确这个问题._ 如函数y=7-3x,其图象过(2,1)点,其反函数y= 7-x2 3(x≥0)的图象也过(2,1)点,故函数y=7-3x与其 反函数图象的一个交点为(2,1)点.又由函数与其反函数的 图象关于直线y=x对称,故点(2,1)关于直线y=x的对称 点(1,2)也是函数y=7-3…     

图象变换

1.平移设函数y=f(x)的图象按向量(h,k)平移得到的图象的解析式是y~′=f(x′),则有{x′=x+h,y′=y+k.例1为得到函数y=cos(x+(π/3))的图象,只需将函数y=sinx的图象( )     

三角函数

试题1(安徽卷,理科第6题)将函数 y=sin ωx(ω>0)的图象按向量 a=(-π/6,0)平移,平移后的图象如图1所示,则平移后的图象所对应函数的解析式是( ).A.y=sin(x+π/6)B.y=sin(x-π/6)C.y=sin(2x+π/3)D.y=sin(2x-π/3)试题特点:已知三角函数图象求解析式是高考中的常考题,但本题又结合向量知识使得试题更加综合化、更加灵活化,难度进一步加深,当然入口也更宽.     

求一次函数解析式的若干类型

待定系数法是求解一次函数表达式的基本方法,但在一些问题中,往往给出多样的条件让你求解,体现了函数表达式与其性质、图象以及其它相关知识的联系.下面举例说明之,供参考.一、已知函数的类型例1当m=时,函数y=(m+3)x2m+1+4x-5(x≠0)是一个一次函数.解析:分m+3=0和m+3≠0两种情况讨论:(1)当m+3=0时,y=4x-5,m=-3符合题意.(2)当m+3≠0时,若2m+1=0,则m=-12,此时y=4x-52;若2m+1=1,则m=0,此时y=7x-5.因此m=-12或m=0也符合题意.综上,m=-3或m=-12或m=0.二、图象上有已知点例2(2005年宁波市)已知一次函数图象经过A(-2,-3),B(1,3)两点.(1)求这个一次…     

“反比例函数”自测题

如图 1 ,点P是x轴正半轴上一动点 ,过点P作x轴的垂线 ,交双曲线y =1x 于点Q ,连结O -Q ,当点P沿x轴的正方向运动时 ,Rt△Q -OP的面积 (　　 ) .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(A)逐渐增大　　(B)逐渐减小　　(C)保持不变　　(D)无法确定2 .如图 2 ,已知反比例函数y=1 2x 的图象与一次函数y=kx+4的图象相交于点P、Q两点 ,并且P点的纵坐标是 6 .(1 )求这个一次函数的解析式 ;(2 )求△POQ的面积 .3.如图 3,一次函数y=kx +b(k≠ 0 ) 的图象与x轴 ,y轴分别交于A、B两图 3点 ,且与反比例函数y=mx(m ≠ 0 ) 的图象在第一象限…     

一次函数在现实生活中的应用

我们知道,一次函数在现实生活中有着极为广泛的应用,为了方便同学们学习,现就2005年中考试题举几例说明.例1(吉林省)两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上,请根据如图1中给出的数据信息,解答问题:(1)求整齐叠放在桌面上饭碗的高度y(cm)与饭碗数x(个)之间的一次函数解析式(不要求写出自变量x的取值范围);(2)若桌面上有12个饭碗,整齐叠放成一摞,求出它的高度.解析(:1)设一次函数解析式为y=kx b(k≠0).图1则根据题意,得{kb==14.5.4k b=10.5,{7k b=15.解之,得所以y与x之间的函数关系式为y=1.5x 4.5(.2)当x=12时,y=1.5×12 4.5=22.5.所以桌面上…     

二次函数测试题（一）

一、填空题1.某直线恰是抛物线y=2x2 4x 5的对称轴,则此直线的解析式是!!!!.2.函数y=ax2 bx-c的图象经过点(1,2),则a b-c的值是!!!!.3.已知二次函数的图象开口向下,且经过原点,请写出一个符合条件的二次函数的解析式!!.4.抛物线y=-2x2 5x-3与y轴的交点坐标是!!!!.5.若抛物线y=x2-x-2经过点A(3,a)和点B(b,0),则ab=!!!!.6.汽车刹车距离s(m)与速度v(km/h)之间的函数关系是s=1100v2,在一辆车速为100km/h的汽车前方80m处发现停放一辆故障车,此时刹车!!!!有危险.(填会或不会)7.若二次函数y=-ax2,当x=2时,y=12,则当x=-2时,y=!!!!.8.把y=x2-4x 5化…     

《反比例函数》要点精析

一、反比例函数的定义一般地,如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=xk(k为常数,k≠0)的形式,那么称y为x的反比例函数.解读1.自变量x不能为0.2.确定反比例函数解析式时,只有一个待定的系数k,利用k=xy,只需一对对应值或图象上一个点的坐标,即可求出k的值,从而确定其解析式.例:某蓄电池的电压为定值,如图1表示的是该蓄电池电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系图象,它的函数解析式为.分析由图象知,I与R成反比,可设I=Rk.把R=9,I=4代入得,4=9k,所以k=36,函数解析式为I=3R6.答案I=3R6.【特别提示】I为函数,R为自变量,易出现笔误,填写为y=3x…     

数形结合思想的应用

一、解决函数问题例1.求函数y=x-1-2x√的值域.解:由函数解析式易知,此函数定义域为x≤12.令y1=x,y2=-1-2x√,由图1可知,当x=12时,ymax=12,故所求值域为(-∞,12).〔评注〕函数的图象是函数对应规律的几何表示,能直观地反映函数的性质,是解决函数问题的有力工具。其关键是把函数的性质与图象的性质结合起来,即数形结合。二、解决解析几何问题例2.已知x2+4y2=4(x-4)2+y2=r2 表示两曲线有公共点,求r的最值.解:将方程x2+4y2=4化为标准式x222+y2=1,它表示中心在0(0,0),长半轴为2在X轴上,短半轴为1在y轴上的椭圆.方程(x-4)2+y2=r2表示圆心在A(4,0…     

如何利用函数图象解答不等式(组)

在近几年中考试题中,出现由函数图象获取信息的试题很多,尤其是用函数图象直接解答不等式(组)的试题正成为考试热点之一。下面就这类题目的解答方法谈点感受。图1一、利用一次函数、反比例函数、二次函数的图象解答不等式例1已知一次函数y=kx b的图象如图1,所示,求不等式kx b>0的解集。分析:由图象可知一次函数y=kx b与x轴的交点坐标为(-4,0),当x<-4时,其图象在x轴上方对应的函数值y>0,即kx b>0.由此得不等式kx b>0的解集是x<-4的实数。图2解:根据函数图象:不等式kx b>0的解集是x<-41例2已知反比例函数y=x6的图象如图2所示,由图象写出不等式…     

容易混淆的两种“对称”

先看一个例子(97全国文科高考题)。设函数y=f(x)定义在实数集上,函数y=f(x-1)与函数y=f(1-x)的图象关于………( ) (A)直线y=1对称;(B)直线x=0对称; (C)直线y=0对称;(D)直线x=1对称。 解:用(x 1)代替f(x-1)=f(1-x)式中的x,可得f(0 x)=f(0-x),由对称性定     

抽象函数问题的类型及其解法

抽象函数是指只给出函数的某些性质而未给出解析式的函数 ,它在历年的高考竞赛中常常出现 ,不少同学对此类问题的解法感到无从下手 ,为使抽象函数问题的解决有“章”可循 ,下面介绍几种常见的求解方法 .一、求值问题例 1　已知函数f(x)满足 :对任意x、y∈R都有f(x y2 ) =f(x) 2f2 (y)且f(1 )≠ 0则f(2 0 0 5) =　　　　 .解 :在f(x y2 ) =f(x) 2f2 (y)中 ,取x=y =0则f(0 ) =0 ,再取x =0 ,y =1代入得f(1 ) =2f2 (1 ) ,∵f(1 )≠ 0 ,∴f(1 ) =12 .在条件式中令x=n ,y=1则得递推式f(n 1 ) -f(n) =12 .∴数列 {f(n) }是首项为 12 ,公差…