再谈sum from k=1 to n K~2、sum from k=1 to n K~3公式的解释

《数学教学通讯》1990年第5期,1991年第2期分别发表了周学璋老师和谭光全老师的文章,对sum from k=1 to n k~2、sum from k=1 to n k~3公式,从面积和体积的角度给出了几何解释,本文想再介绍一种解释一、sum from k=1 to n k~2=1/6n(n+1)(2n+1)的解释     

公式sum from k=1 to n (k~3=[(n(n+1))/2]~2)的几种建立方法

本文利用公式sum from k-1 to n(K=(n(n+1)/2))、sum from k-1 to n(K~2=(1/6)n(n+1)(2n+1))给出了六种不同的关于公式sum from k=1 to n(K~3=[n(n+1)/2)]~2)的建立方法。     

也谈sum from k=1 to n k~2、sum from k=1 to n k~3公式的几何解释

《数学教学通讯》1990在第5期发表了周学璋同志“sum from k=1 to n k~2、sum from k=1 to n k~3公式的几何解释”的文章。作者是用面积来解释前者,用体积来解释后者的。如果用体积来解释前者,用面积来解释后者,会显得更简便。把sum from k=1 to n K~2个边长为1的正方体如图1放置,     

关于方程sum from k=0 to n(x-qk)~r=sum from k=1 to n (x+qk)~r

本文证明了对任何正整数n,q,r,方程sum from k=0 to　n(x-qk)~r=sum from k=1 to n(x+qk)~r仅有正整数解:r=1,x=qn(n+1);r=2,x=2qn(n+1)。     

求sum from i=1 to n i~k的简便递推公式

寻找求sum from i=1 to n i~k值的方法,研究得不浅[1-9]都有介绍。这里仅用微积分的最基本知识推出较简便的自然数幂之和的求值递推公式:S_n~(k 1)=(k 1)[integral from n=0 to n(S~k(x)dx)-n integral from n=-1 to 0 (S~k(x)ds)。其中S~k(x)是S_n~k=sum from i=1 to i~k的派生函数。     

对级数sum from n=1 to ∞(a_nb_n)的绝对收敛性的研究

对级数sum from n=1 to ∞(8nbn)的收敛性可用阿贝尔、犹利克雷判别法,而对其绝对收敛性却提文甚少;本文根据比较判别法直接研究级数sum from n=1 to ∞(a_nb_n)的绝对收敛性,并得出结果,用这结果判定了些级数的敛散性显得更加有效和方便。 一、定理及推论 1、定理:设sum from n=1 to ∞(a_n)是一无穷级数,{bn}是一序列。若序列{bn}有畀且级数sum from n=1 to ∞(a_n)绝对收敛,则级数sum from n=1 to ∞(a_nb_n)绝对收敛;若序列{1/bn)有界且sum from n=1 to ∞|a_n|发散,则sum from n=1 to ∞n|a_nb_n|发散。 证明:假设sum from n=1 to ∞(a_n)绝对收敛且{b_n}有界,则存在正数M,使得|bn|相似文献   

关于和式sum from k=1 to n(cos~Lkβ)及sum from k=1 to n(sin~Lkβ)的计算公式

[1] 文中讨论了sum from k=1 to n(cos~L(kπ)/(2n)) 和sum from k=1 to n(sin~L(kπ)/(2n)) 的计算问题,导出了四个计算公式。在这四个公式中,公式(1)和(3)是很复杂的,不便于应用。本文准备继续来讨论这个问题,为讨论方便起见,现将[1]文中的公式(1)和(3)转抄如下: “当L=2m时,则     

用递推法求sum from k=1 to n k~mr~kcoskα与 sum from k=1 to n k~mr~ksinkα

设 a≠1,记 S_n~(0)=(sum ∑ from k=1 to n)ak=(a(1-a~n))/(1-a),S_n~(1)=(sum ∑ from k=1 to n)kak=(a(1-a~n))/(1-a)~2-(na~(n+1))/(1-a),S_n~(m))=(sum ∑ from k=1 to n)kmak(m∈N)     

sum from i=1 to n x_i~2的性质及应用

函数的极值是数学中常见而且很重要的内,它在实际问题中也有不少的应用。本文借助于理论力学的点滴知识,论证几个结论,用这些定理来解决平方和的极值及其有关问题是十分有益而简洁的。假定有n个质点,它们的质量分别是m_1、m_2、…m_n,分别位于P_1、P_2、…P_n诸点,G点为这些点的重心(质心)。根据理论力学知识,下述两个引理明显是成立的。引理一:在直角坐标系中,重心(质心)的坐标为: X_G=sum from i=1 to n(m_i x_i)/sum from i=1 to n(m_i) y_G=sum from i=1 to n(m_i y_i)/sum from i=1 to n(m_i) Z_G=sum from i=1 to n(m_i z_i)     

关于方程sum from k=0 to n((b-5~rK)~l)=sum from k=1 to n((b+5~rK)~l)

本文证明了:设l,n,b,r为正整数,丢番图方程sum from k=0 to n((b-5~rk)~l)=sum from k=1 to n((b+5~rk)~l)仅有正整数解l=1,b=5~rn(n+1)和l=2,b=2.5~rn(n+1)     

自然数方幂迭乘和sum from m=1 to n m~kC_n~m

自然数方幂和S_k(n)=sum from m=1 to n m~k的表达式,伯努利于1713年就已给出,而对自然数方幂迭乘和 sum from m=1 to n m~kC_n~m=1~kC_n~1 2~kC_n~2 … n~kC_n~n ①(其中k,n为任意自然数),我们只见到一些特例,即k=0时,sum from m=1 to n C_n~m=2~n;k=1时,sum from m=1 to n mC_n~m=n·2~(n-1)等等。而当k为任意自然数时,尚未见到一般的直接计算公式。本文记 R_k(n)=sum from m=0 to n m~kC_n~m,可以利用待定系数法,简便地导出它的直接计算公式。     

有关p-级数(sum from n=1 to ∞)(1/n~p)与交错级数(sum from n=1 to ∞)((-1)~n/(2n-1)~p)的和的研究

本文探索求p-级数S(p)=(sum from n=1 to ∞)(1/n~p)及交错级数J(p)=(sum from n=1 to ∞)((-1)~n/(2n-1)~p)的和的一般方法和策略,获得一些重要的结论:证明了p-级数与交错级数的和所满足的两个公式,并给出了求p-级数(sum from n=1 to ∞)(1/n~p)的和的近似公式及误差估计式。     

sum from i=1 to n(i~m)求和的计算机算法

通过归纳法证明了正整数幂sum from i=1 to n i~m的新的求和公式,并用 QBASIC编写了导出求和公式的程序．     

组合式sum from k=1 to n((-1)~kK~mC_n~k(m∈N))的计算

引理1 当m相似文献   

关于三角级数S_m(n)=sum from k=1 to n(cos~m(2Kπ)/(2n 1))的和

运用Lagrange级数展开法,获得了三角级数S_m(n)=sum from k=1 to 2kn cos~m(2kπ)/(2n 1)的求和公式1,主要结果本文借助于Lagrange级数展开法获得了下列结论:定理:设S_m(n)=sum from k=1 to ncos~m(2kπ)/(2n 1),则有这里m为自然数,[x]表示x的最大整数部分,(?)为二项式系数     

求条件和sum from i=1 to n(a_i/X_i)最小值的一个公式

命题设χ_i,a_i∈R~ (i=,2,3……,n),且sum from i=1 to n(χ_i)=(定值),则当χ_i=m(a_i)~(1/2)/sum from i=1 to n(i=1,2,……,n)时,和sum from i=1 to n(a_i/χ_i)取最小值,其最小值为1/m((sum from i=1 to n(a_i~(1/2)))~2     

用公式C_n~k C_n~(k 1)=C_(n 1)~(k 1)巧求sum from k=1 to n(k~2)和sum from k=1 to n(k~3)

由公式C_n~k C_n~(k 1)=C_(n 1)~(k 1),可得:C_2~2 C_3~2 … C_n~2=C_(n 1)~3,sum from k=2 to nC_k~2=C_(n 1)~3,     

关于sum from j=0 to n J~K C_n~j的猜想

高中数学学过 C_n~0+C_n~1+C_n~2+…+C_n~n=2~n, C_n~1+2C_n~2+…+nC_n~n=n·2~(n-1), 即sum from j=0 to n C_n~j=2~n,(1) sum from j=0 to n jC_n~j=n·2~(n-1)。(2)     

级数sum from i=1 to ∞ (-1)~(n+1)(1/n)的重排

级数sum from i=1 to ∞ (-1)~(n+1)(1/n)收敛于1n2,再由公式H_n=1nn+C+εn,得出该级数按一定规律重排后的级数的收敛值。     

不等式multiply from i=1 to n (xi+1/x_i)≥(n+1/n)~n的推广

关于不等式multiply from i=1 to n(x_i+(1/x_i))≥(n+(1/n))~n(x_i为正数,sum from i=1 to n x_i=1)的正确性,《数学通讯》已有多篇文章给出了证明,本文将这个不等式推广到较一般的情形。从sum from i=1 to n x_i的值上推广有: 定理1 (1)如果x_i∈R+(i=1,2,…,n),